Решения задач с очного тура 2015 (1163443)
Текст из файла
стр. 1 из 9Решения задач очного тура— Общая часть —1.∫︁2Вычислить интеграл.2 + cos 0H Решение. Найдем неопределенный интеграл:∫︁{︁ }︁= = tg=2 + cos 2∫︁tg 222√√√√ + ;==2arctg+=arctg3 + 23333функция tg 2 разрывна в точке = . Одна из первообразных⎧tg ⎨√2 arctg √ 2 , ∈ [0; );33 () =⎩ √2 arctg tg√ 2 + * , ∈ (; 2];33 * находится их условия: ( − 0) = ( + 0), тогда * =N2Ответ. √ .32.2√.3Решите уравнение ′ − 24 = 2 ln .H Решение. Используем замену неизвестной функции. ′ − 24 = 2 ln ⇔ −1 ′ − 2 ln = 24 ⇔ { = ln } ⇔ ′ − 2 = 24 .Далее решим однородное уравнение ′ − 2 = 0.˜ 2.=2⇔ = Найдем ˜ методом вариации произвольной постоянной.
Подставляя в неоднородное уравнение2 , получим ˜˜ ′ () = 2, отсюда ()˜ = ()= 2 + , = 2 + 4 .N2 +4Ответ. = .3.Ане 15 лет, и в письме она использует смайлики. Каждый смайлик Ани состоит из двоеточияи произвольного конечного количества скобок одного типа: или открывающих круглых, или закрывающих. Например: «:)», «:)))))», «:((». Помимо смайликов, текст может содержать и обычныескобки.
Если после смайлика нужно поставить скобку того же типа, то, чтобы не было путаницы,она ставится после пробела: «Привет!!!! (если помнишь меня:))))) )».Напишите функцию, которая будет определять разность между общим количеством скобок в«веселых» смайликах и суммой скобок в «грустных» смайликах Ани. Допускается только одинпроход по тексту письма и использование конечного объема памяти (копирование письма в переменную недопустимо). Функция должна быть написана на одном из языков: Pascal, C, C++.Выбор того, в каком виде представлено письмо, остается за вами.H Решение. Наиболее простой способ решения — пройти по тексту письма, и при виде знакадвоеточия перейти в режим 1, находясь в котором, функция считает скобочки. Если при проходев режиме 1 встретилась не скобочка или скобочка не того типа, происходит переход обратно врежим 0, в котором функция пребывает по умолчанию.
Важно отметить две вещи:1. После смайлика может стоять скобка («Привет!! :)))(надеюсь ты меня не забыл)»), и она недолжна засчитываться как относящаяся к смайлику, поэтому нужно запоминать предыдущую скобку.2. Два смайлика могут идти подряд («А это я!!:)):))»), поэтому при переходе обратно в нулевойрежим надо не забыть после этого проверить симол, не двоеточие ли это.— Универсиада «Ломоносов» 2015 —стр.
2 из 9Решения задач очного тураЭти две ситуации отражены в решении всех вариантов. Решения отличаются только действиями над счетчиком «внутри» смайлика.Язык Pyhtondef count_smileys_1(s):mode = 0counter = 0prev_smiley = ’’for x in s:if mode == 1:if x == ’)’ and prev_smiley != ’(’:counter += 1prev_smiley = ’)’elif x == ’(’ and prev_smiley != ’)’:counter -= 1prev_smiley = ’(’else:mode = 0if x == ’:’:mode = 1prev_smiley = ’’return counterЯзык C++int count_smileys_1(char* s, int len_s) {int counter = 0;int mode = 0;char prev_smiley = ’-’;for(int i = 0; i < len_s; i++) {if(mode == 1) {if(s[i] == ’)’ && prev_smiley != ’(’) {counter++;prev_smiley = ’)’;}else if(s[i] == ’(’ && prev_smiley != ’)’) {counter--;prev_smiley = ’(’;}else {mode = 0;}}if(s[i] == ’:’) {mode = 1;prev_smiley = ’-’;}}return counter;}NОтвет.
Код программы.— Универсиада «Ломоносов» 2015 —стр. 3 из 9Решения задач очного тура— ВМ —4.Найдите температуру в бесконечном тонком однородном стержне с теплоизолированной поверхностью во все моменты времени > 0, если материал стержня описывается коэффициентом2 = 1, плотность распределения его внутренних источников/поглотителей тепла задается функцией −3 sin , а температура при = 0 равна cos 2.H Решение. Математически задача записывается следующим образом:{︂ = + −3 sin , = (, ), ∈ R, > 0,(, 0) = cos 2, ∈ R.Будем искать ее решение в виде = + , где{︂ = + −3 sin ,(, 0) = 0.{︂ = ,(, 0) = cos 2.Решения этих задач будем искать в виде = 1 () sin и = 2 () cos 2.
Тогда{︂ ′{︂ ′1 = −1 + −3 ,2 = −42 ,1 (0) = 0.2 (0) = 1.Теорема единственности гарантирует отсутствие других решений.N− − −3sin + −4 cos 2.Ответ.25.В пространстве 2 [0, /2] найти расстояние от точки () = cos до множества⎧⎫/2⎪⎪∫︁⎨⎬[︁ ]︁ = () ∈ 2 0,:4 sin () = 0 .⎪⎪2⎩⎭0H Решение. Заметим, что в задаче требуется в гильбертовом пространстве H найти расстояниеот некоторой точки до множества , которое представляет собой гиперплоскость, то есть ={ ∈ H : ⟨, ⟩ = 0}, где – фиксированный элемент гильбертова пространства .Тогда имеет место следующее соотношение (см. рис.):ℎ = − ,(1)где ℎ – проекция точки на множество , – вектор нормали гиперплоскости, – некотороечисло. Далее, так как ℎ ∈ , то⟨, ℎ⟩ = 0(2)Откуда с учетом (1) имеем=⟨, ⟩‖‖2(3)— Универсиада «Ломоносов» 2015 —стр.
4 из 9Решения задач очного тураТаким образом проекция точки на множество равнаℎ=−⟨, ⟩,‖‖2(4)а расстояние от точки до множества M равно‖‖ =|⟨, ⟩|‖‖(5)В варианте 1 = 4 sin , = cos ∫︁/2∫︁/228(1 − cos 2)2 = 4,(4 sin ) =‖‖ =200∫︁/2∫︁/2∫︁/21⟨, ⟩ = cos 4 sin =2 sin 2 = −2 cos 2 = .22000И расстояние от точки до множества√⟨, ⟩‖‖ ==.‖‖4N√Ответ.6..4Построить монотонную разностную схему, аппроксимирующую со вторым порядком задачу2 2+= − (1 , 2 ), (1 , 2 ) ∈ = {0 < 1 < 1 , 0 < 2 < 2 };21 22(0, 2 ) = 0, 0 < 2 < 2 ;1(1 , 2 ) = 0, (1 , 2 ) ∈ ∖{1 = 0, 0 < 2 < 2 }.Выписать метод Якоби для решения разностных уравнений.H Решение.
Введем разностную сетку = (1, , 2, ); 1, = ℎ1 , 2, = ℎ2 ; ℎ1 1 = 1 , ℎ2 2 = 2 ;1ℎ = { ; = 1, 2, . . . , 1 − 1; = 1, 2, . . . , 2 − 1} ;2ℎ = {0 ; = 1, 2, . . . , 2 − 1} ;ℎ = {0 , 2 , 1 ; = 0, 1, . . . , 1 − 1; = 1, 2, . . . , 2 − 1} .Основное уравнение аппроксимируем со вторым порядком с использованием пятиточечногоразностного оператора Лапласа:¯1 1 , + ¯2 2 , = − , ∈ 1ℎ .Рассмотрим аппроксимацию граничного условия 2-го рода на 2ℎ .ℎ1 2 (0 ) +(0 ) + (ℎ21 ) =12 21(︂)︂ℎ1 2 =(0 ) −(0 ) + (0 ) + (ℎ21 ) =12 22ℎ1=(0 ) − (¯2 2 ,0 + 0 ) + (ℎ21 + ℎ22 ).121 ,0 =— Универсиада «Ломоносов» 2015 —стр. 5 из 9Решения задач очного тураПриходим к уравнению1 ,0 + 0.5ℎ1 (¯2 2 ,0 + 0 ) = 0, 0 ∈ 2 .Учитывая равенства = 0, ∈ ℎ , монотонность схемы вытекает из канонической формызаписи разностных уравнений:)︂(︂1221+ 2 = 2 (−1 + +1 ) + 2 (−1 + +1 ) + , ∈ 1ℎ ;2ℎℎ2ℎ1ℎ2)︂(︂ 122120 = 2 1 + 2 (0−1 + 0+1 ) + 0 , 0 ∈ 2ℎ .+ℎ21 ℎ22ℎ1ℎ2NОтвет.¯1 1 , + ¯2 2 , = − , ∈ 1ℎ ;1 ,0 = −0.5ℎ1 (¯2 2 + )0 , 0 ∈ 2ℎ ; = 0, ∈ ℎ .Метод Якоби:()(+1)−1 − 2()+ +1ℎ21(+1)−20ℎ21(+1)()+ 21()+()+ +1ℎ22()+(+1)−1 − 2(+1)0−1 − 20= − , ∈ 1ℎ ;()+ 0+1ℎ22= −0 , 0 ∈ 2ℎ ;= 0, ∈ ℎ .— ММ —4.Пусть и – независимые случайные величины, определенные на одном вероятностномпространстве.
