Задачи с решениями 2002 г 2 поток (1160009), страница 2
Текст из файла (страница 2)
По определению измеримого множества∀ ε > 0 ∃ A : |(E ∪ A) \ (E ∩ A)| < ε(1 − α),A — элементарное множество.Мера разности с одной стороны равна |E ∪ A| − |E ∩ A| > |A| − α |A|, откудаполучаем, что |A| < ε. С другой стороны мера разности может быть оцененаснизу как |E| − α |A| > |E| − αε. Отсюда выражаем меру исходного множества:|E| < ε(1 − α) + αε = ε, что и означает, что |E| = 0.8. []1] Пусть A1 и A2 — измеримые подмножества сегмента [0, 1] и |A1 | + |A2 | > 1.Доказать, что |A1 ∩ A2 | > 0.Решение.
Так как A1 и A2 измеримы, их объединение и пересечение такжеизмеримы, но тогда1 > |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | > 1 − |A1 ∩ A2 | =⇒ |A1 ∩ A2 | > 0.79. []2] Может ли открытое неограниченное множество иметь конечную меру?Решение. Возьмем вещественную прямую. Она является открытым неограниченным множеством. В качестве меры возьмем вероятностную, например, плотность нормального распределения с параметрами a и σ 2 :Z(x−a)21µ(E) = √e− 2σ2 dx.2πσEКак известно, интеграл плотности по всей прямой равен единицы, так как соответствует вероятности осуществления любого элементарного исхода:1µ(R) = √2πσZ+∞(x−a)2e− 2σ2 dx = 1.−∞Таким, образом, открытое неограниченное множество может иметь конечнуюмеру.10. []1] Пусть замкнутое множество имеет конечную меру.
Может ли оно бытьнеограниченным?Решение. Возьмем вещественную прямую. Она является замкнутым неограниченным множеством. В качестве меры возьмем вероятностную, например,плотность распределения Коши:Z11µ(E) =dx.π1 + x2EКак известно, интеграл плотности по всей прямой равен единицы, так как соответствует вероятности осуществления любого элементарного исхода:1µ(R) =πZ+∞1dx = 1.1 + x2−∞Таким, образом, открытое неограниченное множество может иметь конечнуюмеру.11.
[]2] Доказать, что непрерывные функции на [0, 1] эквивалентны тогда и толькотогда, когда они равны.8Решение. Очевидно, что если любые две функции (в том числе и непрерывные)равны, то они эквивалентны, так как они различаются на пустом множестве, аоно имеет меру нуль. Пусть f (x), g(x) ∈ C[0, 1] — эквивалентные, и пусть существует точка x0 : f (x0 ) 6= g(x0 ). Тогда в силу локального свойства непрерывныхфункций существует и окрестность (интервал), на котором эти две функцииразличаются. Но тогда f (x) не может быть эквивалентной g(x), так как их значения различны в этой окрестности, которая имеет положительную меру.12. []2] Доказать, что непрерывные на измеримом множестве E функции являютсяизмеримыми.Решение.
По критерию измеримости функций необходимо и достаточно проверить измеримость замкнутых множеств вида Ea = {x | f (x) > a}. ПредставимE в виде объединения множества E1 и E2 , где множество E2 — типа Fδ (является объединением замкнутых множеств), при этом |E2 | = |E| ⇒ |E1 | = 0. Таккак f (x) непрерывна на E2 , она на нем измерима (во всякое замкнутое множество она отображает замкнутое, следовательно, прообразом Ea будет являтьсясчетное объединение замкнутых множеств, очевидно, измеримое).
Осталось заметить, что f (x) измерима на всем множестве E, так как, как и любая функция,она измерима на множестве E1 меры ноль.13. []2] Доказать, что если f (x) имеет производную на сегменте [a, b], то производная f 0 (x) измерима.Решение. Считая, что f (x) продолжена вправо от точки x = b дифференцируемым образом (например, f (a + α) = f (b) + αf 0 (a)), положим¯ µ¯¶¯¯1ϕn (x) = n ¯¯f x +− f (x)¯¯ .nТогда f 0 (x) является пределом сходящейся последовательности непрерывныхи, следовательно, измеримых функций: f 0 (x) = lim ϕn (x), поэтому являетсяn→∞измеримой.14.
