Т. Кормен, Ч. Лейсерзон, Р. Риверст, К. Штайн - Алгоритмы. Построение и анализ (2013) (1162189), страница 88
Текст из файла (страница 88)
В задаче о перемножении цепочки матриц сначала был определен оптимальный способ расстановки скобок в подцепочках А,Азиз А, а затем была выбрана матрица Аы у которой выполняется разбиение произведения. Стоимость, которая относится к самому выбору, выражается членом р; зрв р . В главе !6 рассматриваются жадные алгоритмь1 имеюшие много общего с динамическим программированием. В частности, задачи, к которым применимы жадные алгоритмы, обладают оптимальной подструктурой. Одно из характер- 4/5 Гзаеа /5. Динамическое лро раммироеание иых различий между жадными атгоритмами и динамическим программированием заключается в том, что в жадных алгоритмах оптимальная подструктура используется в нисходящем направлении. Вместо того чтобы находить оптимальные решения подзадач с последующим выбором одного из возможных вариантов, в жадных алгоритмах сначала делается выбор, который выглядит наилучшим на текущий момент, а затем решается возникшая в результате подзадача. При этом мы не беспокоимся о решении всех возможных меньших связанных подзадач.
Удивительно, но в некоторых случаях данная стратегия работает! Некоторые тонкости Следует быть особенно внимательным в отношении вопроса о применимости оптимальной подструктуры, когда она отсутствует в задаче. Рассмотрим две задачи, в которых имеются ориентированный граф С = (ьг, Е) и вершины и, и Е 'ьг. Задача о кратчайшем иевзвешенном пути.4 Нужно найти простой путь от вершины и к вершине и, состояший из минимального количества ребер.
Этот путь обязан быть простым, поскольку в результате удаления из него цикла получается путь, состояший из меньшего количества ребер. Задача о длиннейшем невзвешенном пути. Нужно найти простой путь от вершины и к вершине и, состояшнй из максимального количества ребер. Требование простоты весьма важно, поскольку в противном случае можно проходить по одному и тому же циклу сколько угодно раз, получая в результате путь, состояший из произвольно большого количества ребер. В задаче о кратчайшем пути возникает оптимальная подструктура. Это можно показать с помощью таких рассуждений. Предположим, что и ф и, так что задача является нетривиальной.
В этом случае любой путь р от и к и должен содержать промежуточную вершину, скажем, иг. (Заметим, что вершина и/ может совпадать с вершиной и или и.) Поэтому путь и -Р и можно разложить на подпути и - иг и. Очевидно, что количество ребер, входяших в путь р, равно сумме Рз Рз числа ребер в путях ру и рз. Мы утверждаем, что если путь р от вершины и к вершине и оптимальный (т.е. кратчайший), то ру должен быть кратчайшим путем от вершины и к вершине ш. Почему? Аргумент такой: если бы существовач другой путь, соединяющий вершины и и и и состоящий нз меньшего количества ребер, чем ру (скажем, р~у), то можно было бы вырезать путь ру и вставить путь ру, в ре- Р Рз зультате чего получился бы путь и -Ь и и, состоящий из меньшего количества ребер, чем путь р.
А это противоречит предположению об оптимальности пути р. Аналогично рз должен быть кратчайшим путем от вершины и/ к вершине и. Таким образом, кратчайший путь от вершины и к вершине и можно найти, рассмотрев все промежуточные вершины иг, найдя кратчайший путь от вершины и к вер- чтермин "невзвешенный" исаользуекл, пабы атличшь эту задачу от той, в ходе решевил которой находится кратчайвзий путь иа взвешенных ребрах н с которой мы озншомимся в главах 24 и 25. Для решения задачи о незавешенном пуси можно использовать метод поиска в ширину, описанный в главе 22 Часть ЕК усовершенствованные методы разработки и анашза Рне.
1й.б. Ориентированный граф„демонстрируюпшй, что задача поиска длиннейшего простого пути в невзвешенном ориентированном ~рафе не имеет оптимальной подструктуры. Путь Е -ь т -ь Г является наидлиннейшим простым путем от Ч к й но ни подпуть Ч -ь т не является длиннейшим простым путем ст а к г, ни подпуть г ь Г не является длиннейшим простым путем ог г к Г. шине и и кратчайший путь от вершины ш к вершине и и выбрав промежуточную вершину пз, через которую весь путь окажется кратчайшим. В разделе 25.2 один из вариантов этой оптимальной подструктуры используется для поиска кратчайшего пути между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе.
Напрашивается предположение о том, что в задаче поиска самого длинного простого невзвешенного пути также проявляется оптимальная подструктура. В конце концов, если разложить самый длинный простой путь и и на подпути р1 ра и г пз и, то разве не должен путь рг быть самым длинным простым путем от вершины ы к вершине и, а путь рз — самым длинным простым путем от вершины гп к вершине и? Оказывается, нет! Пример такой ситуации приведен на рис. 15.6. Рассмотрим путь д — > г — з 1, который является самым длинным простым путем от вершины д к вершине 1.
Является ли путь и -+ г самым длинным путем от вершины д к вершине гт Нет, поскольку простой путь и — з в — з 1 — з г длиннее. Является ли путь т — ь 1 самым длинным путем от вершины г к вершине 1? Снова нет, поскольку простой путь г — ь и — > я — > 1 длиннее. Этот пример демонстрирует, что в задаче о самых длинных простых путях не только отсутствует оптимальная подструктура, но и не всегда удается составить "законное" решение задачи из решений подзадач. Если сложить самые длинные простые пути и — з л — з 1 — > г и г — > и — з л — ~ 1, то получится путь д — з в — з 1 -+ г ь и -+ я — з 1, который не является простым.
Итак, на деле оказывается, что в задаче о поиске самого длинного невзвешенного пути не возникает никаких оптимальных подструктур. Для этой задачи до сих пор не найдено ни одного эффективного алгоритма, работающего по принципу динамического программирования. Фактически это ХР-полная задача, что означает — как будет показано в главе 34, — что вряд ли ее можно решить в течение полиномиального времени. Почему подструктура самого длинного простого пути так отличается от подструктуры самого короткого пути? Несмотря на то что в решениях задач о поиске и самого короткого, и самого длинного пути возникают две подзадачи, эти подзадачи при определении самого длинного пути не являются незавневмагмн, в то время как в задаче о кратчайшем пути они независимы. Что подразумевается под независимостью подзадач? Подразумевается, что решение одной подзадачи не влияет на решение другой подзадачи, возникающей в той же задаче.
В примере. проиллюстрированном на рис. 15.6, рассматривается задача о поиске самого длинного простого пути между вершинами и и 1, в которой возникают две подзадачи: определение самых длинных простых путей между вершинами о и г и между 4!7 Гаева !5. Дииамичеееое орограммироваиие вершинами г и !. Для первой из этих подзадач выбирается путь !! -+ з -+ ! — > г, в котором используются вершины л и !. Во второй подзадаче мы не сможем больше использовать эти вершины, поскольку в процессе комбинирования решений зтнх двух подзадач получился бы путь, который не является простым. Если во второй задаче нельзя использовать вершину 1, то ее вообще невозможно решить, поскольку эта вершина должна быть в найденном пути, и это не та вершина, в которой "соединяются" решения подзадач (такой вершиной является г). Использование вершин а и ! в решении одной подзадачи приводит к невозможности ях применения в решении другой подзадачи.
Однако для ее решения необходимо использовать хотя бы одну из них, а в оптимальное решение данной подзадачи входят обе эти вершины. Поэтому эти подзадачи не являются независимыми. Другими словами, использование ресурсов в решении одной подзадачи (в качестве ресурсов выступают вершины) делает их недоступными в другой подзадаче. Почему же подзадачи остаются независимыми при поиске самого короткого пути? Ответ такой: по самой природе поставленной задачи возникающие в ней подзадачи не используют одни и те же ресурсы.
Утверждается, что если вершина х находится на кратчайшем пути р от вершины и к вершине и, то можно соединить любой кратчайший путь и» еи с любым кратчайшим путем ви и, получив в результате самый короткий путь от вершины и к вершине и.
Мы уверены в том, чго пути рг и рз не содержат ни одной обШей вершины, кроме ви. Почему? Предположим, что имеется некоторая вершина х Ф еи, принадлежащая путям рг н рз, Рив Р* гак что путь рг можно разложить как и -» х и, а путь рз — как еи» х» ю. В силу оптимальной подструктуры этой задачи количество ребер в пути р равно сумме количеств ребер в путях р1 и рз.
Предположим, что путь р содержит е ребер. Теперь построим путь р' = и "-* х -*-" и от вершины и к вершине и. В этом пути содержится не более е — 2 вершин, что противоречит предположению о том, что путь р — кратчайший. Таким образом, мы убедились, что подзадачи, возникающие в задаче поиска кратчайшего пути, являются независимыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
