Fluegge-2 (1185101), страница 11
Текст из файла (страница 11)
~Ч" — Че!(т,, (151.3б) е=! Ф=! Масштабное преобразование г;=Хе!, (151.4) оставляющее в силе условие (151.2), означает, что волновая функция Ч"(т„ т„ ° , и!е) заменяется функцией Чек =)~ее!1еЧ" () У'о ХФ'„..., Хгл!). (151 5) Подставляя выражение (15!.5) в формулы (151.3а) и (151.3б) и гереходя к новым переменным интегрирования (151.4), а также учитывая, что 1 1 77= Х'7!', — = Х вЂ” е-, е!» Доказательство провести с помощью масштабного преобразования координат, сохраняющего нормировку волновой функции рас- сматриваемой системы. ТО )«' Мнозочастпичльм задачи.
А. Малое число частиц мы вместо истинного значения энергии Е = Ек а« + Епотоп получаем выражение Е (Л) = У Еккп + ХЕп„,п, (151.6) которое, очевидно, должно иметь минимум в том случае, когда из семейства функций (151.5) выбирается функция, являющаяся решением уравнения Шредингера, т. е. при условии 1=1. Следовательно, при Х=! выражение дЕ (й) «нп+ Ело«он должно обращаться в нуль, и поэтому 2Е«кк + Епотон (151,7) что и требовалось доказать. Замечание, )(ля приближенных решений справедливость теоремы вириала не обязательна, тем более интересно, что ее можно доказать для статистической модели атома Томаса — Ферми (см.
задачу )75). Задача 152. Определитель Слэтера Пусть волновая функция системы из й) одинаковых частиц представлена в виде произведения одиочастичных волновых функций и антисимметрнзована в соответствии с принципом Паули. Выразить среднее значение оператора, описывающего действие внешних сил, через одночастичные интегралы. Решение. Обозначим через ит(ч) одночастичную волновую функцию ч-й частицы в состоянии ! (и означает совокупность пространственных и спинозой координат рассматриваемой частицы). Тогда полностью антисимметричную' волновую функцию системы из )() одинаковых частиц можно записать в виде определителя Слэтера: и,(1) и,(2) ...
ит(У) и,(1) и,(2) ... и,(й)) (152.! ) и (1) и (2) ... и (й)) раскрывая который, получаем ф=С~н( — !)'Р(и„и„..., и ). (152. 2) Здесь Р означает произвольную перестановку функций ит отио- 1йл. Определитель Слетера сительно их аргументов т, взятых в стандартном порядке 1, 2, ..., У. Если Р— четная перестановка, то соответствуюшее слагаемое в сумме берется со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. Внешние силы, описываемые оператором ь1, будут действовать на все частицы одинаковым образом. Зто означает, что (152. 3) и его среднее значение будет равно <ф)а(ф>=!С!ь чр ( — 1)"'х Р, Р' х (Р'(и„..., и, ) ~ ~~Р~(1,~ Р(и„..., и, ))).
(152.4) Выделим из суммы (152.4) одно слагаемое, в котором оператор 11, действует только на функцию координат и спина т-й частицы, например, на функцию и!(т). Координаты и спин любой другой, скажем )ь-й частицы, фигурируют в этом слагаемом в качестве аргумента какой-нибудь другой функции и в обеих перестановках Р и Р' одновременно, так как в противном случае рассматриваемый член исчез бы в силу ортогональности одночастичных волновых функций: <и ~ иь> = б „.
(152.5) Это означает, что перестановки Р и Р' в отличных от нуля членах идентичны и, следовательно, знаковый множитель в (152,4) всегда равен +1, а вклад рассматриваемого слагаемого имеет вид одночастичного интеграла: <Р' ~(л, ! Р> = брр. <и! (т) ) !!ь) и! (т)>, (152,5) Для дальнейшего подсчета суммы (!52.4) заметим, что в волновую функцию ф множитель и!(т) (! и т фиксированы) входит в сочетании с определителем У вЂ” 1-го порядка. За вычетом функции и! и аргумента т у нас еше остается У вЂ” 1 функция и У вЂ” ! аргумент, так что из всех У1 возможных перестановок в нашем распоряжении имеется (У вЂ” 1)! перестановок У вЂ” 1 функции относительно У вЂ” 1 аргумента.