[]2] Привести пример ограниченной, измеримой функции, не эквивалентной никакой функции, интегрируемой по Риману.9Решение. Построим множество A на отрезке [0, 1] с наперед заданной положительной мерой α > 1. Сначала удалим из [0, 1] все точки интервал൶1 1 1 1− α, + α2 4 2 4£ 1 1 ¤11длиныαсцентромвточке.Издвухоставшихсяотрезков0, 2 − 4 α и22£1 1 ¤¡¢11+ 4 α , каждый из которых имеет длину2¡ 2 11 − 2 α1 ,¢удалим средние интерва1лы, длина каждого из которых равна 4 1 − 2 α − 4 α , удалим средние интер1валы, каждый из которых имеет длинуα. Из восьми32¡¢ оставшихся отрезков,1111длина каждого из которых равна 8 1 − 2 α − 4 α − 8 α , удалим средние интер1валы, каждый из которых¡имеет длину 128α.¢ После n шагов мера удаленных11−nинтервалов будет равна α 2 + 4 + · · · + 2 , и, следовательно, мера совокупности удаленных интервалов после бесконечной последовательности удаленийбудет равна α.
Мера оставшегося множества A будет равна 1 − α. Оно являетсясовершенным и нигде не плотным.Рассмотрим характеристическую функцию множества A:(1, x ∈ A,f (x) =0, x ∈/ A.Она ограничена и измерима (так как является характеристической функциейизмеримого множества). Но так как множество ее точек разрыва есть A и мерамножества A положительна, то f (x) не интегрируема по Риману (в частичныхсуммах мера отрезков разбиений, содержащих точки разрыва, положительна,следовательно, можно добиться разных значений верхней и нижней сумм Дарбу). Если значения функции f (x) изменить на некотором множестве меры ноль,то множество точек разрыва вновь полученной функции также будет иметь положительную меру, следовательно, она снова не будет интегрируема по Риману.Следовательно, никакая функция, эквивалентная f (x), не интегрируема по Риману (однако интегрируема по Лебегу на A).15.
[]2] Привести пример неизмеримой функции. Доказать, что множество и егохарактеристическая функция измеримы или не измеримы одновременно.Решение. Определим на отрезке [0, 1] отношение эквивалентности: x ∼ y, еслиx − y ∈ Q. Пусть A является подмножеством (0, 1], содержащим по одному элементу из каждого класса эквивалентности. Для r ∈ (0, 1] определим множествоAr ⊂ (0, 1], получающееся из A сдвигом на r по модулю 1:Ar ≡ ([r + A] ∪ [(r − 1) + A]) ∩ (0, 1].10Легко видеть, что интервал (0, 1] является объединением попарно непересекающихся множеств {Ar }, где r ∈ Q ∩ (0, 1].
Очевидно, что если A измеримо, то егомера совпадает с мерой Ar для любого r. Мера A не может быть равна нулю,так как интервал является объединением Ar , а оно имеет меру ноль. Мера Aтакже не может быть положительной, так как в этом случае мера объединенияAr бесконечна. Следовательно, A неизмеримо.Легко видеть, что характеристическая функция множества A неизмерима, таккак ее образ содержит лишь две точки: 0 и 1. Достаточно, например, взятьпрообраз единицы (равный неизмеримому множеству A), чтобы убедиться в еенеизмеримости.Утверждение о том, что множество измеримо или неизмеримо вместе со своей характеристической функцией, следует из того, что дополнение множестваизмеримо или неизмеримо одновременно с самим множеством, и того, что прообразами измеримых множеств характеристической функции являются самомножество, его дополнение, а также пустое множество и универсум.16.
[]1] Будет ли измерима функция f (x) =1x(x−1)на [0, 1]?hi1Решение. Достаточно проверить измеримость множеств E x(x−1)> α (в дальнейшем везде берется пересечение этих множеств с отрезком [0, 1]). Возможныдва случая:½µ √√ 4 ¶¾hi41− 1+ α1+ 1+ α1,,(a) α 6 −4. В этом случае E x(x−1) > α = x : x ∈22qочевидно, измеримо, и его мера равна просто 1 + α4 .hi1(b) α > −4.
В этом случае E x(x−1)> α = ∅. Пустое множество измеримо.Таким образом, прообразами указанных множеств являются измеримые множества, следовательно, по известному критерию, эта функция измерима.(n, x = m∈ Q, (m, n) = 1,n17. []2] Будет ли измерима функция f (x) =1, x ∈ R \ Q ?Решение. Образом этой функции является множество всех натуральных чисел с нулем. Если в качестве подмножества образа взять какое-то множествонатуральных чисел, то его прообразом будет являться какое-то подмножество11рациональных чисел, имеющих меру ноль. В силу полноты меры Лебега любоетакое подмножество имеет также нулевую меру. Если в качестве подмножестваобраза взять точку 0, то его прообразом будет являться все множество иррациональных чисел, которое измеримо. Если в качестве подмножества образавзять точку ноль, и вдобавок еще какое-то подмножество натуральных чисел,то прообраз будет измерим как объединение измеримого множества и множества меры ноль.Таким образом, эта функция является измеримой.¡ π¢18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
