Лекции (1163663), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ñîîòíîøåíèÿ;⊕ ïðè äîáàâëåíèè xn+1 íàì íå íóæíî ïåðåñ÷èòûâàòü Ln (x), íàäî òîëüêî äîáàâèòüê íåìó ñëàãàåìîå f (x1 ; . . . ; xn+1 )(x − x1 ) . . . (x − xn ).Óðàâíåíèÿ â êîíå÷íûõ ðàçíîñòÿõ.Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå k -ãî ïîðÿäêà - ýòî:kXai (n)y(n + i) = f (n),i=019(3)ãäå {ai }, f - çàäàííûå ôóíêöèè öåëî÷èñëåííîãî àðãóìåíòà (áóäåì ñ÷èòàòü n ∈OO)Îáîçíà÷èì:kXLy =ai (n)y(n + i).i=0Ly = 0 - îäíîðîäíîå óðàâíåíèå.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî y = y(C1 , . .
. , Cm , n) äàåò îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3), åñëèâàðüèðîâàíèåì Ci ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ∀ ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è.Ïóñòü y - îáùåå ðåøåíèå, v(n) - êàêîå-òî ÷àñòíîå ðåøåíèå, òîãäày(C1 , . . . , Cm , n) − v(n) - îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé çàäà÷è.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:Îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé çàäà÷è + ÷àñòíîå ðåøåíèå.Ïóñòü Ly = 0,y1 , ..., ym - ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è.÷òî {y1 , ..., ym } ëèíåéíî çàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∃C1 , ..., Cm :P Ñêàæåì,Ci2 6= 0, òàê ÷òîmXCi yi (n) ≡ 0 ∀ n.i=1y1 (n) = 1- ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûìè.y2 (n) = 2Ïóñòü y1 , ..., ym - ëèíåéíî-íåçàâèñèìûé íàáîð ðåøåíèé Ly = 0Ïðèìåð:y(n + 1) − y(n);⇒mXCi yi (n) − òîæå ðåøåíèå Ly = 0.i=1Áóäåì ñ÷èòàòü n ≥ 0.Òåîðåìà.
Ïóñòü ak (n) > 0, òîãäà îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé çàäà÷èLy = 0ìîæåò áûòü âûïèñàíî â âèäåy(n) =kPCi yi (n),i=1ãäå y1 ...yk − ∀ ëèíåéíî-íåçàâèñèìûé íàáîð ðåøåíèé Ly = 0.k−1P ai (n)Äîêàçàòåëüñòâî. y(n + k) = −y(n + i).i=0 ak (n)Åñëè íàéäåì ðåøåíèå â òî÷êàõ 0, 1, ..., k − 1 ⇒ äàëüøå ñ÷èòàåì ïî ýòîé ôîðìóëå./åñëè n < 0, òî íàäî òðåáîâàòü ïîëîæèòåëüíîñòü îò 1-îãî êîýôôèöèåíòà/âðîäå áû íàäî òðåáîâàòü íåðàâåíñòâî íóëþ ïðàâîãî êîýôôèöèåíòà ðàçíîñòíîãîóðàâíåíèÿ ïðè ðåøåíèè âïðàâî n > 0a0 (n) y(n) + a1 (n)y(n + 1) + .
. . + ak (n) y(n + k) = 0| {z }| {z }ëåâûéïðàâûé20è ëåâîãî ïðè ðåøåíèè âëåâî n < 0.Åñëè çàäàòüy(0), y(1), ..., y(k − 1) ⇒ ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ è îäíîçíà÷íî.Ïîñòðîèì òàêèå yk :yi (n) : 1) yi (j − 1) = δij j = 1, ..., k2)Lyi = 0⇒ y1 , ..., yk - ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé çàäà÷è.Ïðåäïîëîæèì îíè ëèíåéíî çàâèñèìû: ∃ C1 ...Ck òàêèå, ÷òîkXCi yi (n) ≡ 0 ∀ n(4)i=1kPCi2 6= 0 ⇒ (4) âûïîëíÿåòñÿ ∀ n = 0, 1, ..., k − 1.
