Численные методы. Ионкин (миниметодичка) (2015) (1163603), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Эти точки называются узлами сетки.Определение.В общем случае сетки могут иметь более сложную структуру, например,использовать переменный шаг, который зависит от расположения конкретной пары узлов, или для многомерной области иметь более сложную структуру расположения узлов относительно друг друга (в рассматриваемом примере равномерная сетка являетсяпрямоугольной). В последнее время часто используются сетки, автоматически подстраивающиеся под решение конкретной задачи.Замечание.20Совокупность всех узлов в фиксированный момент времени называется слоем.
Слой, для которого = 0, в котором задано начальное приближение, будемназывать нулевым слоем.Определение.§26Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость(, ) 2 (, )=+ (, ), (, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},2{︃(0, ) = 1 () ∈ [0, ],(1, ) = 2 (),(, 0) = 0 (),(1)(2)(3) ∈ [0, 1]Определение. Сеточной функцией называется функция дискретного аргумента на заданной сетке, то есть такая функция определена только в узлах данной сетки. − 2 + +1+1 − = −1+ ( , ),ℎ20 = 0 ( ),( , ) ∈ ℎ . ∈ ℎ .0 = 0 ( ),{︃0+1 = 1 (+1 )+1= 2 (+1 ), ∈ ℎ .+1 ∈ ,(4)(5)Дискретным аналогом задачи (1) – (3), или ее разностной схемой, называется система линейных уравнений (4) – (5).Определение.+1равныВ первой краевой задаче численные значения решения 0+1 и значениям функций 1 () и 2 () соответственно при = +1 (хотя это и не обязательно).
В случае краевых условий иного типа, аппроксимация краевых условий должна бытьсогласована по порядку погрешности с порядком аппроксимации уравнения. Определениеаппроксимации и порядка погрешности аппроксимации будет дано ниже.Замечание 1.Заметим, что в уравнении (4) значения функции (, ) не обязательно брать именно в узлах рассматриваемой сетки, можно использовать значения этойфункции с некоторой «поправкой». Что именно имеется в виду под «поправкой», будетрассмотрено далее, а также будет показано, что выбор значений функции (, ) дляразностной схемы, использующих такую «поправку», позволит получить более высокийпорядок погрешности аппроксимации, а стало быть и более точное решение исходногоуравнения.Замечание 2.Замечание 3.
Качество и скорость решения численной задачи (4) – (5) во многом зависит от выбора числа узлов сетки ℎ : чем меньше узлов в сетке, тем меньше уравненийсодержится в системе, тем проще и быстрее ее решать, но и приближение решенияисходной задачи в этом случае будет более грубым.Замечание. Вопросы сходимости и устойчивости разностной схемы являются ключевыми, однако обычно достаточно рассмотреть только один из этих двух вопросов: в концекурса будет доказано, что из устойчивости разностной схемы следует ее сходимость крешению исходной задачи при условии, что разностная схема аппроксимирует исходнуюзадачу.§27.
Чисто неявная разностная схема21Совокупность узлов, которые участвуют в записи разностной схемы,называют шаблоном.Определение.Определение.Сеточная функция вида = ( , ) = − , ( , ) ∈ ℎ(6)называется погрешностью решения разностной схемы (4) – (5). =−1 − 2 + +1 +1− −+ ,ℎ2(7)Сеточная функция, задаваемая равенством (7) называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (4) – (5) на решении исходной задачи.(︀)︀2Задача. Доказать, что = O + ℎ .Определение.Теорема. Пусть решение (, ) задачи (1) – (3) обладает достаточной гладкостью (четыре раза дифференцируема по и два раза по ). Тогда для сходимости решения разностной схемы (4) – (5) к решению исходной задачи (1) – (3) в норме ‖·‖ необходимо идостаточно, чтобы выполнялось условие:6 0.5.ℎ2⃦⃦(︀)︀При этом условии, выполняется оценка: ⃦ +1 − +1 ⃦ 6 1 + ℎ2 , = 0, 1, .
. . где1 > 0 — константа, не зависящая от и ℎ.=Замечание 4. Разностные схемы могут сходиться условно (и быть условно устойчивыми) и абсолютно. Условная сходимость определяется наличием ограничений на шаги сетки любого характера, для абсолютной сходимости требуется, чтобы такие ограниченияотсутствовали. В примеденной выше теореме условие сходимости имеет вид ℎ2 6 0.5.Следовательно, явная разностная схема является условно сходящейся.Важно помнить, что сходимость и устойчивость разностной схемы доказывается в конкретной норме. В данном параграфе доказана сходимость и устойчивость решений разностной схемы (4)– (5) в норме ‖·‖ , которая является достаточносильной нормой, а значит, обеспечивает более точную оценку, по сравнению, например,со среднеквадратичной нормой.Замечание 5.§27Чисто неявная разностная схема (схема с опережением).Погрешность, устойчивость, сходимость(, ) 2 (, )=+ (, ), (, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},2{︃(0, ) = 1 () ∈ [0, ], (, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(1, ) = 2 (),(1)(2)Поставим в соответствие задаче (1) – (2) следующую разностную схему:+1 +1 − 2+1 + +1+1 − = −1+ ( , +1 ),ℎ2( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,(3)22{︃0+1 = 1 (+1 )+1= 2 (+1 ),+1 ∈ , 0 = 0 ( ), ∈ ℎ ,(4)где = ( , ) — искомое численное решение в точке ( , ) ∈ ℎ .Эта система имеет трехдиагональную матрицу порядка ( − 1):⎛⎞1 + 2−0 ...00⎜ −1 + 2 − .
