2010 Задачи к экзамену по курсу МОТП (Журавлёв) (1185262)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задачи к экзамену по курсу «Математические основытеории прогнозирования» 20101. Вывести формулы векторного дифференцирования∇x aT x = a,∇x ∥Ax − b∥2 = 2AT Ax − 2AT b,∇2x ∥Ax − b∥2 = 2AT A.2. Найти нормальное псевдорешение для системы линейных уравнений.3. Даны N точек в двухмерном пространстве. Найти с помощью метода главных компонентпервую главную компоненту и проекцию выборки на одномерное пространство.4. Дана выборка X = {x1 , . . . , xN } из некоторого распределения p(x).

Требуется оценитьпо выборке с помощью метода максимального правдоподобия значения параметровэтого()1распределения. Например, у распределения Лапласа вида p(x) = 2bexp − |x−µ|оценить2bмат.ожидание µ при известном b или оценить b при известном µ.5. Дана выборка из N точек в двухмерном пространстве. Первая координата – это x, вторая– t. С помощью метода наименьших квадратов построить линейную регрессию вида t̂ =kx + b, т.е.

найти коэффициенты k и b.6. Решить задачу условной оптимизации выпуклой функции при выпуклых ограничениях,например− 5x2 + 2xy − 3y 2 → max,x,yx = y − 1.7. Дана марковская сеть видаx1x2x4x3с бинарными переменными x1 , x2 , x3 , x4 . Для этой модели заданы всезначения унарных функций θ1 (x1 ), θ2 (x2 ), θ3 (x3 ), θ4 (x4 ) и бинарных функцийθ12 (x1 , x2 ), θ23 (x2 , x3 ), θ34 (x3 , x4 ), θ41 (x4 , x1 ). С помощью репараметризации построитьграф,минимальныйразрез которого соответствует минимуму энергии вида∑∑4θ(x)+θ(xi , xj ).i=1 i i(i,j)∈E ij18.

Дана марковская сеть с бинарными переменными вида решетка:...........................Пусть все унарные энергии совпадают для всех вершин θi (xi ) = θ(x) и равны θ(0) =a, θ(1) = b. Аналогично все бинарные энергии совпадают между собой θij (xi , xj ) =θ(x, y) и равны θ(0, 0) = c, θ(0, 1) = d, θ(1, 0) = e, θ(1, 1) = f . Требуется выполнитьрепараметризацию в этом графе так, чтобы все энергии θij (0, 0) = θij (1, 1) = 0.9. Дана следующая вероятностная модель:p(X, T |µ, a0 , b0 ) =N∏p(xn , tn |µ, a0 , b0 ) =n=1p(xn |tn , µ) =√N (xn |µ, t−1n )=(N∏p(xn |tn , µ)p(tn |a0 , b0 ),n=1)tntn2exp − (xn − µ) ,2π2ba00 a0 −1a0p(tn |a0 , b0 ) = G(tn |a0 , b0 ) =tn exp(−b0 tn ), Etn = .Γ(a0 )b0Требуется выписать формулы ЕМ-алгоритма для максимизации правдоподобияp(X|µ, a0 , b0 ) → maxµпри фиксированных a0 , b0 .10.

Рассматривается вероятностная смесь двух дискретных распределений видаp(x) = γp1 (x) + (1 − γ)p2 (x).Величина x может принимать значения (1,2,3). При этом параметры распределенийравны:p1 :1α21−α30p2 :120 1−β3βВыборка X состоит из 30 единиц, 20 двоек и 60 троек. Требуется провести первые двеитерации ЕМ-алгоритма для восстановления параметров смеси (α, β, γ) для начальногоприближения α0 = β0 = γ0 = 0.5.11. Пусть имеется три бинарных переменных a, b, c ∈ {0, 1}, совместное распределениекоторых задается следующей таблицей:2a00001111b00110011c01010101p(a, b, c)0.1920.1440.0480.2160.1920.0640.0480.096Требуется показать, что переменные a и b не являются независимыми, но при этомявляются условно независимыми как при c = 0, так и при c = 1.12. Пусть имеется байесовская сеть с графом следующего вида:abcdТребуется показать, что переменные a и b являются независимыми, но при этом неявляются условно независимыми от переменной d.13.

