Ким_ Мьюллер и др - Факторный_ дискриминантный и кластерный анализы (1185345), страница 32
Текст из файла (страница 32)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Хотя в этом разделе внимание сфокусировано на некоторых проблемах и трудностях, возникающих при использовании дяскриминантного анализа, не следует их бояться. В практических исследованиях мы часто сталкиваемся с данными, которые не согласуются с предположениями, лежащими в основе статистических методов. Зная требования, предъявляемые моделью, можно определить, когда оии были нарушены, когда следует применить корректирующие меры и когда методика не соответствует целям данного исследования.
Эта работа была задумана как введение в дискриминантный анализ я включает ряд статистических процедур, предназначенных, во-первых, для изучения многомерных различий между двумя и более классами (что мы назвали «интерпретацией») и, во- 132 вторых, для использования нескольких переменных для предсказания принадлежности объекта к некоторому классу («классификация»). Математическая модель обычно предполагает, что переменные измеряются по интервальной шкале н имеют многомерное нормальное распределение. Мы ограничились обсуждением линейного дискриминантного анализа, который обычно требует равенства ковариационных матриц классов.
Имея ато в виду, исследователь может широко использовать подпрограммы дискримннантного анализа в стандартных пакетах компьютерных программ, таких, как БРВБ, ВМ() и ЬАЬ. Читатель, желающий больше узнать обо всех особенностях дискримннантного анализа, может обратитьси к работам, приведенным в списке литературы.
ПРИМЕЧАНИЯ 1. В работах (3(ечепз, 1946; 1951) даны определения четырех шхал измерений, принятых в статистике: наименований, порядковая, интервальная и отношений. Для интервальных измерений характерно то, что истинная разность последовательных единиц шкалы равна разности двух любых последовательных целых единиц этой шкалы. Вообше говоря, измерения по интервальной шкале соответствуют непрерывному случаю, но зто ограничение совершенно не обизательно. В дискриминантном анализе требуется вычисление средних вариаций и ковариаций, поэтому измерения должны производитьсн на интер- валином уровне. Дальнейшие сведения о шкалак измерений можно найти в работах (В!а!ос)г, 1979; 1ч1е, 1975] н в любом вводном статистическом курсе.
2. Коварнация двух переменных является мерой их совместного изменения. Коварнация аналогична коэффициенту корреляции, но без приведения к ставдарткзованному виду прн различных масштабах в измеряемых переменных. Соответственно ковариация может принимать любые значения и не ограничена константамн — 1 снизу и + 1 сверху. Часто коварнацин представляются в аиде матриц. Каждой переменной в матрице соответствует одна строка и одын столбец. На пересечении данной строки н данного столбца находится ковариацпя двух переменных. На главной диагонали находятся вариации.
Если данные разделены на группы, мож. но вычислить ковариацнонпую матрицу для каждой группы в отдельности, используя наблюденяя, принадлежащие только данной группе. Для того чтобы две ковариационные матрицы были равны, должны быть равны все соответствуюшие нм элементы. Понятна вариации и ковариации даются во всех вводных статистических курсах, например (В!а!оси, 1979). 3. Большинство представленных здесь таблиц заимствовано нз работы (Вагдез, 1975).
Везде, где это было необходимо, мы сами обработали экспеиментальные данные, которые были любезно предоставлены нам Бардес. исленные значения, приведенные е работе Бардес для ноэффнцнентов, центрондов н дискрнминантных значений, пе совпадают с представленнымн в данной работе нз.за отличия способов стандартизации дискрпминантных функций. Однако это не влияет на результаты интерпретации и классификации. Была использована компьютерная программа ЗРВВ 1)13См1М1(чА(ЧТ, реализованная на ЭВМ типа 1ВМ 3607370.
4. Можно выполнить анализ вариаций по каждой переменной в отдельности для того, чтобы выявить статистическую значимость межгрупповых отличий (см. работу 1пчегзеп, (Чогро!!Ь 1976). Переменные, которые не дают значимых межгрупповых отличий, нужно исключить пз днскримнпантного анализа. Следует иметь в виду, что критерия значимости (в строгом статистическом смысле) неприменимы к данным Бардес, поскольку она изучает генеральную совокупность, а не выборку. 138 5. Матрица является двумерным массивом чисел.
Обозначая матрицу одним символом, мы подразумеваем сразу множество чисел, объединенных в вту матрицу. Каждое число, принадлежащее матраце, называется ее элементом. Обозначением для элемента является буква с двумя индексами, первый из которых обозначает строку, где расположен элемент, а второй — столбец.
Так, например, (ы — элемент матрицы Т, расположенный нз пересечении строки 1 и столбца 1. Если 1=1 в квадратной матрице, соответствующий элемент находится на главной диагонали, Матрица называется квадратной, если число столбцов равно числу строк. Для симметричной матрицы 1ы=(ы, т. е. элементы иад главной диагональю равны соответствующим элементам, расположенным ниже главной диагонали. 6. Дальнейшие детали, касающаеся нахождения собственных векторов и приведении дискриминантных функций к стандартному виду, можно найти вработе (Соо1еу, Еоппез, 1971). Кули н Лохиес предложили приводить к стандартному виду матрицу Т вместо матрицы %'. Вообще говоря, эта операция является корректной, хоти дискриминантное значение некоторым образом изменяется. Как указывалось, йу дает днскрнминантное значение, измеренное в единицах стандартного отклонения по каждой групле в огделькости.