. .00 ⎟⎜⎟⎜ ....... ⎟ ,.........=⎜ .. ⎟⎜⎟⎝ 000 . . . 1 + 2− ⎠000 ...−1 + 2обладающую строгим диагональным преобладанием: >∑︀| | , = 1, ( − 1).=1̸= — погрешность аппроксимации на решении: = ( , ) = −Задача.+1 − 2+1+ +1+1− +1+ −1+ ( , +1 ).ℎ2(5)(︀)︀Доказать, что = O + ℎ2 .Пусть функция (, ) имеет достаточную гладкость (четыре раза дифференцируема по и два раза по ).
Тогда чисто неявная разностная схема сходится к решениюисходной задачи в норме ‖·‖ с первым порядком точности по и вторым порядком точности по ℎ.Теорема.Если в разностной задаче (3) – (4) взять нулевые краевые условия0+1⃦ +1⃦ =⃦ 6= 0, то для можно вывести оценку, аналогичную полученной выше: ⃦∑︀ ⃦ ⃦⃦0 ⃦ + ⃦ ⃦ . Эта оценка означает, что решение разностной схемы устойчиво=0по начальному условию и по правой части уравнения.Замечание.+1⃦ ⃦(Этого не было на лекциях)§28. Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость,устойчивость в норме 2 ( )23§28Симметричная разностная схема. Задача на собственныезначения.
Сходимость, устойчивость в норме 2 (ℎ )§29Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимациина решении§30Разностная схема для уравнения Пуассона. Первая краевая задача§31Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи Дирихле§32Методы решения разностной задачи Дирихле§33Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимостьГлава VМетоды решения обыкновенныхдифференциальных уравнений исистем ОДУ§34Постановка задачи Коши и примеры численных методоврешения задачи Коши⎧⎨ = (, ()),⎩(0) = ,0где () = (1 (), 2 (), . . .
, ()) , > 0,(1) (, ()) = (1 (, ()), . . . , (, ()) .Пожалуй, наиболее простым методом решения задачи Коши является разностная схема (метод) Эйлера. Несмотря на всю простоту схемы, метод Эйлера часто используется на практике.Метод Эйлера представляет собой разностное уравнение:⎧⎨ +1 − = ( , ), ∈ (2)⎩ = , ∈ Z .Пример 1.00+Эта схема является явной, так как значение численного решения в каждой следующей точке+1 , ∈ Z+ находится по явной формуле: +1 = + , ∈ Z+ . Введем погрешностьразностной схемы (2): = − , ∈ Z+ .Эта оценка означает, что разностная схема (2) аппроксимирует исходную задачу с первым порядком по . В дальнейшем покажем, что рассмотренная разностная схема будетсходиться к решению задачи Коши с первым порядком по .Рассмотрим теперь двухэтапную разностную схему Рунге–Кутта (схему «предиктор–корректор»). В данной разностной схеме вводятся дополнительные точки, так называемыеполуцелые слои: + 1 = + 0.5, ∈ Z+ .Пример 2.2+1 = + (+ 1 , + 0.5 ( , )).2(3)Далее будет показано, что эта двухэтапная разностная схема имеет второй порядокточности по .§35.
Общий -этапный метод Рунге–Кутта25Оценка погрешности общего двухэтапного метода Рунге–Кутта.Рассмотрим общий вид двухэтапного метода Рунге–Кутта для уравнения Коши:⎧+1 − ⎪= 1 1 + 2 2 , ∈ Z+⎪⎨0 = 0 ,⎪⎪⎩1 = ( , ), 2 = ( + 2 , + 21 ( , )),(4)где 1 , 2 , 2 , 21 ∈ R — некоторые числа, от выбора которых зависит как погрешность аппроксимации, так и точность численногорешения.(︁)︁(︀ )︀′ = − + (1 + 2 ) ( , ) + (2 2 − 0.5) +(−0.5)+ O 2 .212Потребуем выполнение следующих условий:1. 1 + 2 = 1 (это условие называется условием аппроксимации).2. 2 2 = 2 21 = 0.5.Тогда(︀ )︀ погрешность аппроксимации этого метода имеет второй порядок малости по : =O 2 .В случае выполнения только первого условия погрешность аппроксимацииимеет первый порядок по .Замечание.Оценка точности на примере двухэтапного метода Рунге–Кутта.Выпишем еще раз разностную схему, описывающую общий двухэтапный метод Рунге–Кутта:⎧⎨ +1 − = (1 − ) ( , ) + ( + , + ( , )), ∈ Z +(5)⎩ = .00Введем погрешность разностной схемы (5): = − , ∈ Z.Покажем, что | | 6 | |, ∈ Z+ , где константа не зависит от шага , —погрешность аппроксимации на решении исходной задачи Коши: = −+1 − + (1 − ) ( , ) + ( + , + ( , )).Пусть функция (, ) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу с константой > 0: | (, ) − (, )| 6 | − |, (,(︀),)︀(, ) ∈ .При достаточно малых получаем: |+1 | = O 2 .§35Общий -этапный метод Рунге–КуттаРассмотрим задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравненияпервого порядка:⎧⎨ = (, ()), > 0(1)⎩(0) = ,0где функции () и (, ) обладают достаточной гладкостью в соответствующих областях.Считаем, решение () существует и единственно.26Глава .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
