Главная » Просмотр файлов » Дж. Деммель - Вычислительная линейная алгебра

Дж. Деммель - Вычислительная линейная алгебра (1156793), страница 21

Файл №1156793 Дж. Деммель - Вычислительная линейная алгебра (Дж. Деммель - Вычислительная линейная алгебра) 21 страницаДж. Деммель - Вычислительная линейная алгебра (1156793) страница 212019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Число операций с плавающей точкой равно 89 2.7. Специальные линейные системы или примерно половина того, что выполняется в гауссовом исключении. Подобно последнему, алгоритм Холесского может быть модифицирован так, что ббльшвя часть операций с плавающей точкой будет в нем производиться с помощью ВЬАЯ-подпрограмм уровня 3 (см. ЬАРАСК-программу вросгй). Для численной устойчивости алгоритма Холесского выбор главных элементов не является необходимым (по-другому, мы могли бы сказать, что алгоритм остается численно устойчивым при любом способе выбора главных элементов). Это можно показать следующим образом. Анализ, аналогичный анализу гауссова исключения в разд. 2.4.2, свидетельствует, что вычисленное решение х удовлетворяет системе (А + БА)х = Ь, где [ЬА[ < Зпс[Ь[ [Ьт[.

Согласно неравенству Коши — Шварца и утверждению 4 из предложения 2.2, и = ~/ап и. /а; < шах [аь [, и (2.16) поэтому [[[Ь[ [Ьт[[[, < о[[А[[, и [[БА[[, < Зпге[[А[[ 2.7.2. Симметричные незнакоопределенные матрицы 2.7.3. Ленточные матрицы Говорят, что А — ленточная матрица с нижней шириной Ьв и верхней шири- ной Ьи, если ай = 0 при ь ) у + Ьь или 1 < у — Ьи: аы ацьи+ь пг,ьи+г аь,+ьл пьь+г,г а„-Ьп,п ап, -Ьь ав и Естественным образом возникает вопрос, можно ли сэкономить половину времени и памяти при решении системы линейных уравнений с симметричной, но незнакоопределенной матрицей (т. е.

матрицей, не являющейся ни положительно определенной, ни отрицательно определенной). Оказывается, что это возможно, однако требуются более сложные разложение и схема выбора главных элементов. Можно показать, что для невырожденной матрицы А найдутся перестановка Р, нижняя унитреугольная матрица Ь и блочно-диагональная матрица Р с 1 х 1 и 2 х 2 диагональными блоками, такие, что РАРг = ЬЮЬт. Чтобы понять, почему в Р нужно допустить 2 х 2-блоки, достаточно рассмо- [О 11 треть матрицу ~ ~ .

Указанное разложение можно вычислить устойчиво, экономя при этом примерно половину работы и памяти по сравнению со стандартным гауссовым исключением. ЬАРАСК-подпрограмма, вычисляющая зто разложение, называется ввувн. Описание алгоритма дано в [44). Глава 2. Решение линейных уравнений Рис. 2.7. Ленточное 1А1-рэзложение без выбора главных элементов. Ленточные матрицы часто возникают в практических задачах (ниже будет приведен пример); эти матрицы имеет смысл выделить в отдельный класс, поскольку для них треугольные множители Е и У также являются «по существу ленточными», вследствие чего их вычисление и хранение удешевляются. Ниже мы объясним, что понимается под термином «по существу ленточные» матрицы. Однако вначале рассмотрим ЕС-разложение без выбора главных элементов и покажем, что Е и У суть ленточные матрицы в обычном смысле, причем они имеют те же ширины, что и А.

Предложение 2.3. Пусть А — лен«ночная матрица с низкней шириной Ьь и верхней шириной Ьп. Пусть разлоэкение А = И7 вычисляется без вьгбора главных элементов. Тогда Е имеет нижнюю ширину ленты Ьь, а П— верхнюю ширину ленты Ьп. Если Ьп и Ьь малы по сравнению с п, то Е и У можно вычислить приблизительно за 2п Ьп Ьь арифметических операций, при этом требуется память п(Ьс+ Ьп+ 1). Полная стоимость решения системы Ах = 6 составллет 2пЬп . Ьь + 2пЬп + 2пбь операций. Набросок доказательства. Достаточно проследить за одним шагом разложения (см.

рис. 2.7). На шаге у гауссова исключения закрашенная область пере- вычисляется путем вычитания произведения первого столбца и первой строки этой области; ширина ленты при этом не увеличивается. П Предложение 2.4. Пусть А — ленточная матрица с нижней шириной Ьь и верхней шириной Ьп. Тогда после нримепения к А гауссова исключения будут получены ленточная матрица У с верхней шириной лент»6 не превосходящей 6ь+ Ьп, и «по существу ленточная» матрица Е с и экней шириной ленты Ьь. Последнее означает, что в каждом столбце матрицы Е содержится не более чем Ьс + 1 ненулевых элементов; поэтому длл хранения Е достаточно 91 2.7. Специальные линейные системы "и'н Рис. 2.8.

Ленточное ЬП-раэложение с частичным выбором главных элементов. памлти таково же размера, как и длл ленточной зьатрицы с низкней шириной ленты Ьв. Набросок доказательства. Снова проиллюстрируем доказательство изображением области, изменяемой одним шагом алгоритма. Рис. 2.8 показывает, что (частичный) выбор главных элементов может увеличить верхнюю ширину ленты не более чем на Ьс. Последующие перестановки могут переупорядочить элементы ранее вычисленных столбцов, так что в Ь могут появиться элементы, лежащие ниже поддиагонали с номером Ьь. Однако никаких новых ненулевых элементов не появится, поэтому для хранения любого столбца в Ь по-прежнему будет требоваться Ьв слов.

П Гауссово исключение и алгоритм Холесского для ленточных матриц реализованы в ЬАРАСК'е (см., например, программы ввово и верен). Ленточные матрицы часто возникают при дискретизации физических задач с взаимодействиями между ближайшими узлами сетки (предполагается, что неизвестные упорядочены по строкам или по столбцам; см. еще пример 2.9 и рвзд.

6.3). Пример 2.8. Рассмотрим на отрезке ~а, Ь] обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) уп(х) — р(х)у'(х) — й(х)у(х) = г(х) с граничными условиями у(а) = о, у(Ь) = Д. Предположим еще, что д(х) > д > О. С помощью данного уравнения можно моделировать, например, распространение тепла в длинном тонком стержне. Чтобы решить дифференциальное уравнение численно, мы дискретизуем его, разыскивая решение лишь на сетке с равноотстоящими узлами х; = а+ И, 1 = О,..., Ф + 1, где 6 = (Ь вЂ” а)/(М + 1) есть шаг сетки. Положим р, = р(хе), г; = г(х,) и ве = д(хе). Нужно вывести уравнения, опре- 92 Глава 2.

Решение линейньгх уравнений деляющие желаемые приближения у; у(х,), где уо = о и уььгт, — — ~3. Для вывода уравнений заменим значение производной у'(х;) следующим конечнорагностным приближением: Уьэ-г Уь — ь 26 о,, Уь ы — 2уь + Уг-ь ьг (Более подробный вывод этого приближения дан в разд. 6.3.1 гл. 6.) Подставляя эти приближения в дифференциальное уравнение, получаем Уь ьь — 2уь+ Уь-1 У ч-ь — Уь-ь г 1 2Ь Запишем эти соотношения как систему линейных уравнений Ау = Ь, где ,ь= —,[ а1 — сь ьг аь — 1+ г Фь 1 г й Ь,=г 1+~р, с,= — 1 — -р) . 1 2 2 — Ь А= сн — Ьгь ам Заметим, что а; > О, а при достаточно малых Ь и Ь, > О, с, > О.

Для вектора у имеем несимметричную трехдиагональную систему уравнений. Покажем, как преобразовать ее в трехдиагональную же, но симметричную положительно определенную систему, для решения которой можно применить ленточный алгоритм Холесского. и о = ььь(ь,д,гь;..., . '*',*,*;;;*,";. ). г.ь Ау = Ь можно перейти к (РАР ')(.Ру) = РЬ, или Ау = Ь, где аь — иьсгЬг — ь/сьЬг аг ьг~сг Ьг — ьььсгЬг — ~/сьь ьЬььь аььь — ~/сь, Ьн Легко видеть, что А — симметричная матрица, имеющая те же собственные значения, что и А, поскольку А и А = РАР ' подобны. (Подробности см.

(Заметьте, что по мере уменьшения Ь правая часть приближает у'(х,) все бо- лее и более точно.) Аналогичным образом можно аппроксимировать вторую производную; 93 2.7. Специальные линейные системы в разд. 4.2 гл. 4.) Чтобы показать, что А еще и положительно определена, воспользуемся следующей теоремой. Теорема 2.9 (Гершгорин). Пусть  — произвольнал матрица.

Тогда все ее собственные значения принадлежат обвединению п кругов Доказательство. Пусть имеем Л и х ф О, такие, что Вх = Лх. Масштабируя х, если это необходимо, будем считать, что 1 = Ох9 = ха. Тогда 2, Ььдхд = Ж Ф Лхь = Л, поэтому Л вЂ” Ььа = ~ ь Ьг хы откуда выводим )Л вЂ” Ьы) < ~~~ ~Ььдх,~ < ~~~ )Ьгг!. Если Ь настолько мало, что ~ "-р, ~ < 1 для всех г, то Ьг Ьг ~ЬА+~,~ =- ~1+-р~+- ~1 — — р~ =1<1+ — 9<1+ — д, =,, 2~, 2',~ 21, 2 ) 2 — 2 Следовательно, все собственные значения матрицы А находятся в кругах радиуса 1 с центрами в точках 1 + Ьгдг/2 > 1+ Ьгу/2; в частности, все собственные значения имеют положительные вещественные части.

Поскольку А— симметричная матрица, ее собственные значения вещественны, а потому положительны; таким образом, А положительно определена. Ее наименьшее собственное значение ограничено снизу числом дЬг/2. Итак, система с матрицей А может быть решена алгоритмом Холесского.

Для решения симметричных положительно определенных трехдиагоиальных систем в 1 АРАСК'е имеется подпрограмма врвво. В разд. 4.3 мы снова воспользуемся теоремой Гершгорина, чтобы вычислить границы возмущений для собственных значений матрицы. О 2.7.4.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
40,83 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее