Оптимальное положение компактов в пространствах с евклидово инвариантной метрикой Громова-Хаусдорфа (1162480)
Текст из файла
Московский Государственный Университет имени М.В.ЛомоносоваМеханико-математический факультетКафедра дифференциальной геометрии и приложенийКУРСОВАЯ РАБОТАОптимальное положение компактов в пространствах с евклидовоинвариантной метрикой Громова-ХаусдорфаOptimal position of compacts in the spaces with Euclidean Gromov-HausdorffmetricВыполнила студентка 4 курсаО.С.МалышеваНаучный руководительд.ф.-м.н., проф.
А.А. Тужилинг.Москва2017Оптимальное положение компактов в пространствах севклидово инвариантной метрикой Громова-Хаусдорфа.ВведениеМетрика Хаусдорфа — это функция расстояния Хаусдорфа на множестве всех ограниченныхи замкнутых подмножеств метрического пространства.
Впервые упоминания о ней появляются в книге «Теория множеств» Хаусдорфа. Определил её Дэвид Эдвардс, опубликовав статьюв 1975 году [1]. Он также обнаружил некоторые свойства метрики. А в 1981 году советскийпо происхождению, а позже французский математик, М.Л.Громов заново ввел специальноерасстояние между произвольными метрическими пространствами, называемое расстояниемГромова–Хаусдорфа [2], дав определение, эквивалентное определению Эдвардса.
Это обобщение метрики Хаусдорфа. Говоря неформально, метрика Громова–Хаусдорфа позволяет выяснить, насколько «хорошо» можно совместить два метрических пространства. Она имеетпрактическое применение и играет важную роль в теории распознавания образов.Facundo Memoli, изучавший свойства этой метрики, посвятил ей несколько статей, в томчисле в [7] рассматривается метрика Громова–Хаусдорфа в евклидовых пространствах, онасравнивается с метрикой Громова–Хаусдорфа в произвольных метрических пространствах,даются некоторые утверждения о связи двух метрик, оценки.
Вообще, метрика Громова–Хаусдорфа определяется как инфимум расстояния по Хаусдорфу по результатам изометрического вложения в метрические пространства, а в случае евклидово инвариантной метрикиГромова–Хаусдорфа ограничиваемся только изометрическими вложениями в конкретное евклидово пространство Rn , или такими вложениями, которые отличаются на сохраняющее ориентацию движение Rn . Будем говорить, что компакт находится в s-положении между двумядругими компактами, если он находится в положении «между» ними и удален на расстояние sот первого из них, см.ниже. В дипломной работе А.Кисловской рассматриваются псевдоконфигурации: такие пары компактных подмножеств Rn , что в s-положении количество компактовконечно.
Также приведены примеры псевдоконфигураций в пространствах, наделенных этойметрикой, и утверждения о связи количества компактов в s-положении относительно двухметрик [8].В настоящей статье основное внимание уделяется евклидово инвариантной метрике Громова–Хаусдорфа. Это — метрика на множестве непустых компактов в евклидовом пространстве,рассматриваемых с точностью до (сохраняющего ориентацию) движения. Будем работать сгруппой движений, сохраняющих ориентацию, G = Iso+ (Rn ), действующей на пространствеH(Rn ) непустых компактных подмножеств Rn , наделенном метрикой Хаусдорфа. Пространство H(Rn ) расслаивается на орбиты этого действия — непустые компакты, рассматриваемыес точностью до движения. На полученном пространстве орбит вводится стандартным образомфункция расстояния как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между точками ор-2бит. Получаем факторпространство H(Rn )/G, свойства которого изучаются.
Для нахожденияминимального расстояния, о котором говорилось выше, необходимо понять, при каких условиях оно достигается. Поэтому также рассматриваются примеры оптимальных положений —в которых достигается минимум расстояния по Хаусдорфу — различных пар компактов.В случаях, когда один из компактов — одноточечный, изучение оптимальных положенийприводит к понятию чебышевского центра, так как помещение одноточечного компакта в чебышевский центр произвольного компакта и есть оптимальное положение этой пары.