Таким образом, получаем <ф ~ О, ~ ф> = ! С !ь (У вЂ” 1)! ~~.", <и! (т) ~ !л ) и! (т)>. (152.7) 1=! Эгот результат, разумеется, остается в силе, какой бы оператор 11, из суммы (152.3) мы ни брали, поэтому среднее значение <ф ~ !! (ф> будет содержать У одинаковых слагаемых (152.7). 72 7)г. Многочастичные задочи. А. Малое число частиц Следовательно, мы имеем <чР!й/ф>=(С'))У! ~ <ис(ъ)~й,(ие(т)>.
(152.8) е=! Нам осталось найти нормировочную постоянную С из условия <ту ) ф> = 1, (152.9) означающего, что в пространстве достоверно имеется У частиц. Формально это можно сделать, положив в равенстве (152. 3) Й„= 111)7. Так как при этом О = 1, то равенство (152.8) с учетом условия нормировки одночастичных функций (152.5) дает <ф(ф>=!С)ай(1 Х ' =)С)з)91. е =! Отсюда с помоптью равенства (152.9) получаем С= И-ч*. (152.10) Теперь правую часть равенства (152.8) мы можем окончательно записать в виде простой суммы средних значений по одночастнчным состояниям: <ф ! 0 (Ч» =,Е~ <иг (т)1(е,)и,(т)>. (152.11) Замечание.
Пренебрегая симметризацией и заменив волновую функцию (152.1) простым произведением ф=н,(1) «,(2) ... ил (У), (!52.12) мы получили бы <ф) () ! ф> — ~>' <ич! 1) ) и > (152,13) ч=! и сФ! ф>=1. (152.14) т. е. по сущесзау те же самые результаты (152.11) и (!52.9), которые были найдены с помощью антисимметризОванной волновой функции. Ни для взаимодействия между частицами, которое не удовлетворяет равенству (152.3), ни пля иеортогональиых одночастичиых функций, для которых нарушается условие (!52.5), такое совпадение результатов не имеет места, Задача 153.
Определитель Сантера н обменное взаимодействие Система описывается антисимметризованной волновой функцией предыдущей задачи. Определить среднее значение оператора О= — 2Е Он" (153.1) отвечающего парному взаимодействию частиц. сад. Определитель Олэтери и обменное еэоимодейотеие 73 решение.
Пользуясь теми же обозначениями и нормировкой, что и в предыдущей задаче, можно записать среднее значение одного члена суммы (153.1) в виде <ф ! () ы ! Ф> = = —, „~, ( — 1)Р+Р'<Р'(и„..., им))йы,(Р(и„..., иос)>. (153.2) Все функции и„, аргументы которых отличаются от р и т, должны входить в перестановки Р н Р' одинаковым образом, чтобы соответствующее слагаемое в сумме (153.2) не обратилось в нуль.
Так как в нашем распоряжении имеются сэ' — 2 такие функции и столько же аргументов, то мы можем переставлять их (с!с' — 2)! различными способами. Если все эти частичные перестановки одинаковым образом входят в полные перестановки Р и Р', то на долю аргументов !л и т в каждом неисчезающем члене суммы (153.2) остается только одна пара функций, например, и,и .
Таким образом, имеем <с)с)()ыэ!ф>= ЛсС 2~~ (<"с(р)ис(т)!!1ыо! "с(р)ис(т)>— (ссс — л)! с, с — <ис ()с) ис (т) ! (сы, ! и; ()с) ис (т)>). (153.3) В первом классическом члене из фигурных скобок перестановки Р и Р' одинаковы даже по отношению к аргументам р и т, поэтому здесь эти перестановки совпадают полностью. Во втором обменном члене перестановки Р и Р' отличаются на одну транс- позицию (с! — )с), что как раз приводит к появлению знака минус. Рассмотрим теперь сумму (153.1) таких операторов Оы,.