Ïîëàãàÿ n = j (j = 0, ..., k − 1)ïîëó÷èìkXCi yi (j) = Cj+1èi=1i=1⇒ Cj = 0 ∀ j = 1, ...k.Ïîêàæåì, ÷òî ∀ ðåøåíèå ïðåäñòàâèìî â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè yi :äëÿ âû÷èñëåíèÿ y(n) íóæíî çàäàòü y(0), ..., y(k − 1)y(n) =kPCi yi (n)i=1Ci := y(i − 1) ⇒ y(i) = y(i) ∀ i = 0, .., k − 1 ÷.ò.ä.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ai (n) ≡ ai , êîãäà êîýôôèöèåíòû ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ïîñòîÿííûly =kXai y(n + i) = 0.i=0Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå (ïî àíàëîãèè ñ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè eλx )ny(n) = q , ⇒ qnà kX!ai qii=0q = 0 − íå èíòåðåñíîkP= 0, →q 6= 0 →ai q i = 0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåi=0Ïóñòü êîðíè q1 , ..., qk ∈ R ïîïàðíî ðàçëè÷íûå.
Òîãäà! Ò.å. ñèñòåìà ôóíêöèéyl (n) = qln- ëèíåéíî íåçàâèñèìû.yp (n) = qpnyi (n) = qin- ëèíåéíî íåçàâèñèìà.i = 1, k21⇒ îáùåå ðåøåíèå:y(n) =kXCi qin .i=1Ïðåäïîëîæèì ñðåäè êîðíåé q1 , ..., qk ∈ R åñòü êðàòíûå.Òåîðåìà.Ïóñòü q1 - êîðåíü êðàòíîñòè s. Òîãäà ∃ s ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèéâèäàãäå Cnk =q1n , Cn1 q1n , ..., Cns−1 q1n ,n!.k!(n − k)!Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü q1 = q2 = ... = qs .
Çàïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåkXiai q = aki=0kY(q − qj )(5)j=1Ââåäåì ïàðàìåòð ε > 0, êîòîðûé ïîòîì óñòðåìèì ê íóëþ, è ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{qjε }j=1,k òàêóþ, ÷òî1. qjε - ðàçëè÷íû ïðè j = 1, s2. qjε → qj ïðè ε → 0, j = 1, k, ïðèìåð : q1 = . .
. qs = 1 ,q1ε = 1 + εq2ε = 1 + 2ε...ïîñòðîèì äëÿ íèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí:0 ≡ akkY(q − qjε ) ≡j=1kXaiε q i(6)i=0òåïåðü ε → 0, aiε → ai (ñì. (5) è (6))(6) ↔kXaiε yε (n + i) = 0(8)i=0Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ðàçëè÷íû, ñëåäîâàòåëüíî îáùåå ðåøåíèå èìååòâèäkXnCi qiε(7)yε (n) =i=1Íàäî ïðè ε > 0 íàéòè yε (n) :yε (n) → y(n)22(ε → 0)(â (7) íåëüçÿ "â ëîá" ïåðåõîäèòü ê ïðåäåëó, ïîëó÷èì íåâåðíûé ðåçóëüòàò).Ðàññìîòðèì ñëó÷àé s = 1, q1 = q2y2ε (n) := q n (q1ε ; q2ε )°= ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü äëÿ ôóíêöèè q nnnq − q1ε°= 2ε°= - ýòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8)q2ε − q1εn−1n−2n−1°= q2ε+ q2εq1ε + .
. . + q1ε−→ n · q1n−1ε→0q1n - ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, n·q1n−1 - äîïîëíèòåëüíîå ðåøåíèå. Ìîæíî äîìíîæèòüåãî íà q : Cn1 q1n .! äîêàçàòü, ÷òî îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé s > 2q1 = q2 = . . . = qs .(n)yε= q n (q1ε ; . . . ; qsε ) =sPQj=1!°=Pn1 +...+ns =n+1−sn1nsq1ε. . . qsεnqjε°=(qjε − qiε )i6=j(ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (8))×èñëî ñëàãàåìûõ Cns−1 . Ïåðåõîä ê ïðåäåëó:−→ Cns−1 q1n+1−s (ε → 0)Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì (äîìíîæèâ íà q s−1 ) ðåøåíèå Cns−1 q1n−1 .Àíàëîãè÷íî ñòðîèì äðóãîå ðåøåíèå (ìåíüøå àðãóìåíòîâ â ðàçäåëåííîé ðàçíîñòè)yε(n) = q n (q1ε ; .