Вопроссуществования и единственности чебышесвких центров поднимался в работах различных специалистов в области геометрии и функционального анализа. Так, в [5] обобщается понятиечебышевского центра и изучаются конечные сети для ограниченных подмножеств плоскостии сферы. Е.Н. Сосовым получены достаточные условия существования и единственности чебышевского центра непустых ограниченных множеств геодезических пространств [6]. Некоторыерезультаты помогли установить связь оптимальных положений гомотетичных компактов счебышевскими центрами.Выражаю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н.
профессору А.А. Тужилину, а также д.ф.-м.н. профессору А.О. Иванову за постановку задачи и постоянное вниманиек работе.1Основные определения и предварительные результатыВсюду ниже M обозначает метрическое пространство с функцией расстояния d, P(M ) — семейство непустых подмножеств M , а H(M ) — семейство непустых замкнутых ограниченныхподмножеств M . Обозначим через G группу движений в Rn , сохраняющих ориентацию. Вчастности, будем рассматривать H(Rn ) с введенной на нем эквивалентностью ν: два элементабудем считать эквивалентными, если один из другого получается движением O ∈ G. Обозначим через Ho (Rn ) пространство таких классов эквивалентности.Определение 1.1.
Замкнутой r-окрестностью Br (x) точки x ∈ M называется множество{y ∈ M : d(x, y) ≤ r}.Определение 1.2. Определим расстояние от точки y до произвольного множества A ∈P(M ): d(y, A) = inf a∈A {d(y, a)}.Определение 1.3. Замкнутой окрестностью Br (A) радиуса r множества A ∈ P(M ) называется множество {y ∈ M : d(y, A) ≤ r}.Определение 1.4. Пусть A и B — элементы P(M ). Расстоянием по Хаусдорфу между этимимножествами называется величинаnodH (A, B) = inf r : A ⊆ Br (B) ∧ B ⊆ Br (A) .Замечание 1.5. Хорошо известно, что dH является метрикой на множестве всех непустыхзамкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства [3].Определение 1.6.
Пусть A и B — элементы H(Rn ). Расстоянием в евклидово инвариантнойметрике Громова–Хаусдорфа между A и B называется величинаnodEGH (A, B) = inf dH (A, OB) .O∈G3Определение 1.7. Движение O ∈ G, на котором достигается dEGH (A, B), будем называтьоптимальным, а пару (A, OB) — оптимальным взаимным расположением.Замечание 1.8. Оптимальное движение всегда существует [7], а dEGH порождает метрику на Ho (Rn ), которую мы будем обозначать тем же образом.Определение 1.9. Чебышевский центр множества A ∈ H(M ) — это центр шара в M снаименьшим возможным радиусом, которому принадлежит A; радиус этого шара называетсячебышевским радиусом.Можно понимать чебышевский центр множества как центр минимального по включениюшара, содержащего множество.Для любого компактного подмножества Rn чебышевский центр существует и определеноднозначно [4].Замечание 1.10.
Для центрально-симметричных компактов в Rn чебышевский центр совпадает с центром симметрии. (Если бы это было не так, то его центрально-симметричная копиятакже являлась бы чебышевским центром, что противоречит единственности.)Замечание 1.11. Чебышевский центр в общем случае не единственный. Например, рассмотрим в качестве M плоскость с манхеттенским расстоянием,заданнымнормой |(x,y)|=|x|+|y|,возьмем в качестве A двухточечноемножествоA=(0,0),(1,1),тогдамножество чебышевских центров — это отрезок (1, 0), (0, 1) .Определение 1.12. Пусть A, B, C — точки некоторого метрического пространства с метрикой d. Говорят, что точка C находится между точками A и B, еслиd(A, C) + d(C, B) = d(A, B).Определение 1.13.