Использование матрицы Т приводит к дискриминантным значениям в единицах стандартного отклонения ло всему пространству, поэтому этн значения являются меньшими числамн. Выбор Т и Ф' не влияет на результаты интерпретации или классификации. Однако значения вероятностей Рг(Х( 6»), введенных в равд.
1Ч, могут быть вычислены только, если используется матрица йг. Все примеры, рассмотренные в данной работе, основаны на стандартизации матрицы йг. 7. Если коэффициенты дискриминантных функций приводятся к стандартному виду с использованием матрицы йг, значение 1,0 соответствует одному стандартному отклонению яо данной груяле. Другими славами, если рассмотреть наблюдения, принадлежащие данной группе и вычислить их стандартное отклонение от группового среднего дискримннантной функции, то полученные значения будут равны единице. Подразумевается, что групповые ковариационные матрицы равны между собой и точно представляются межгрупповой коварнацнонной матрнцей. Если, например, нужно вычислить стандартное отклонение для всех наблюдений по отношению к главному среднему, то результирующие значения буу т больше единицы (исключение — когда групповые центроиды совпадают).
ричина этого заключается в том, что именно группы, а не вся системз в совокупности определяют единицы измерения расстояний. Как отмечалось ранее, можно приводить к стандартному виду матрицу Т, прн этом стандартное отклонение от общего главного среднего по всем наблюдениям будет единичным. 8. Заметим, что направление функции является произвольным. Изменение аваков коэффициентов данной функции эквивалентно изменению направления соответствующей оси. В общем случае все направления равноправны. Йо в некоторых случаях все-таки можно выделить направления, к которым «тяготеют» отдельные наблюдения.
Например, для данных Бардес позиции либералов соответствует отрицательная область данных, а позиции консерваторов — положительная. 9. Отметим, что значения переменных — одни н те же для всех дискриминантных функций. Дело в том, что объекты имеют только одно значение по каждой переменной. 10. Под стандартной, или Х-формой подразумевается, что переменная должна иметь нулевое среднее и единичное стандартное отк.чонение. 134 е»Д'ты р г 'Х выо аг» =!»л ! где с'»! — коэффициент >ей дискримннзнтной функции по я-й переменной.
(Знаменатель »тога равенства является константой и может быть вычислен один раз.) Структурные коэффициенты получаются из соотношения: э гл»г»! Я!1=- ~; щясяэ= 2; =, )Ъл! я '221 где зм — структурный коэффициент корреляции переменной ! н функции ), з ггз — корреляция между переменными ! и й. 14 Этн результаты подразумевают наличие положительной коррелицни между парами переменных. Если коррезяцпя отрицательна, может наблюдаться противоположный эффект. На практике наличие множественных корреляций сильно затрудняет интеграцию стандартизованных коэффициентов, 15. Реальная значимость — это соответствие результата исследования физическому смыслу (содержанию) задачи.
1б. Во многих учебниках по статистике применяются термины каноническая ягргмгяяая для обозначения того, чта мы называем «ханонической дискримииантной функцией» и дискриминантная функция, которую мы в рззд. 17 называем «классифицнрующей функцией». Другие авторы, например Кули н Лохнес (197!), применяют термин дискриллинаягяоя функция к «каноничесной дискриминзнтной функции». Чтобы избежать этой термыыологнческой путаныцы, мы будем пользоваться терминами «кзыоническая дискриминантная функция» и «классифицирующзя функция.!. 1Зб 11. Дли читателей, знакомых с понятием множественной регрессви, должна быть ясна аналогия интерпретации нестандзртизованных н стандартизованных дискрнмииантных коэффициентов с регулярным и стандартизованным коэффициентом множественной регрессии. В рассматриваемом примере стандартное отклонение шести перемеыных приблизительно равно.
Соответственно относительная величина коэффициентов при их стандартизации изменяется незначительно. Иная ситуация наблюдается, когда стандартные отклонения отличаются друг от друга. !2. Если для приведения коэффициентов к стандартному виду ыспользуется матрица )Р; то дискриминзнтные переменные должны быть стандартизованы к общему среднему и межгруяяовым стандартным отклонениям Если же применяется матрица Т вЂ” переменные должны быть приведены к общему среднему и к общему стандартному отклонению. На практике для вычисления дискримвиантных значений мы обычно имеем дело с наблюдаемыми значениями переменных н нестандартизаазниыми коэффициентзмы дискрвминантной функции.
Стандартизованные коэффициенты ыспользуются только для проведения интерпретациы. 13. Структурные коэффициенты могут быть получены двумя способами, Первый применяет компьютерыую программу вычислении днскриминантных зна. ченнй каждой функции по соотношению (1), а затем — программу для вычислений коэффициентов корреляции Пирсона между функциями и переменными. Другой способ заключается в вычислении стандартизованных коэффициентов ыанонической дискриминантнай функции по следующей формуле: 17. Читатель должен заметить, что каноничесхие корреляции в табл. 9 получены для небольшого числа объектов (19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
