Определенный интеграл (1177102), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной . Так как - тоже первообразная, то . Положим в этом равенстве . Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования вернёмся к обозначению , верхний предел обозначим . Окончательно, .

Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от до "), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

11.3.3. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если - непрерывно дифференцируемые функции, то .

Док-во. Интегрируем равенство в пределах от до : . Функция в левом интеграле имеет первообразную , по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

Пример: .

11.3.4. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

2. ,

3. функция непрерывна на отрезке .

Тогда .

Док-во. Пусть - первообразная для функции , т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:

.

126

Характеристики

Список файлов лекций