. . ; q(s−1)ε ) −→ Cns−2 q1n (ε → 0)è ò.ä.Ïîëó÷èì íàáîð ôóíêöèé (9); îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû (áåç äîêàçàòåëüñòâà).Íà ïðàêòèêå: s - êðàòíîñòü êîðíÿ q1 ↔ q1n , nq1n , . . . , ns−1 q1n - ëèíåéíî íåçàâèñèìûåðåøåíèÿ.( Cns−1 - ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè (s − 1) îò n.)Åñëè 2 êîðíÿ êîìïëeêñíî ñîïðÿæåíû:÷.ò.ä.q1,2 = r(cos ϕ ± i sin ϕ)Ðåøåíèÿ q1n , q2n - ëèíåéíî íåçàâèñèìû.(ðàáîòàòü â C ïëîõî)Ìîæíî çàïèñàòü ðåøåíèå â äðóãîì âèäå:yn = C1 q1n + C2 q2n , q1n = rn (cos nϕ + i sin nϕ)C1 , C2 := 1/2 ⇒ yn1 = rn cos nϕ12C1 = −C2 =⇒ yN= rn sin nϕ − ëèíåéíî íåçàâèñèìû2i⇒ yn = rn (α1 cos nϕ + α2 sin nϕ)23! Åñëè êðàòíîñòü êîìïëåêñíîãî êîðíÿ > 1 → äîìà.Åñëè òðåáóåòñÿ ðåøèòü íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå âèäàly = µn · Pm (n)íàäî âî-ïåðâûõ ïðîâåðèòü: µ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èëèíåò.
Åñëè äà è êðàòíîñòü s ⇒yn∗ = ns · µnQm (n)ïðîèçâ.ìí-íêîýôôèöèåíòû Q íàõîäÿòñÿ èç ïîäñòàíîâêè.6 Ëåêöèÿ 6.x1 , ..., xn ∈ [a, b]; f (x1 ), ..., f (xn ); f (x) ≈ Ln (x).Õîòèì îöåíèòü f (x) − Ln (x) â òî÷êå x∗ ∈ [a, b]. Ñðàçó èìååò ñìûñë áðàòü ýòó òî÷êóîòëè÷íîé îò xi , i = 1, n.Ðàññìîòðèì òàêóþ âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþYϕ(t) = f (t) − Ln (x) − K · ωn (t), ωn (t) =(t − xj ), t ∈ [a, b].jÏîñêîëüêó ω(x∗ ) 6= 0 ìîæíî ïîäîáðàòü K =f (x∗ ) − Ln (x∗ )Q ∗òàê, ÷òî ϕ(x∗ ) = 0.(x − xj )jÒîãäà ϕ(t) èìååò (n + 1) íóëåé: x∗ , x1 , ..., xn . (Âïîñëåäñòâèå íàëîæèì îãðàíè÷åíèÿíà ôóíêöèþ f , ÷òîáû âñå ðàññóæäåíèÿ áûëè êîððåêòíû). Ïðèìåíÿåì òåîðåìó Ðîëëÿ:• ϕ0 (t) èìååò n íóëåé íà [a, b];• ϕ00 (t) èìååò n − 1 íóëåé íà [a, b];• ...• ϕ(n) (t) èìååò 1 íóëü íà [a, b];• ⇒ ∃ζ ∈ [a, b] : ϕ(n) (ζ) = 0.Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ðàâåíñòâî, êîòîðûì îïðåäåëÿëè âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ:(n)(n)Ln (t) = 0, ωn (t) = n!, ò.å.0 = f (n) (ζ) − K · n!f (n) (ζ)⇒K=,n!f (n) (ζ)ωn (x∗ ), ζ çàâèñèò îò x∗ .f (x∗ ) − Ln (x∗ ) =n!24Ïîñêîëüêó íàïèñàííîå ðàâåíñòâî, î÷åâèäíî (0 = 0), âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ òî÷åê èíòåðïîëÿöèèxi , ìîæíî çâåçäî÷êó óáðàòü.f (x) − Ln (x) =f (n) (ζ)ωn (x), ∀x ∈ [a, b].n!Îò f òðåáóåì, ÷òîáû îíà áûëà n ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ.Äëÿ íîðìû ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé kgkC = max |g(x)| ïîëó÷èì[a,b]kf − Ln kC ≤kf (n) kC · kωn kC.n!Êàê âçÿòü x1 , ..., xn , ÷òîáû kωn kC áûëà íàèìåíüøåé? Ðàâíîìåðíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà íå îïòèìàëüíî.1Ïðèìåð: äëÿ ðàâíîìåðíîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [−1, 1] è ôóíêöèè f (x) =225x + 1ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîlim kf − Ln kC = +∞n→∞ωn èìååò íóëè íà [−1, 1], êîýôôèöèåíò ïðè xn ðàâåí 1.Ìíîãî÷ëåíû ×åáûøeâàTn (x) - ñòåïåíè n.T0 (x) = 1,T1 (x) = x,Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x).Êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè 2n−1 .Tn (x) = 2n−1 xn + ...
, n ≥ 1Çàôèêñèðóåì x êàê ïàðàìåòð è áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå:Tn (x) = q n .q 2 − 2xq + 1 = 0 − õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåÎáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäåTn (x) = C1 q1n + C2 q2n ,êîíñòàíòû C1 , C2 ïîäáèðàþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.Óïîòðåáèòåëüíû äâå ôîðìû çàïèñè ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà√√¢1¡(x + x2 − 1)n + (x − x2 − 1)n ,2|x| ≤ 1, Tn (x) = cos(n arccos x)|x| > 1, Tn (x) =Èç ðåêóððåíòíîãî îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî â òàêîì âèäå çàïèñàíû èìåííî ìíîãî÷ëåíû.25Óòâåðæäåíèå. Tn (x) èìååò n íóëåé, âñå îíè ∈ [−1, 1].ππ(2m + 1)Äîê-âî: Tn (xm ) = 0 → n arccos x = − + πm → xm = cos,m =22n1, n, |xm | ≤ 1 ÷.ò.ä.Íàèáîëüøèå çíà÷åíèÿ Tn (x) = 1:πmx(m) = cos, Tn (x(m) ) = (−1)m , m = 0, ..., nnÂåðíåìñÿ ê ïîñòàâëåííîéðàíåå çàäà÷å âûáîðà ìèíèìàëüíîé íîðìû â C ìíîãî÷ëåíàQnωn (x) = x + ...
= (x − xj ), xj ∈ [−1, 1].jÎïðåäåëåíèå. T̄n (x) = 21−n Tn (x) = xn + ... - ïðèâåäåííûé ìíîãî÷ëåí ×åáûøåâà.kTn kC = 21−n → 0, n → ∞.Èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò, ÷òî âûáîð â êà÷åñòâå òî÷åê èíòåðïîëÿöèè íà[−1, 1] íóëåé ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà áóäåò íàèëó÷øèì.Òåîðåìà 1. Ïóñòü Pn (x) = xn + .... Òîãäàmax |Pn (x)| ≥ max |T̄n (x)| = 21−n .x∈[−1,1]x∈[−1,1]Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì íå òàê äëÿ êîíêðåòíîãî Pn (x).ÐàññìîòðèìT̄n (x) − Pn (x) = an−1 xn−1 + .../deg(.) ≤ n − 1/ == sign(T̄n (x(m) ) − Pn (x(m) )) = sgnT̄n (x(m) )| {z } | • |<21−nm=0,n| • |=21−nèìååò n ïåðåìåí çíàêà ⇒ èìååò n êîðíåé (ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè ≤ n−1) ⇒ ïðîòèâîðå÷èå,÷.ò.ä.¯¯ Ïðèâåäåííûé ìíîãî÷ëåí ×åáûøåâà ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì, íàèìåíåå óêëîíÿþùèìñÿ¯¯ îò íóëÿ â êëàññå ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n ñ êîýôôèöèåíòîì ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè = 1.Ìíîãî÷ëåíû, íàèìåíåå óêëîíÿþùèåñÿ îò íóëÿ íà ïðîèçâîëüíîì îòðåçêå ïîëó÷àþòñÿñòàíäàðòíîé çàìåíîé ïåðåìåííîé.a+b b−a+tx ∈ [a, b];222x − (a + b)t=t ∈ [−1, 1];b−aµ¶ µ¶n2x − (a + b)2T̄nxn + ...=b−ab−ax=µ[a,b]T̄n (x)=2b−aµ¶−nT̄n2x − (a + b)b−a¶26µn 1−2n= (b − a) 2T̄n2x − (a + b)b−a¶.(âñå ñâ-âà âûï-ñÿ (ñ ïîïðàâêîé))Òåîðåìà 2.[a, b] : Pn (x) = xn + ... ⇒ max |Pn (x)| ≥ max |T̄n[a,b] (x)| = (b − a)n 21−2n .x∈[a,b]T̄n[a,b] (x)x∈[a,b]nYa+b=(x − xm ), , xm =+2m=1⇒kf − Ln kC ≤µb−a2¶µcosπ(2m − 1)2n¶.kf (n) kC (b − a)nn!22n−1Åñëè â ïðèìåðå áðàòü òî÷êè xi - íóëè ìíîãî÷ëåíà ×åáûøåâà, òî âñå ïîëó÷èòñÿ:kf − Ln kC → 0 (n → ∞).Ïðèáëèæåíèå ñïëàéíàìè.Êóáè÷åñêèé èíòåðïîëÿöèîííûé ñïëàéí.Äàííûå: [a, b] : a = x1 < x2 < .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
