Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Примeрами могутслужить итeрaциoнные мeтoды геометрического расщепления, аименно, методы дробных шагов (Яненко) и пeрeмeнныхнaпрaвлeний (Дуглас-Рекфорд), в сooтвeтствии с кoтoрыми нaпeрвoм пoлушaгe итeрaции (или нa промежуточном "врeмeннoм"118Глава 12. Краевые задачи МССслое) прoизвoдныe пo координате x oпрeдeляются явнo сo стaрoгoслoя, а пo координате y рeшaются двухтoчeчныe крaeвыe зaдaчи. Нaвтoрoм пoлушaгe прoизвoдныe пo координате y oпрeдeляются явнoпo знaчeниям с упомянутого промежуточного слоя, а по координатеx для решений на новом “временном” слое ставятся двухтoчeчныeкрaeвыe зaдaчи.12.8.5. Meтoды конечных разностейКлассический метод конечных разностей используетаппроксимацию исходных дифференциальных уравнений иначально-краевых условий на сеточных шаблонах (шаблон это узели его соседи) с помощью разностных представлений производныхискомых функций.

Разностные аппроксимации производныхопределяются при этом методом неопределенных коэффициентов сиспользованием разложения решения в ряды Тейлора, методоместественной аппроксимации или методом якобианов.Под именем метод конечных разностей скрываетсяобширное множество численных методов, поэтому выражение"задача решается методом конечных разностей" дает довольнонеопределенную информацию.Заметим, что имеется подмножество вариантов методаконечныхразностей,основанныхнавыводесистемыалгебраических уравнений дискретизированной задачи, исходя извариационной формулировки исходной начально-краевой задачи.Это подмножество методов имеет групповое наименованиевариационно-разностного метода.История метода конечных разностей насчитывает поменьшей мере три столетия, начиная с основополагающих работНьютона, Лейбница и Эйлера.12.8.6.

Meтoд конечных объемовМетод конечных объемов (или, в других терминологиях,интегро-интерполяционный метод, метод контрольных объкмов) длязадач конвекции-диффузии был впервые предложен в работахГодунова (1959), Тихонова и Самарского (1962). На Западеосновополагающие работы по этому методу выполнены примерно вто же время Хиртом.Метод конечных объемов основан на аппроксимацииинтегральной формы балансных уравнений задачи на конечных(контрольных) пространственно-временных объемах (ячейках),каждый из которых содержит окрестность определенного узла119Глава 12.

Краевые задачи МССрегулярной или нерегулярной сетки. Дискретизация интегральныхуравнений проводится с использованием кусочно-полиномиальнойили конечно-разностной аппроксимации решения. Рассмотримпринципиальную схему метода конечных объемов на примереобщего балансного уравнения, выражающего некоторый законсохранения.Представим область решения V набором непересекающихсяконечных (контрольных) объемов V = ∪ V( k ) , каждый из которыхkассоциирован со своим узлом сетки. Такое разбиение производится,например, по методу Вороного, в соответствии с которым в областирешения размещается N узлов сетки, окруженными такназываемыми ячейками Вороного, представляющими контрольныеобъемы, разделенные гранями, лежащими в плоскостях,перпендикулярных ребрам сетки и делящих ребра сетки пополам.Ребрами сетки называются отрезки прямых соединяющих соседниеузлы. Таким образом ячейка Вороного для каждого узлапрелставляет его окрестность.

Прилегающие к границе контрольныеобъемы имеют в качестве некоторых граней участки граничнойповерхности области решения, на которых ставяться граничныеусловия.Закон сохранения в интегральной форме для каждогоконечного объема имеет вид3  M = 0,(∂Y+G(Y))dV+F(Y)ndS∑∑tii∫V l =1 s ∫i1=(k)( k ,l )где i=1,...,N. Интеграл по поверхности контрольного объемапредставлен суммой интегралов по всем его граням.Детализация метода конечных объемов связана с введениеминтерполяционных формул для сеточных функций, применениемтех, иои иных формул численного дифференцирования привычислении потоков Fi (Y ) , формул численного интегрирования пообъему и по граням, по способу регуляризации дискретизированнойзадачи, то есть по способу модификации дискретного оператора сцелью обеспечения требуемых свойств, в первую очередь, свойствасходимости приближенного решения к искомому, по способурешения системы дискретных уравнений, по способу численногоинтегрирования по времени, и так далее.

Уже данное перечислениеосновных альтернатив показывает, что под наименованием методаконечного объема выступает обширное семейство численныхметодов, столь же неисчерпаемое, как и семейство метода конечныхразностей. Подробнее метод конечных объемов рассматривается120Глава 12.

Краевые задачи МССдалее при описании конкретных численных алгоритмовконтинуальной механики.Во многих случаях вместо пространственных конечныхобъемов используются пространственно-временные конечныеобъемы.12.8.7. Meтoд конечных элементовМетод конечных элементов (МКЭ) представляет семействопроекционных методов с кусочно-полиномиальными финитнымипробными функциями, носителями которых являются окрестностиузлов нерегулярной сетки ячеек (конечных элементов). Дляопределения коэффициентов разложения решения по базиснымфункциямвметодеконечныхэлементовприменяютсявариационныеформулировкиначально-краевыхзадач.Внелинейных задачах применяеься вариационная формулировкаГалеркина3 (∂Y+G(Y))ΨdV−F∂ΨdV+F(Y)nΨdS=0∑tixiii∫V∫∫Si =1  Vt = 0 , x ∈ V : Y = Y0 (x)t ≥ 0 , x ∈ SY : Y = Yg (x, t)t ≥ 0 , x ∈ SF : Fi (Y)n i = Fn (x, t)где Ψ - произвольная достаточно гладкая функция, SF = S \ SY ,S = ∂V .

Здесь выписаны вариационное уравнение Галеркина,начальные условия, граничные главные и граничные естественныеусловия.Решение ищется в виде разложения по кусочнополиномиальнымфинитнымпробнымфункциямаппроксимационного базисаNY = ∑ a i (t)ϕi (x)i =1связанных с узлами и ячейками конечно-элементной сетки. Способыпостроения таких базисных функций рассматриваются вспециальной литературе по методу конечных элементов. Наиболееупотребительные кусочно-линейные и кусочно-квадратичныебазисные функции рассмотрены в первой части настоящего курса.121Глава 12. Краевые задачи МССЗаметим, что нередко для кусочно-линейных пробныхфункций дмскретные уравнения метода конечных элементовсовпадают с дискретными уравнениями метода конечных объемов.При этом алгоритмы формирования уравнений отличаются толькопоследовательностью операций.12.8.8.

Методы граничных элементовМетод граничных элементов или метод граничныхинтегральных уравнений состоит в сведении краевой задачи длядифференциальных уравнений к интегральным уравнениям награнице области решения с последующим применением конечноэлементной(кусочно-полиномиальной)аппроксимацииирешением.системы алгебраических уравнений дискретизированнойзадачи. Сведение исходной задачи к граничной позволяет понизитьпространственную размерность области решения на единицу, чтоупрощает алгоритм решения (сетка нужна только на границе!) иделает его более эффективным.

Это качество метода граничныхэлементов рассматривается как основное его преимущество передметодами конечных разностей и конечных элементов.При решении нелинейных задач применяются вариантыметода итераций, основанные на выделении линейного оператора,допускающегосведениекраевойзадачикграничномуинтегральному уравнению. Нелинейные члены при этомвычисляются по решению на предыдущей итерации и трактуютсякак распределенные по области источники. К сожалению, внелинейных задачах преимущество, связанное с понижениемпространственной размерности задачи, теряется из-за плохойсходимости итераций по нелинейности и из-за необходимостивведения объемных сеток для учета распределенных по областирешения источников.12.8.9.

Бессеточные мeтoдыКлассический метод Галеркина, использующий глобальныебазисные функции, испытывает трудности, связанные судовлетворением граничным условиям в случае областей решениясложной геометрии.В методе конечных элементов упомянутые трудности,связанные со сложной геометрией, преодолеваются путемпостроения локальных полиномиальных базисных функций,удовлетворяющих главных граничным условиям с использованиемсетки конечных элементов. Однако, разработаны и бессеточные122Глава 12. Краевые задачи МССметоды построения базисных функций и удовлетворения граничныхусловий. Перечислим ниже основные такие методы.В методе R-функций Рвачева разработан алгоритмпостроения функций области (R-функций), принимающихположительные значения внутри области решения и отрицательныезначения вне ее, а также предложены способы применения Rфункций для адаптации произвольных систем глобальных базисныхфункций к граничным условиям при сложной геометрии.В бессеточных методах Галеркина применяются финитныебазисные функции, связанные со свободными узлами (частицами).Такие бвзисные функции строятся без объединения узлов в ячейки(то есть, без построения сетки), что позволяет использоватьподвижные узлы для описания сложных движений сплошной средыи при этом исключить трудности, связанные с искажениями ячеекподвижных сеток.В бессеточных спектральных методах Галеркина вкачестве пробных функций используется набор собственныхфункций приближенного оператора задачи.

Характеристики

Список файлов книги