Точка C находится в s-положении между точками A и B, если оналежит между ними и d(A, C) = s, где 0 ≤ s ≤ d(A, B).2Примеры оптимальных положенийРассмотрим несколько примеров оптимальных положений пар компактов в Rn .Для начала приведем тривиальную лемму.Лемма 2.1. Пусть A и B — компакты некоторого метрического пространства. ТогдаdH (A, B) = r, если и только если A ⊆ Br (B), B ⊆ Br (A), и для любого 0 < s < r по крайнеймере одно из условий A ⊆ Bs (B) и B ⊆ Bs (A) не выполняется.Предложение 2.2. Пусть A ∈ H(Rn ), B = {b} ∈ Rn . Тогда компакты находятся в оптимальном положении, если и только если b совпадает с чебышевским центром компактаA.Доказательство.
Поместим b в чебышевский центр компакта A. Положим r = dH (A, B),тогда r — радиус минимального замкнутого шара, содержащего компакт A, таким образом, r— чебышевский радиус. Покажем, что для любой b0 6= b имеем dH (A, {b0 }) > r. Пусть это нетак, то есть существует b0 6= b, для которой dH (A, {b0 }) ≤ r. Из предыдущей леммы вытекает,что A ⊆ Br (b0 ), поэтому b0 — чебышевский центр, что противоречит его единственности в Rn[2].4Из предложения 2.2 вытекают следующие результаты.Следствие 2.3. Любое компактное подмножество отрезка, содержащее его граничные точки, в паре с одноточечным находится в оптимальном положении тогда и только тогда,когда одноточечный помещен в центр отрезка.Следствие 2.4.
В оптимальном положении трехточечного и одноточечного компактоводноточечный компакт есть центр описанной окружности треугольника, образованноготрехточечным компактом, если треугольник остроугольный или прямоугольный, либо середина наибольшей стороны.Предложение 2.5. Пусть A = {a1 , a2 }, B = {b1 , b2 }. Компакты A и B находятся в оптимальном положении, если и только если их центры совмещены и точки обоих компактовнаходятся на одной прямой.Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что 2R = d(a1 , a2 ) ≥ d(b1 , b2 ) =2r. Совместим центры компактов так, чтобы точки a1 , b1 , b2 , a2 оказались в таком порядке наодной прямой.
Положим ε = R − r. В этом положении dH (A, B) = ε.Пусть существует другое положение {b01 , b02 } компакта B относительно компакта A такое, чтоdH (A, B) ≤ ε. Покажем, что в этом случае выполнено:d(a1 , b01 ) ≤ ε и d(a2 , b02 ) ≤ ε, и тогда b01 ∈ Bε (a1 ), b02 ∈ Bε (a2 ) (или b02 ∈ Bε (a1 ), b01 ∈ Bε (a2 )— с точностью до переименования точек компакта B).Действительно, в противном случае, когда d(a1 , b01 ) ≤ ε и d(a1 , b02 ) ≤ ε или d(a2 , b01 ) ≤ ε иd(a2 , b02 ) ≤ ε, компакт B полностью содержится в ε-окрестности одной из точек ai компактаA, и тогда, так как dH (A, B) ≤ ε, то одна из точек b01 и b02 также принадлежит ε-окрестностивторой точки aj компакта A, но эти окрестности не пересекаются, так как ε = R − r <d(a1 , a2 )/2.Итак, в ε-окрестности каждой точки компакта A лежит ровно одна точка компакта B.Тогда для любых b01 ∈ Bε (a1 ) и b02 ∈ Bε (a2 ) выполняется d(b01 , b02 ) ≥ 2r, причем равенстводостигается, только когда точки b01 и b02 лежат на прямой, соединяющей a1 и a2 .5Значит, точки компакта B — ближайшие точки границ ε-окрестностей точек a1 и a2 , и расстояние по Хаусдорфу между компактами равно полуразности длин отрезков.
Таким образом,оптимальное положение двух двухточеных компактов — это совмещение их центров, указанноевыше.Следствие 2.6. Отрезки A = [A1 , A2 ] и B = [B1 , B2 ] находятся в оптимальном положениитогда и только тогда, когда совмещены их середины и отрезки лежат на одной прямой.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
