Главная » Просмотр файлов » Учебное пособие по методам Флойда

Учебное пособие по методам Флойда (1185162), страница 7

Файл №1185162 Учебное пособие по методам Флойда (Учебное пособие по методам Флойда) 7 страницаУчебное пособие по методам Флойда (1185162) страница 72020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если спецификация не указана, считается,что она содержит тождественно истинные предусловие и постусловие. Если в функции указанное условие может быть выполнено,обоснуйте это.a) void swap(int *x, int *y) {int t = *x;*x = *y;*y = t;}непосредственно в этой функции происходитразыменование нулевого указателя.b) long list_sum(struct node_t *list) {long sum = 0L; struct_node_t *p = list;while (p != 0) {sum += p->value;p = p->next;}return sum;}сумма элементов списка из одного элемента большезаглавного элемента.552 Практикум по методам ФлойдаВданномразделеприводитсябольшоечислозадачнадоказательство полной корректности блок-схем.2.1 Ещё один пример доказательства полнойкорректностиSTART:( y1, y2 )  ( x1, x2 )Fy1  y2T( y1, y2 )  ( y2, y1 )FTy1  0HALT:z  y2( y1, y2 )  ( rem(y2, y1), y1 )Рисунок 6.

Блок-схема программы вычисления наибольшего общего делителя.Нарисунке6представленаблок-схемапрограммынадмножеством переменных V, вычисляющая наибольший общийделитель. Множество переменных V = {x1, x2, y1, y2, z} состоит издвух входных, двух промежуточных и одной выходной переменных.Доменом всех переменных является множество целых чисел.56Операторrem(y1, y2)обозначаетостатокприцелочисленномделении y1 на y2.Необходимоотносительнодоказатьвходногополнуюпредикатакорректность  (x1  0)∧блок-схемы(x2  0)ивыходного предиката   ( z  НОД(x1, x2) ).START:( y1, y2 )  ( x1, x2 )Fy1  y2BT( y1, y2 )  ( y2, y1 )CFAy1  0( y1, y2 )  ( rem(y2, y1), y1 )THALT:z  y2Рисунок 7.

Блок-схема вычисления НОД с точкой сеченияРешение:Для доказательства корректности программы нам будут полезныследующие свойства наибольшего общего делителя:Утверждение 1. Если натуральное число a не делится безостатка на натуральное число b, то НОД(a, b) = НОД(rem(a,b), b).Утверждение 2. Если натуральное число a делится нанатуральное число b, то НОД(a, b) = b.571. Доказательство частичной корректности программы.Выберем точку сечения программы наШаг 1.

Точки сечения.переходе,выходящемизнижнегоусловногооператораипомеченном символом F. На рисунке 7 эта точка сечения помеченасимволом A. Эта точка сечения разбивает единственный цикл,имеющийся в программе, и поэтому определять другие точкисечения не требуется.Шаг 2. Индуктивные утверждения.Поставим в соответствиеединственной точке сечения индуктивное утверждениеp(x1, x2, y1, y2) = (0  y1  y2) ∧ (НОД(x1, x2) =НОД(y1, y2)).Перечислим все базовые путиШаг 3.

Условия верификации.программы:1. START-B-HALT4. START-C-A2. START-C-HALT5. A-A3. START-B-AРассмотрим условия6. A-HALTверификации, соответствующиеэтимпутям.START-B-HALT x1 x2 (x1  0) ∧ (x2  0) ∧ (x1  x2) ∧ (x1  0)  (x2 НОД(x1, x2))Предпосылкаявляетсяложной,таккакx1неможетодновременно равняться 0 и быть больше 0. Следовательно, данноеусловие верификации является истинным.START-C-HALTx1x2 (x1  0)∧ (x2  0)( x1  НОД(x1, x2) )58∧ (x1x2)∧ (x2  0)Опять предпосылка является ложной, так как x2 не можетодновременно равняться 0 и быть больше 0. Следовательно, данноеусловие верификации является истинным.START-B-A x1 x2 (x1  0) ∧ (x2  0) ∧ (x1  x2) ∧ (x1  0)  (0  x1  x2)∧ (НОД(x1, x2) = НОД(x1, x2))START-C-A x1 x2 (x1  0) ∧ (x2  0) ∧ (x1  x2) ∧ (x2  0)  (0  x2  x1) ∧(НОД(x1, x2) = НОД(x2, x1))A-A x1 x2 y1 y2 (x1  0) ∧ (x2  0) ∧ (0  y1  y2) ∧ (НОД(x1, x2) =НОД(y1, y2)) ∧ (rem(y2, y1) = 0)  (0  rem(y2, y1)  y1) ∧(НОД(x1, x2) = НОД(rem(y2, y1), y1))A-HALT x1 x2 y1 y2 (x1  0) ∧ (x2  0) ∧ (0  y1  y2) ∧ (НОД(x1, x2) =НОД(y1, y2)) ∧ (rem(y2, y1) = 0)  ( y1  НОД(x1, x2) )2.

Доказательство завершимости программы.Шаг 1. Точки сечения. Выберем ту же точку сечения программы, что и в предыдущем случае. В качестве индуктивного утверждения выберем q(x1, x2, y1, y2) = (0  y1  y2), которое являетсяследствием индуктивного утверждения, использовавшегося ранее.Это мы сделаем для сокращения доказательства завершаемости: вопервых, не нужно повторно составлять условия верификации, а, вовторых, условия корректности и завершимости будут короче.

В качестве фундированного множества мы возьмем множество натуральных чисел с естественным отношением порядка.59Шаг2.Оценочныефункции.Поставимвсоответствиеединственной точке сечения оценочную функцию u(x1, x2, y1, y2) =y1. Значения этой переменной неотрицательны и убывают на каждой итерации. Осталось это показать формально.Сформулируем условие корректности определения оценочнойфункции:  x1 x2 y1 y2 (x1  0) ∧ (x2  0) ∧ (0  y1  y2)  (y1 > 0)Это условие является истинным.Шаг 3. Условия завершимости. Рассмотрим все промежуточныебазовые пути блок-схемы. В данном случае – это единственныйпуть A-A. Запишем для него условие завершимости: x1 x2 y1 y2 (x1  0) ∧ (x2  0) ∧ (0  y1  y2) ∧  (rem(y2, y1) =0)  (y1 > rem(y2, y1))Это условия является истинным, так как при целочисленном делении одного положительного числа на другое остаток по определению меньше делителя.Шаг 4.

Условия успешности вычисления функций. В блок-схемеиспользуется операция rem(y2, y1), которая не определена приy1 = 0. Поэтому необходимо доказать, что всякий раз при вычислении этой операции будет соблюдено условие y1 ≠ 0. Для этого составим следующее условие корректности: x1 x2 y1 y2 (x1  0) ∧ (x2  0) ∧ (0  y1  y2)  (y1 ≠ 0)Это условие также является истинным.Мы доказали частичную корректность относительно (, ) иуспешную завершаемость программы на .

Из этого по лемме 2следует полная корректность программы.602.2 Одинподходкпостроениюиндуктивныхутверждений и оценочных функцийОсновной сложностью данных задач является выбор подходящих индуктивных утверждений и оценочных функций.Индуктивные утверждения выбираются, исходя из семантикипрограммы, как инварианты на значение переменных в соответствующей точке. Эти инварианты должны быть достаточны для доказательства всех условий в методе индуктивных утверждений (и,при необходимости, в методе фундированных множеств).Для выбора индуктивных утверждений бывает полезно выписать значения всех промежуточных переменных в предполагаемойточке сечения для нескольких наборов входных данных.

Это можетподсказать зависимость между переменными и выразить её в видепредиката. Последующая проверка корректности выбранных утверждений выполняется при доказательстве сформулированных условий верификации, корректности и завершимости. Если какое-то изусловий не доказывается, то, как правило, становится видно, чтоименно необходимо изменить в индуктивном утверждении для исправления ситуации.Оценочные функции выбираются для обеспечения монотонногоубывания некоторой величины при каждом переходе по промежуточному базовому пути.Прокомментируем сказанное об индуктивных утверждениях напримере.

Требуется доказать частичную корректность блок-схемына рисунке 8 относительно входного предиката   (x ≥ 0) и выходного предиката   ( z  x2 ). Домены всех переменных — целыечисла.61START:(y1, y2, y3, y4) ← (0, -1, 1, x)TAF0 ≤ y2 + y3 ≤ xFT(y1, y2) ← (y1 + y4, y2 + y3)y2 + y3 < 0(y3, y4) ← (- y3, -1)HALT:z ← y1Рисунок 8. К демонстрации метода построения индуктивых утвержденийВыберем точки сечения так, чтобы уменьшить число условийверификации. Для этого можно выбрать точку А, как это показанона рисунке 8, и обозначить индуктивное утверждение, приписанноеэтой точке, как p(x, y1, y2, y3, y4). Тогда мы должны подобрать такоевыражениедляпредикатаследующиеусловияp,чтобыверификациибыли(длявыполненысокращениявсезаписикванторы опущены):1.

x ≥ 0  p(x, 0, -1, 1, x)2. x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y2 + y3 ≤ x ∧ p(x, y1, y2, y3, y4)  p(x, y1 + y4, y2 + y3,y3, y4)3. x ≥ 0 ∧ y2 + y3 > x ∧ p(x, y1, y2, y3, y4)  p(x, y1, y2, -y3, -1)4. x ≥ 0 ∧ y2 + y3 < 0 ∧ p(x, y1, y2, y3, y4)  y1 = x2Самым простым индуктивным утверждением, инвариантом,является тождественно истинный инвариант. Проверим, может либытьp(x, y1, y2, y3, y4)  T62При таком p первые три формулы истинны, а последняя ложна.Посмотрим контрпример для последней формулы, если p  T, т.

е.подберем такие значения для переменных, при которых посылкаистинна, а заключение ложно. Например, контрпримером будуттакие значения: x = 0, y1 = 1, y2 = 0, y3 = -1, y4 = 0.Проанализируем, может ли такой контрпример реализоватьсяпри указанном х. Для этого достаточно выписывать вычислениепри этом значении переменной х. Получится, что, например, y1 вовсех конфигурациях равен 0, но не 1, как в контрпримере. Т.е.индуктивное утверждение p  T не позволяет доказать последнююформулу, т. е. из него не следует, что y1 = x2. Проанализируем,какие инвариантные свойства обеспечит выполнение этого условия.Можно попытаться это определить, выписав разные вычисления.Можно сделать вывод, что y1 сначала возрастает, начиная с 0,увеличиваясь на х, а затем убывает до x2. Причем при возрастанииy3равен1,априубываниионравен-1.Тогдаможносформулировать такие следствия:y3 = 1  y1 = x (y2 + 1)y3 = -1  y1 = x2 + y2Тогда возьмем в качестве p такой предикат: (y3 = 1  y1 = x (y2 +1)) ∧ (y3 = -1  y1 = x2 + y2) и подставим его в написанные выше 4формулы:1.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
518,02 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее