УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПРАВОЙ ЧАСТИ (1181173)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Покажите, что из равномерной устойчивости разностной схемы yn +1 = Rτ yn + τ B −1 f n поначальным данным следует устойчивость по правым частям. Здесь Rτ - операторпослойного перехода.Наряду с разностным уравнением(1)yn +1 = Rτ yn + τ B −1 f nБудем рассматривать также однородное разностное уравнениеyn +1 = Rτ yn .(2)Определение 1. Разностная схемаyn +1 = Rτ yn + τ B −1 f n , n = 0,1,… , N − 1 ;y0 ∈ H h - заданназывается устойчивой (по начальным данным и правой части),если найдутся постоянные M 1 > 0 и M 2 > 0 , не зависящие от τ , h иtn , и такие, что при ∀ f h ,τ ( tn ) ∈ H h - правых частях и∀ y0 ∈ H h - начальных данныхдля решения уравнения (1) выполняется оценкаyn U ≤ M 1 y0 U + M 2 max f j , n = 0,1,… , N .0≤ j ≤ N −1FОпределение 2. Разностная схемаyn +1 = Rτ yn + τ B −1 f n , n = 0,1,… , N − 1 ;y0 ∈ H h - заданназывается устойчивой по начальным данным,если найдется постоянная M 1 > 0 , не зависящая от τ , h и tn , и такая,что при ∀ y0 ∈ H h - начальных данных для решения однородногоуравненияyn +1 = Rτ yn , n = 0,1,… , N − 1 ;y0 ∈ H h - заданвыполняется оценкаyn U ≤ M 1 y0 U , n = 0,1,… , N .Определение 3.

Разностная схемаyn +1 = Rτ yn + τ B −1 f n , n = 0,1,… , N − 1 ;y0 ∈ H h - заданназывается устойчивой по правой части,если найдется постоянная M 2 > 0 , не зависящая от τ , h и tn , и такая,что при ∀ f h ,τ ( tn ) ∈ H h - правых частях для решения уравненияyn +1 = Rτ yn + τ B −1 f n , n = 0,1,… , N − 1 ;y0 = 0выполняется оценкаyn U ≤ M 2 max f j , n = 0,1,… , N .0 ≤ j ≤ N −1FОпределение 4. Разностная схемаyn +1 = Rτ yn + τ B −1 f n , n = 0,1,… , N − 1 ;y0 ∈ H h - заданназывается равномерно устойчивой по начальным данным,если найдутся ρ = const > 0 и постоянная M 1 > 0 , не зависящая от τ ,h и tn , и такие, что ∀n = 0,1,… , N − 1 , N > 1 и при ∀ yn ∈ H h начальных данных для решения yn +1 однородного уравненияyn +1 = Rτ yn , n = 0,1,… , N − 1 ;y0 ∈ H h - заданвыполняется оценкаyn +1 U ≤ ρ yn U ,причем ρ n ≤ M 1 .Требование равномерной устойчивости эквивалентно ограниченности нормы операторапослойного перехода, который, вообще говоря, может зависеть от n , константой ρ :Rτ ≤ ρ .А т.к.

ρ n ≤ M 1 , то( Rτ )n≤ M1 .Пусть (для усугубления ситуации /) B −1 = Bn −1 - зависит от n .yn +1U= Rτ yn + τ Bn −1 f n≤ ρ ynU+ τ Bn −1 f nU≤ Rτ ynU(+ τ Bn −1 f nU≤ ρ ρ yn −1U≤ RτU+ τ Bn −1−1 f n −1≤ ρ 2 yn −1U+ ρτ Bn −1−1 f n −1U≤ ρ n +1 y0U+ ρ nτ B0 −1 f 0+ … + ρτ Bn −1−1 f n −1U+ τ ∑ ρ n − j B j −1 f j= ρ n +1 y0U+ τ Bn −1 f nn1Uj =0nU+ τ M 1 ∑ B j −1 f j= M 1 y0U+ τ ( n + 1) M 1 max B j −1 f jj =0U≤ M 1 y00≤ j ≤ nПолагая теперь M 2 = T M 1 и вводя f jyn +1UUFUUU+ τ Bn −1 f n) +τBn −1 f n+ τ Bn −1 f nUUnU+ τ ∑ M 1 B j −1 f jj =0+ τ M 1 ∑ max B j −1 f jj =0= M 1 y0= B j −1 f j≤ M 1 y0U≤≤=UnUUU≤ …≤≤ M 1 y0= M 1 y0ynUUU0≤ j ≤ nU==+ T M 1 max B j −1 f j0≤ j ≤ nU., получаем, что+ M 2 max f j0≤ j ≤ nF.Если теперь потребовать, что y0 = 0 , тоyn +1U≤ M 2 max f j0≤ j ≤ nF,т.е.

иместо устойчивость по правой части, ЧТД.1В силу равномерной устойчивости по начальным даннымρ n +1 ≤ M 1 и ρ n − j ≤ M 1при j = 0,1,… , n ..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы