построение схемы методом неопределенных коэффициентов (1181171)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Методом неопределенных коэффициентов построить разностную схему, аппроксимирующую уравнение∂u ∂ 4u=, u (0, x) = ϕ ( x); 0 ≤ t ≤ x; − ∞ ≤ x ≤ ∞ на сетке∂t ∂x 4Dh = {(t n , xm ) : t n = nτ ,τ N = 1, n = 0 ÷ N ; xm = mh, h = const , m = 0; ±1; ±2;...} вточке {m, n} , используя заданный шаблон. Указать порядок аппроксимации.Перепишем ДУЧП в виде∂u ∂ 4 u−= 0.∂t ∂x 4Запишемнеготеперьдлянауказанномn +11 mнеопределенными коэффициентами: a uшеститочечном+ a 2 u + a3 unmnm −1+ a4uшаблонеnm−2+ a5 unm −3разностное+ a6 unm−4уравнение= 0.Воспользуемся разложением проекции точного решения на сетку по формуле Тейлора:un +1m= u + τ (unm)nt m+τ22u mn − k = u mn − kh(u x )m +n(utt )nm + O(τ 3 ) ,(kh)2 (u )n − (kh)3 (u )n + (kh)4 (u )n + O(h 5 ) :xx mxxx mxxxx m23!4!⎡ n⎤τ2nna1 ⎢u m + τ (u t )m + (u tt )m + O τ 3 ⎥ + a 2 u mn +2⎣⎦2⎡(h ) (u )n − (h )3 (u )n + (h )4 (u )n + O h 5 ⎤ +n+ a3 ⎢u mn − h(u x )m +⎥xx mxxx mxxxx m2624⎦⎣234⎡(2h ) (u )n − (2h ) (u )n + (2h ) (u )n + O h 5 ⎤ +n+ a 4 ⎢u mn − 2h(u x )m +⎥xx mxxx mxxxx m2624⎣⎦234⎡(3h ) (u )n − (3h ) (u )n + (3h ) (u )n + O h 5 ⎤ +n+ a5 ⎢u mn − 3h(u x )m +⎥xx mxxx mxxxx m2624⎣⎦234⎡(4h ) (u )n − (4h ) (u )n + (4h ) (u )n + O h 5 ⎤ = [u ]n − [u ]n .n+ a 6 ⎢u mn − 4h(u x )m +⎥xxxx mt mxxxx mxxx mxx m2624⎣⎦( )( )( )( )( )Составляем систему из 6 уравнений для 6 неизвестных:⎧a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 + a 6 = 0,1⎧⎪a τ = 1,a 2 + a3 + a 4 + a5 + a6 = − ,⎪τ⎪ 1⎪1⎪− ha3 − 2ha 4 − 3ha5 − 4ha 6 = 0,⎪a1 = ,222⎪h2τ⎪()()()hhh234⎪ a +a4 +a5 +a 6 = 0, или ⎪⎨a3 + 2a 4 + 3ha5 + 4a 6 = 0,⎨2 3222333⎪a3 + 4a 4 + 9a5 + 16a 6 = 0,⎪ h3⎪a + 8a + 27 a + 64a = 0,⎪− a3 − (2h ) a 4 − (3h ) a5 − (4h ) a 6 = 0,456666⎪ 3⎪ 64444⎪a + 16a + 81a + 256a = − 24 .⎪h(2h ) a + (3h ) a + (4h ) a = −1456a+⎪⎩ 3⎪3456h4242424⎩ 24nnnnПри этом (u t )m + O (τ ) − (u xxxx )m + O (h ) = [u t ]m − [u xxxx ]m , т.е.

порядок аппроксимации будет O(τ , h ) .Целесообразно последние четыре уравнения системы рассмотреть отдельно:с4 ⎞⎛ a1 ⎞ ⎛⎜ 0 ⎞⎟⎛1 2 3⎜⎟⎜ ⎟⎜1 4 9 16 ⎟⎜ a 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜1 8 27 64 ⎟⎜ a ⎟ = ⎜ 0 ⎟ .⎟⎜⎟⎜ 3 ⎟ ⎜⎜1 16 81 256 ⎟⎜ a ⎟ ⎜ − 244 ⎟⎝⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ h ⎠(1)( 2 ) − (1)( 3) − ( 2 )( 4 ) − ( 3)⎛1 2 34 0 ⎞⎟⎜⎜1 4 9 16 0 ⎟⎜⎟⎜1 8 27 64 024 ⎟⎜⎜1 16 81 256 − 4 ⎟⎟h ⎠⎝(1) + ( 3) / 2( 2 ) − ( 3) / 2( 3) / 6( 4 ) −3( 3)⎛1⎜⎜0⎯⎯ ⎯⎯→ ⎜⎜0⎜⎜ 0⎝и a2 = −⎛1⎜⎜0⎯⎯⎯→ ⎜⎜0⎜⎜ 0⎝01000 4 0 ⎞⎟0 −6 0 ⎟⎟1 4 0 ⎟240 24 − 4 ⎟⎟h ⎠0 ⎞⎟0 ⎟0 ⎟⎟248 54 192 − 4 ⎟⎟h ⎠2 32 64 1841248⎛⎜1⎜⎜⎜0⎯⎯ ⎯⎯→ ⎜⎜0⎜⎜0⎜⎝(1) − ( 4 ) / 6( 2)+( 4) / 4( 3) / 6( 4 ) / 24(1) − ( 2 )( 2) / 2( 3) − 2 ( 2 )( 4 ) − 2 ( 3)⎛1⎜⎜0⎯⎯ ⎯⎯→ ⎜⎜0⎜⎜ 0⎝4h46− 41 0 0 h0 1 0 4h40 0 1− 1h40 0 011 1− (a3 + a 4 + a5 + a 6 ) = − − 4 .ττ hПодставляя найденные значения, получаем:4−64−1⎛1 1 ⎞u mn +1 − ⎜ + 4 ⎟u mn + 4 u mn −1 + 4 u mn − 2 + 4 u mn −3 + 4 u mn − 4 = 0τhhhh⎝τ h ⎠1илиu mn +1 − u mnτ−u mn − 4u mn −1 + 6u mn − 2 − 4u mn −3 + u mn − 4=0.h4⎞⎟⎟⎟⎟⎟ , т.о.⎟⎟⎟⎟⎠0 − 3 − 8 0 ⎞⎟1 36 0 ⎟⎟0 6 24 0 ⎟10 18 96 − 4 ⎟⎟h ⎠⎛ a1 ⎞⎛ 4 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ a2 ⎟ 1 ⎜ − 6 ⎟⎜ a ⎟ = h4 ⎜ 4 ⎟ ,⎜ 3⎟⎜ ⎟⎜ −1⎟⎜a ⎟⎝ ⎠⎝ 4⎠.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы