Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Многие имеющиесяварианты выходят за рамки выписанных соотношений. Имеетсятакже большое разнообразие способов определения тензоровнапряжений и деформаций, а также параметра поврежденности,который в общем случае может быть, например, тензором второгоранга. С физической точки зрения способы формулировкиуравнений и различия трактовок играют важную роль дляадекватности (соответствия) математических моделей физическимявлениям.

В нашем случае для принципиального описаниячисленных методов эти нюансы роли не играют и поэтому в даннойкниге не обсуждаются, поскольку на то есть специальнаялитература. Если нас будут далее в связи с описанием численныхметодов интересовать другие варианты систем уравнений, то онибудут выписываться отдельно. Пока вполне можно ограничитьсяприведенным вариантом эйлеровой формулировки.93Глава 12. Краевые задачи МССНетрудно убедиться в том, что число выписанных выше вобщем виде уравнений соответствует числу искомых функций,составляющих решение. Действительно, для расчета течений газаосновными искомыми величинами являются плотность, скорость итемпература.

Если в некоторый момент времени распределениеосновных величин в области решения задано, то все остальныевеличины можно через них выразить, используя алгебраическиезависимости и пространственное дифференцирование. В случаеупругопластической среды в число основных искомых функцийдополнительно включаются тензоры полной и пластическойдеформаций и параметр поврежденности.Основнымиуравнениямиявляютсяэволюционныеуравнения, то есть, уравнения, которые содержат производные повремени.

Остальные соотношения служат для подсчета величин,участвующих в эволюционных уравнениях и, в принципе, с ихпомошью можно исключить все дополнительные величины, оставивв эволюционных уравнениях только основные величины. Делатьэтого не будем, предоставив эту работу ЭВМ.Рассмотрим теперь вопрос о постановке начальных играничных условий. С начальными условиями вопрос решаетсяпросто: в начальный момент времени распределение основныхискомых функций в области решения должно быть задано.Вопрос о необходимых граничных условиях решается спомошью вариационной формулировки уравнений. Рассматриваявариационные уравнения видим, что они содержат интегралы погранице области решения.

В этих интегралах подинтегральныевыражения должны быть заданы, ибо они выражают влияниевнешней (отсеченной) сплошной среды на среду в области решения.Эти подинтегральные выражения можно не задавать, если награнице задать саму основную функцию, для определения которойслужит эволюционное уравнение. Действительно граничныеинтегралы содержат вариацию основной искомой функции вкачестве множителя, а вариация обращается в нуль там, гдеварьируемая функция задана. Граничные условия, задающиеосновную функцию называются главными.На открытых границах, за которыми находится та жесплошная среда, что и в области решения, либо задаются основныефункции, если среда втекает в область решения (случай входнойграницы), либо в слабом смысле вариационной или интегральнойформулировки требуется обращение в нуль нормальныхпроизводных от основных искомых функций, что означаетнеизменность состояния сплошной среды при переходе черезоткрытые границы.

Граничные условия, задающие поток основнойвеличины, называются естественными.94Глава 12. Краевые задачи МССКонечно высказанные общие соображения о граничныхусловиях не исчерпывают их разнообразие и будут далее уточнятьсяпри рассмотрении конкретных задач.Заметим, что интегральная форма уравнений иногдазаписывается в виде, получаемом интегрированием по произвольнойпространственно-временной области Vɶ × [t1 , t2 ]t = t2∫ YdVVɶ=∫t = t1t2t1∫ F(Y ) ⋅ ndSdt + ∫t2t1∂Vɶ∫ G (Y )dVdtVɶ12.2. Типы уравнений в частныхпроизводныхРассматривая выписанные уравнения МСС, можно заметить,что, благодаря присутствию диффузионных членов, эволюционныеуравнения являются уравнениями в частных производных второгопорядка.

Для таких уравнений имеется классификация, выделяющаятри основных типа уравнений: эллиптические, параболические игиперболические. Эти типы уравнений приводят к решениямимеющим существенно различные свойства, которые надо себепредставлять, когда решаешь численно какую-либо задачусонтинуальной механики.Каноническая форма записи квазилинeйных урaвнeний вчaстных прoизвoдных втoрoгo пoрядкa имеет следующий видA∂ 2u∂ 2u∂ 2u∂u∂u+B+C+a +b +c = 022∂x∂x∂y∂y∂x∂yгде коэффициенты A, B, C , a, b, c являются функциями независимыхпеременных и решения u ( x, y) .

Запишем это уравнение в видесистемы уравнений первого порядка относительно функцийv = (∂u / ∂x, ∂u / ∂y, u) :A 0 0 0 1 0  ⋅ ∂v + ∂x0 0 dx  −(av1 + bv2 + c) B C 0  −1 0 0  ⋅ ∂v = 0 ∂y  du0 0 dy где v1 = ∂u / ∂x , v2 = ∂u / ∂y . Проведем через рассматриваемуюточку ( x, y) линию y = y ( x) , которая в малой окрестности этой95Глава 12. Краевые задачи МССточки определяется уравнением dy = λ ( x, y ) dx . Пусть на этойлинии решение u известно. Чтобы найти решение вне этой линии,надо определить производные от этой функции по независимымпеременным. Для этого выписанная выше система уравненийпервого порядка на данной линии −(av1 + bv2 + c)  B + λA C 0∂v  −1λ 0 ⋅ ∂y = 0 du00 dy + λdx должна быть разрешима относительно производных∂v / ∂y :∂v / ∂x и B − λA C 0=0det  −1−λ 000 dy − λdx откуда находим(−( B − λA)λ + C )(dy − λdx) = 0D = AC − B 2Взaвисимoстиoтзнaкaдискриминантарaссмaтривaeмoe урaвнeниe oтнoсится к oднoму из слeдующихтипoв: D > 0 - эллиптичeский тип, D = 0 - пaрaбoличeский тип,D < 0 - гипeрбoличeский тип, Tип урaвнeний сoхрaняeтся прилюбoй взaимнo-oднoзнaчнoй зaмeнe зависимых и независимыхпеременных.Типичными примерами уравнений основных типов служат:1) эллиптическое стaциoнaрнoe урaвнeниe тeплoпрoвoднoсти длянекоторой функции u:∂ 2u ∂2 u+=0∂x2 ∂y22) параболическое нeстaциoнaрнoe урaвнeниe тeплoпрoвoднoсти∂u ∂2u=∂t ∂y23) гиперболическое урaвнeниe кoлeбaний.96Глава 12.

Краевые задачи МСС∂2u ∂2u=∂t 2 ∂y 2Xарактеризуя различие в поведении решений уравненийосновных типов, следует прежде всего отметить следующее.В эллиптических задачах любое возмущение имеетбесконечную скорость распространения и мгновенно возмущаетрешение повсюду в области решения. При неизменных во времениуравнениях и краевых условиях решение эллиптической задачи независитотвремени.Например,простейшееуравнениетеплопроводности∂ 2T=r∂x 2с граничными условиямиTx=0= 0, Tx =1=0при r = 0 имеет единственное решение T ( x) = 0 .Возмущению Tx = 0.5= 1 соответствует решение T = 1 − 2 | x − 0.5 |97Глава 12. Краевые задачи МССВгиперболическихзадачахлюбоевозмущениераспространяется с конечной скоростью c . Например, простейшееволновое уравнение2∂ 2T2 ∂ T=c∂t 2∂x 2с начальнымиT |t = 0 = 0 ,∂T∂t=0t =0и граничнымиTx=0= 0, Tx =1=0условиями имеет единственное решение T ( x, t ) = 0 .

ВозмушениюT ( x, t ) x =0.5 = 1 соответствует решение T = H ((ct ) 2 − (0.5 − x)2 ) , гдеH - функция Хевисайда. Это решение показано ниже для моментавремени t = 0.25 / c :Впараболическихзадачахлюбоевозмущениераспространяется мгновенно, но его амплитуда в отличных отисточника точках нарастает постепенно от нуля до значения,отвечающегорешениюсоответствующейстационарнойэллиптической задачи.

Например задача для простейшегонестационарного параболического уравнения теплопроводности∂T∂ 2T=k 2∂t∂x98Глава 12. Краевые задачи МССс начальным условиемTx=0=0и граничными условиямиTимеетx=0= 0,Tx =1единственное=0решениеT ( x, t ) = 0 .ВозмушениюT ( x, t ) x =0.5 = 1 соответствует решение, показанное ниже длянекоторого момента времени t>0Это решение в пределе при t → ∞ стремится к решениюстационарной задачи T = 1 − 2 | x − 0.5 | , то есть к ужерассмотренному выше решению эллиптического уравнениястационарной теплопроводности.Общая система уравнений механики сплошной средыобладает всеми упомянутыми выше свойствами поведения решений:и эллиптичностью, и гиперболичностью, и параболичностью, нопроявляются эти свойства в разной степени в зависимости отсвойств сплошной среды, скорости протекающих процессов имасштабов времени и пространства, на которых изучаются явления.Поясним это положение на примере модельных геофизическихзадач.Пример 1.

При исследовании внутреннего строения Земли спомощью анализа распространения сейсмических упругих волн,Земля рассматривается как твердое деформируемое упругое тело ипередача возмущений описывается гиперболическими уравненияминестационарной теории упругости следующего вида∂ 2ui∂ρ 2 =∂t∂x j ∂u ∂u ∂u j  ⋅  λ k δij + µ  i +  ∂x ∂xk j ∂xi  99Глава 12. Краевые задачи МССгде ui - смещение, λ и µ - модули упругости, ρ - плотность, δij дельта Кронекера. Масштаб времени при этом характеризуетсяминутами, а масштаб пространства – сотнями километров.

Хотяповедение материалов, образующих Землю, описывается в обшемслучае сложными определяющими соотношениями, учитывающиминелинейное упругое поведение, вязкостные эффекты, явленияпластичности, разрушения, неоднородность и анизотропию свойств,для рассматриваемого в данном примере типа задач основныеособенности решения ухватываются уже простейшей модельюупругого изотропного материала.Пример 2. При анализе квазистатического напряженнодеформированного состояния горных пород вблизи выработокпользуются стационарными уравнениями теории упругости∂∂x j ∂U ∂U ∂U j⋅  λ k δij + µ  i + ∂x ∂xk∂xi j  = 0и решают соответствующие краевые задачи эллиптического типа.Масштаб времени в таких задачах отсутствует (стационарная задача)или, при учете нестационарных членов, характерное время процессавелико по сравнению со временем распространения малыхвозмущений по области решения.

Учет нестационарныхинерционных членов при этом формально придает уравнениямсвойство гиперболичности, как в примере 1, но на временах многобольших времени пробега упругой волны по рассчитываемойпространственой области решение успевает установиться ипрактически совпадает с рещением квазистатической задачи. Приэтом часто расчет проводится большими шагами по времени понеявной схеме, поскольку явные схемы требуют для получениярешения слишком большого числа маленьких временных шагов,ограниченных условием Куранта-Фридпихса-Леви.

Простейшаянеявная схема Эйлера имеет вид:ρU in +1 − 2U in + U in −1∂=2∆t∂x j ∂U n +1 ∂U n +1 ∂U nj +1  ⋅  λ k δij + µ  i +  ∂x ∂xk∂xjiгде шаг по времени ∆t >> L / c , L - характерный размер областирешения, с - скорость продольных упругих волн ( c 2 = (λ + 2µ) / ρ ).При этом влияние нестационарных членов является пренебрежимомалым, поскольку знаменатель в нестационарном члене стремится кбесконечности, и решение практически совпадает с решениемстационарных уравнений. Таким образом, на пространственно-100Глава 12. Краевые задачи МССвременноммасштабеданнойзадачирешениеполныхнестационарных уравнений гиперболического типа имеет свойства,присущие решению эллиптических уравнений.Пример 3.

Tечения материала в недрах Землирассчитываются на длительных временах в миллионы лет и напространственных масштабах L, исчисляемых сотнями и тысячамикилометров. Такие процессы описываются нестационарнымиуравнениями вязкой жидкости: ∂u∂u ∂p∂ρ i + u j i  = −+ ∂t∂x j ∂xi ∂x j ∂u ∂u ∂u j  ⋅  λV k δij + µV  i +  , ∂x ∂xk∂xi  jгде ui - скорость среды, p - давление, определяемое закономсжимаемости ∂p / ∂t − ρc 2 ∂uk / ∂xk = 0 , λV , µV- коэффициентывязкости. На больших интервалах времени ∆t >> L / c материалведет себя как несжимаемый, в уравнениях движения главную рольиграют члены с давлением и вязкостью, конвективные члены малы иповедение решения отвечает параболическому типу уравнений.Отметим, что записанные в рассмотренных примерахуравнения являются частными случаями общей системы уравнениймеханики сплошной среды, в которой определяющие соотношениядля напряжений можно сформулировать в общем виде с учетомупругих, вязких и пластических свойств.

Характеристики

Список файлов книги