имеет равномерное распределение на отрезке [1, 2], а – дискретная случайнаявеличина, принимающая значения -1, 0, 1 с вероятностью 1/3 каждое. Пусть = . Найтиматематическое ожидание случайной величины .H Решение. По формуле полной вероятности = ( (|)). Далее ( (|)) =1( (| = −1) + (| = 0) + (| = 1)) .3Поскольку и независимы− (| = −1) = ∫︁2=− ,1 (| = 0) = 1,∫︁2 (| = 1) = = .1Вычисляя интегралы, получаем ответ.N)︀1 (︀ −2− + −1 + 1 − + 2 .Ответ.
=3— Универсиада «Ломоносов» 2015 —стр. 6 из 9Решения задач очного тура5.Найти точку минимума функции (1 , 2 , 3 ) = 81 2 3 + 2/(1 2 ) + 4/(1 3 ) + 5/(2 3 )в области 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0.H Решение. Условия оптимальности первого порядка42= 82 3 − 2 − 2 = 0,11 2 1 325= 81 3 −− 2 = 0,221 2 2 345= 81 2 −−= 0.231 3 2 23Деля первое уравнение на 2 , а второе — на 1 , и, вычитая их, получим 2 = 45 1 . Аналогичнонаходим, что 3 = 52 1 .
Минимум функции(︁55 )︁24 1 , 1 , 1 = 2531 + 2425116 1/51/5 .достигается при 1 = ( 125) = 52 ( 252 )N(︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂1/52 25 1/51 25 1/525Ответ. 1 =, 2 =, 3 =.5 22 226.Найти схемную сложность булевой функции (˜2 ) = (0110) в элементарном базисе.H Решение. Cхема (формула) сложности четыре — ( ∨ )&&. Докажем отсутствие схемыменьшей сложности. Схема меньшей сложности должна содержать два двухвходовых элемента иодин элемент отрицания (кроме задачи варианта 3).
Кроме этого пути от входов, соответствующихпеременным, по которым функции немонотонны и не антимонотоны, должны проходить как черезотрицание, так и мимо него. Выходной элемент не может быть отрицанием. Оставшиеся вариантысхем нетрудно перебрать. Для медианы (задача варианта 3) сначала доказывается отсутствиеотрицаний, а потом невозможность схем с двумя конъюнкциями и одной дизъюнкцией (в силусамодвойственности и наоборот).NОтвет. 4 (( ∨ )&&).— СП —4.База данных компании «Рога и Копыта» хранит ф.
и. о., должности, зарплаты сотрудников,проекты и задания. Предполагается, что должность сотрудника определяет его зарплату. Сотрудник может участвовать в нескольких проектах, но в каждом проекте выполняет только однозадание. Должность сотрудника определяется штатным расписанием компании и не зависит отпроектов, в которых он занят.Проектировщик схемы БД предложил всю информацию помещать в одно отношение (на данный момент он уже не работает в компании).
Вот это отношение:СотрудникИванов А. Б.Петров В. Г.Сидоров Д. Е.Иванов А. Б.Петров В. Г.Сидоров Д. Е.ДолжностьруководительпрограммистпрограммиструководительпрограммистпрограммистЗарплата200001500015000200001500015000ПроектПроектПроектПроектПроектПроектПроектXXXYYYЗаданиеЯдроЯдроОболочкаЯдроОболочкаОболочкаПервичный ключ в этом отношении – {Сотрудник, Проект}. Предполагается, что ф.
и. о.сотрудников компании не совпадают.Диаграмма функциональных зависимостей выглядит следующим образом:— Универсиада «Ломоносов» 2015 —стр. 7 из 9Решения задач очного тураТребуется: 1) привести пример аномалии, возникающей при добавлении новых кортежей висходное отношение; 2) используя теорему Хита, выполнить декомпозицию без потерь для исходного отношения так, чтобы все полученные отношения находились в третьей нормальной форме,и чтобы количество полученных отношений было минимальным.
Полученные после декомпозицииотношения следует выписать в ответе.H Решение. После декомпозиции получатся следующие функциональные зависимости:Приводить схему в решении необязательно.NОтвет. 1) Должна быть описана одна из указанных далее аномалий (или обе). а) Невозможнодобавить нового сотрудника (указав должность и зарплату), который еще не участвует ни в одномпроекте. б) Невозможно сохранить данные о новой должности (и соответствующей этой должностизарплате), пока не появится первый сотрудник с этой должностью.2) Должны получиться 3 отношения:СотрудникИванов А.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