Мы имеем <эр! И !ф> = З .(Л. .) ~~'„ ~~ (<ис(р) ис(т)((еы,! ис()с) иС(т)>— ы.э с,С вЂ” <ис(р) ис(ъ) ! !лы,! и,(р) ис(т)>). (153А) В этой формуле индексы р и ч являются немыми переменными, поэтому сумма ~~.", состоит из йС(с(с' — 1) одинаковых слагаемых ы, э (члены р, т и т, р считаются здесь различными). Следовательно, искомое среднее значение оказывается равным <ф ! Й ! ф> = —,)' (<ис (1) ис(2) ! Й„! ис (1) ис(2) >— — <и,(1) ис (2) ! (л„!и; (1) ис (2)>). Здесь символы 1 и 2, конечно, совершенна произвольны.
74 ГУ, Многочасгоичнае аааачи. А. Малое число частиц Следует снова подчеркнуть, что как в этой задаче, так и в предыдущей, каждая одночастичная волновая функция и! зависит н от пространственных координат и от спинового состояния. Задача 154. Два атомных электрона в основном состоянии К-оболочка атома образована двумя электронами в 1з-состоянии. Оценить их энергию, воспользовавшись экранированными водородными волновыми функциями в поле бесконечно тяжелого ядра с зарядом 2е. Решение. Гамильтониан данной задачи, записанный в атомных единицах (а=!1=а!=1), выглядит следующим образом: и= — — (!!1+у*,) — г( — + — )+ —, (154, 1) 2 ' ' тг, г) в„' а приближенная волновая функция, согласно задаче 67, имеет вид (7 и (г ) п(г ) а а-а !ччо! (154.2) здесь а=Я вЂ” о, (154.3) где и — экранировочная постоянная.
Следует ожидать, что 0 ( и < 1, поскольку действие ядерного заряда на каждый эл< ктрон лишь частично экранируется другим электроном. Отдельные сомножители из выражения (154.2) удовлетворяют волновым уравнениям ( ',) 1, ат 1 — — рвв — ) и(г ) = — — яви(г,), 2 гв) в 2 ' ..) 1 ай ! — — уч — — ) и(г ) = — — мчи(г ) 2 в так что а выражение для среднего значения энергии принимает вид а а 1 ! в Е= ] 1 1 — яч — — — + — ~(/вв(т, в(тч.
(154.4) г, г, гв 1 Подставляя сюда явное выражение (154.2) для функции (7 и учитывая нормировку каждого сомножителя и, получаем аз Г е-тао ач ! Г Е-ва!Ччвн Е = — ач — 2о — ) — в(т, + —, ) ) в!т, амтв. (154.5) вов, Два атомных вон!трона в основном состоннии Первый интеграл в формуле (154.5) вычисляется элементарно: а в-эа', в!т — 4л ~ г в-эас!с!с ! ~ ! ! оэ ! о (154.6) Чтобы вычислить двойной интеграл у=Ц' '""""',,~„, разложим дробь 1/гм по полиномам Лежандра: ! Ю вЂ” ~ ( — ') Р„(созО), 0<г!<г„ ! ~ ' =в "и э у=! в, -""4 — ! ! '""в 4-!, '"ав,). /1 с сэ,~ о 3 Так как с(т,=4пг',с(г, и О~~в, < оо, то все интегралы вычисляются элементарно, и мы получаем ,7= — „, .
(154.7) После подстановки значений интегралов (154.6) н (154.7) среднее значение энергии (154.5) принимает вид Е =- — а! — 2 (Л вЂ” сс) сх + — а, о 8 (154.8) До сих пор мы не налагали на значения я никаких ограничений. Теперь же мы потребуем, чтобы значение сс было оптимальным в смысле вариационного исчисления, для этого положим — =О. (154.9) Отсюда получаем з а =- с, —— 16 (154.
1О) (154. 1! ) где Он — угол между векторами г, и г,. Вклад в интеграл 7 дает только первый член разложения (п=О), поэтому имеем 76 Лг. А(ноеочастичные задачи. А. Малое число частиц Отметим, что при таком значении а функция (154.2) становится точной собственной функцией гамнльтониана Н'= — — (у(+ у,) — а ( — + — ~1, (!54.12) допускающего разделение переменных. Сравнивая выражения (154.!2) и (154.1), находим г! !т 1 И =Н вЂ” Н = — о( — + — !+ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