Имеется скрытая марковская модель с двумя скрытыми состояниями и бинарныминаблюдаемыми переменными. Пусть наблюдаемая последовательность имеет вид X =(1011001110001 . . . ), т.е. идет группа из n единиц, потом группа из n нулей, потомгруппа из n + 1 единиц, n + 1 нулей и т.д. При этом наблюдаемая последовательностьсостояний T = (11112222111122221 . . . ). С помощью метода максимального правдоподобиятребуется оценить вектор априорных вероятностей π и матрицу перехода A, если длинапоследовательности равна 200.14. Имеется скрытая марковская модель с двумя скрытымисостояниями.Вектор априорных()0.9 0.1. Наблюдаемая переменнаявероятностей π = (0.5, 0.5), матрица перехода A =0.2 0.8является бинарной, в первом состоянии значение ноль выпадает с вероятностью 0.8, вовтором состоянии – с вероятностью 0.2.

Требуется с помощью алгоритма Витерби найтинаиболее правдоподобную последовательность скрытых состояний для наблюдаемойпоследовательности X = (0, 0, 1, 0, 0, 1, 1).15. Имеется скрытая марковская модель с двумя скрытымисостояниями.Вектор априорных()0.9 0.1вероятностей π = (0.5, 0.5), матрица перехода A =. Наблюдаемая переменная0.2 0.8является бинарной, в первом состоянии значение ноль выпадает с вероятностью 0.8,во втором состоянии – с вероятностью 0.2. Требуется с помощью алгоритма «впередназад» вычислить все маргинальные распределения вида p(tn |X) для наблюдаемойпоследовательности X = (0, 0, 1).316. Рассматривается игра «Морской бой». В квадрате размера 3 × 3 возможны две ситуации:один двухпалубный корабль и два двухпалубных корабля. С помощью построениятупикового теста найти минимальное число ходов, необходимое для гарантированногоопределения того, какая из двух ситуаций имеет место.17.

Найти результирующую ДНФ для системы тестовых уравненийx1 ∨ x2 = 1, x2 ∨ x3 = 1,x3 ∨ x4 = 1,........... xn−1 ∨ xn = 1.18. В обучающей таблице класс K1 состоит из всех векторов, принадлежащих шару радиуса3 с центром в (0, 0, . . . , 0), а класс K2 состоит из всех векторов, принадлежащих шарурадиуса 4 с центром в (1, 1, . . .

, 1). К какому классу будет отнесен объект (0, 1, . . . , 0, 1)алгоритмом «Кора», если n – четное?19. В обучающей таблице класс K1 представлен объектами (0, 0, . . . , 0, 0) и (1, 1, . . . , 1, 1),а класс K2 — объектами (1, 0, 1, 0, . . . ) и (0, 1, 0, 1, . . . ). Тестовый объект имеет вид(1, 1, .

. . , 1, 0, 0, . . . , 0). К какому классу будет отнесен этот объект алгоритмом «Кора»| {z }kпри четном и нечетном n?20. Написать формулу для числа голосов в алгоритме вычисления оценок, если функцияблизости определяется параметрами ε1 , . . . , εn , допустимое число невыполняющихсянеравенств q = 3, а совокупность характеристических векторов опорных множествобразует интервал конъюнкции x1 . . . xr x̄r+1 . . .

x̄r+k .21. В алгоритме вычисления оценок x11 = 1, x10 = x01 = x00 = 0. Написать формулу длячисла голосов, если функция близости определяется параметрами ε1 , . . . , εn , допустимоечисло невыполняющихся неравенств равно q, а система опорных множеств состоит из всехподмножеств мощности 2q.4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)