Лекция 12. Байесовские сети_ анализ выживаемости (1185289), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Мгновенный риск λ(t) в момент tопределяется как пределlim =∆t→0f (t)P [T ≤ (t + ∆t)|T ≥ t]=,∆tS(t)где f (t) плотностью вероятности наступления критического события вточке t. То есть f (t) = dFdt(t) , где F (t) = 1 − S(t). Таким образомочевидна справедливость простого дифференциального уравненияλ(t)dt = −−dS(t).S(t)(2)Проинтегрировав левую и правую части уравнения (1) на отрезке [t0 , t]убеждаемся в справедливости равенствRtln[S(t)] = −Λ(t) или S(t) = exp[−Λ(t)] где Λ(t) = t0 λ(t).Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1215 / 29В случае если форма кривой выживаемости зависит от переменныхX1 , .
. . , Xn , мгновенный риск также оказывается функциейпеременных X1 , . . . , Xn . В основе модели Кокса (моделипропорциональных рисков) лежит предположение о возможностипредставления мгновенного риска для произвольного объекта s∗ сописанием x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) в виде произведенияλ(t|x∗ ) = λ0 (t) exp (β1 ∗ x∗1 + . . . + βn ∗ x∗n ),где λ0 (t) - базовая компонента, зависящаятолько от времени. ПустьRtS0 (t) = exp[−Λ0 (t)], где Λ0 (t) = t0 λ0 (t). В результате получаем∗∗S(t) = S0 (t)[exp (β1 ∗x1 +...+βn ∗xn )] .Для поиска вектора параметров (β1 , . . .
, βn ) используется методмаксимального правдоподобия.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1216 / 29Модель пропорциональных рисков КоксаПредположим, что для настройки модели пропорциональных рисковиспользуется обучающая выборкаSe = {s1 = (α1 , t1 , x1 ), . . . , sm = (αm , tm , xm )}. Предположим, чтокритическое событие для объекта si произошло в момент времени ti .Вероятность того, что среди всех объектов, для которых критическоесобытие до момента ti не наступало, это событие в момент tiпроизошло именно с si оценим с помощью отношенияλ0 (ti ) exp (β1 ∗ xi1 + . .
. + βn ∗ xin )λ(ti |xi )=P=tj >ti λ(ti |xj )tj >ti λ0 (ti ) exp (β1 ∗ xj1 + . . . + βn ∗ xjn )Pexp (β1 ∗ xi1 + . . . + βn ∗ xin )tj >ti exp (β1 ∗ xj1 + . . . + βn ∗ xjn )=PСенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1217 / 29Функционал правдоподобия записывается в видеL(β1 , . . . , βn ) =mYexp (β1 ∗ xi1 + .
. . + βn ∗ xin ).tj >ti exp (β1 ∗ xj1 + . . . + βn ∗ xjn )Pi=1В модели используются значения (β1 , . . . , βn ), при которыхL(β1 , . . . , βn ) достигает максимума. Наряду со значением параметров(β1 , . . . , βn ) неизвестным параметром модели пропорциональныхрисков является форма базовой функции выживаемости S0 (t).
Однимиз возможных способов восстановления S0 (t) является подход,основанный на аппроксимация отношенияS(ti |β1 , . . . , βn , xi )S(ti−1 |β1 , . . . , βn , xi )величиной1− Pexp (β1 ∗ xi1 + . . . + βn ∗ xin )tj >ti exp (β1 ∗ xj1 + . . . + βn ∗ xjn )(3)для произвольной пары последовательных моментов времени (ti−1 , ti ),для которых имели место критические события.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1218 / 29При этом предполагается, что вектор параметров (β1 , .
. . , βn ) уже былранее найден с помощью описанного ранее варианта методамаксимального правдоподобия. Очевидно, что для вектора xi ,описывающего объект si из обучающей выборки, справедливоравенствоS(ti |β1 , . . . , βn , xi )S0 (ti ) exp(β1 ∗xi1 +...+βn ∗xin )=[].S(ti−1 |β1 , . . . , βn , xi )S0 (ti−1 )(4)0 (ti )Обозначим отношение SS0 (tчерез γi .
Из равенств (2) и (3) следуетi−1 )справедливость равенстваexp (β1 ∗ xi1 + . . . + βn ∗ xin )−1][exp(β1 ∗xi1 +...+βn ∗xin )]tj >ti exp (β1 ∗ xj1 + . . . + βn ∗ xjn )γi = [1 − PОчевидно, величина γi может быть рассчитана для каждого объектаиз выборкиe.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1219 / 29Оценка базовой функции выживаемости на отрезке времени [ti , ti+1 ]может оцениваться в виде произведения коэффициентов γi поe для которых критическое событиевсевозможным объектам S,наступило до момента ti . То естьYS0 (ti ) =γj .tj <tiСенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1220 / 29Временные рядыПод временным рядом понимается множество значений некоторойпеременной Z, измеренных в моменты времени, разделённыеодинаковыми интервалами. .
. , Z(ti−1 ), Z(ti ), Z(ti+1 ), . . .Временной ряд считается многомерным, если в каждый моментвремени измеряются значения нескольких переменных. Многомерныйряд, содержащий значения переменных Z1 , . . . , Zk , может бытьпредставлен в виде набора последовательностей:. . . , Z1 (ti−1 ), Z1 (ti ), Z1 (ti+1 ), . . ....,...,...,...,...,....
. . , Zk (ti−1 ), Zk (ti ), Zk (ti+1 ), . . .Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1221 / 29Временные рядыОсновной задачей анализа временных рядов является поискалгоритма, позволяющего предсказывать значения переменной Z илизначения переменных из некоторого подмножества Z1 , . . . , Zk в ещё ненаступившие моменты времени. Дополнительными задачами анализвременных рядов является поиск существующих эмпирическихзакономерностей, включая поиск циклических изменений переменных.Прогнозирование временного ряда производится с помощьюалгоритма, обученного по доступному в результате наблюденийучастку временного ряда достаточной длины.
Одним из способовпрогнозирования временных рядов является использованиеодномерной регрессионной функции f (t), зависящей от времени. В техслучаях, когда прогностическая способность f (t) являетсястатистически достоверной, а функция f (t) является линейной,говорят о наличии во временном ряду линейного тренда. Для поискалинейного тренда может быть использован метод простой одномернойрегрессии с использованием в качестве прогнозирующей переменнойX время t.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1222 / 29Временные рядыЗначения переменной Z в различных точках временного ряда.
. . , Z(ti−1 ), Z(ti ), Z(ti+1 ), . . .могут рассматриваться как реализации случайных функций. . . , Z̆i−1 , Z̆i , Z̆i+1 , . . . .Процесс, отображаемый временным рядом, называется стационарным,если совместное распределение вероятности для произвольных rпоследовательно расположенных в ряду случайных величинZ̆i+1 , . . . , Z̆i+rСовпадает с совместным распределением r случайных величинZ̆i+1+l , . . . , Z̆i+r+l , . .
.при некотором целом l.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1223 / 29Временные рядыОчевидно, что процесс является стационарным, если переменные. . . , Z̆i−1 , Z̆i , Z̆i+1 , . . .являются независимыми и одинаково распределёнными.Предположим, что функция f (t) полностью характеризует процесс.Это означает, что Z(ti ) = f (ti ) − εi , где . . . , εi−1 , εi , εi+1 , . . . независимые и одинаково распределённые ошибки с нулевымматематическим ожиданием. Тогда случайный процесс, отображаемыйвременным рядо. . . , [Z(ti−1 ) − f (ti−1 )], [Z(ti ) − f (ti )], [Z(ti+1 ) − f (ti+1 )], .
. . ,оказывается стационарным.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1224 / 29Временные рядыДля прогнозирования временного ряда в произвольной точке ti нарядус методами, основанными на выделении тренда, используютсяметоды, основанные на поиске оптимального алгоритма A ,вычисляющего оценку Z(ti ) по набору предшествующих значений{Z(tj1 ), . . . , Z(tjl )}, где (j1 , .
. . , jl ) является набором целых чисел. Тоесть оценка Ẑ(ti ) вычисляется по формулеẐ(ti ) = A[Z(tj1 ), . . . , Z(tjl )].Простейшим примером такого рода прогнозирования является методскользящего среднего, вычисляющего оценку Ẑ(ti ) в видеl1XẐ(ti ) =Z(ti−j ).lj=1Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1225 / 29Временные рядыИспользуется также метод взвешенного скользящего среднего,вычисляющего оценку Ẑ(ti ) в видеlẐ(ti ) =1Xcj Z(ti−j ),lj=1где (c1 , .
. . , cl ) являются неотрицательнымикоэффициентами,Pудолетворяющими условию lj=1 cj = 1.Нетрудно видеть, что прогностическая способность методаскользящего связана с относительным постоянство математическогоожидания случайных величин Z̆i−1 , . . . , Z̆i−l , . . .. Метод скользящегосреднего используется для “сглаживания” временных рядов,фильтрации высокочастотной шумовой составляющей.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1226 / 29Временные рядыВ общем случае для обучения алгоритма A могут быть использованывсевозможные методы регрессионного анализа и распознавания, еслипрогнозируемая переменная Z является категориальной. Обучениеалгоритма A может производится по таблице, составленный изэлементов, принадлежащих известному участку временного ряда.Предположим, что в результате наблюдений стали известны значенияZ(t1 ), .
. . , Z(tN ). По данному ряду может быть построена таблицаZ(tN ), Z(tN −1 ), . . . , Z(tN −l ),Z(tN −1 ), Z(tN −2 ), . . . , Z(tN −l−1 ),...,...,...,...,...,...,Z(tN −l ), Z(tN −l−1 ), . . . , Z(tN −2l ).Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1227 / 29Временные рядыПри этом первый слева элемент в каждой строке рассматривается вкачестве прогнозируемой величины Y . Далее последовательно слеванаправо значения переменной Z в строке рассматриваются в качествезначений прогнозирующих переменных X1 , . .
. , Xl . В случаемногомерных временных рядов при прогнозировании некоторойпеременной Zj могут быть использованы значения и другихпеременных из набора Z1 , . . . , Zk . .Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1228 / 29Временные рядыДля поиска циклических (сезонных) колебаний переменной Z могутбыть использованы методы корреляционного анализа. Для каждойпредполагаемой длины цикла l строится таблица, состоящая из двухстолбцов:Z(tN ), Z(tN −l ),Z(tN −1 ), Z(tN −l−1 ),...,...,...Z(tl+1 ), Z(t1 ).Вычисляется коэффициента корреляции между столбцами. Реальносуществующему циклу длины l∗ соответствует максимальная величинакоэффициента корреляции для таблицы, построенной по сдвигу l∗ , поотношению к коэффициентам корреляции для таблиц, построеннымисходя из других величин сдвига.Сенько Олег Валентинович ()МОТП, лекция 1229 / 29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
