А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки (1156330), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Однако,если объект, создающий магнитное поле, обладает высокой магнитнойвосприимчивостью, то решение прямой задачи от такого объекта будетболее сложным. Это связано с тем, что внутри намагниченного объектавозникает внутреннее поле, которое оказывает свое влияние нараспределение намагниченности внутри этого тела.
Кроме того, если тела,создающие магнитные поля, будут располагаться рядом, то эти поля будутоказывать свое влияние на распределении намагниченности внутри тел.Тема этой лекции и будет посвящена вопросам расчета намагниченностивнутри таких объектов и расчетам поля, создаваемого этими объектами.Следует сразу же отметить, что этот вопрос очень тесно связан саналогичными, возникающими при решении прямых электроразведочныхзадач, теория которых достаточно хорошо разработана.1.Напомним основные соотношения, связывающие магнитнуюиндукцию, напряженность магнитного поля и намагниченность.Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля ввеществе описывается следующим образом:rr rB = µ0 ( H + I ) ,145rгде I – намагниченностьr вещества.Из этого соотношения в частностиr rследует, что вектора B , H , I в общем случае имеют различныенаправления.Как уже отмечалось, намагниченность вещества сложным образомзависит от его магнитных свойств и от намагничивающего поля.
Однако, вслабых магнитных полях, к числу которых относится и магнитное полеЗемли, можно предположить, что намагниченность горных пород будетопределяться двумя факторами – величиной внешнего магнитного поля,создающего индуцированную намагниченностьrrI инд = æH ,rи величиной остаточной намагниченности I n :r rrr rI = I инд + I n = æH + I n .Безразмерная величина æ носит название магнитной восприимчивости.Для парамагнитных пород она положительна, для диамагнитных –отрицательна. С учетом этих соотношений, получим выражение дляиндукции магнитного поля:rr rrr rr rB = µ 0 ( H + I ) = µ 0 ( H + æH + I n ) = µ 0 ( µH + I n ) ,где µ = 1 + æ − относительная магнитная проницаемость вещества.Для случая постоянного магнитного поля его индукция инапряженностьудовлетворяютследующимдифференциальнымуравнениям:rdivB = 0 ,rrotH = 0 .rПервое уравнение говорит о том, что поле B не имеет источников исоздается вихрями, т.е.
макроскопическимиr электрическими токами,протекающими в веществе. Поскольку поле B не имеет источников, то награнице намагниченного тела это поле не терпит разрыва, т.е. егонормальная и тангенциальные компонентыr непрерывны. Из второгоуравнения следует, что возбудителями поля H являются заряды, в данномслучае “магнитные заряды”, находящиеся в веществе. Такое поле будетудовлетворять следующимграничным условиям: тангенциальныеrкомпоненты поля H непрерывны, а нормальная компонента терпитразрыв, равный поверхностной плотности “магнитных зарядов” в даннойrточке поверхности δ пов = I ⋅ 1n , где вектор нормали направлен из объема,rсодержащего вещество с намагниченностью I .146Рассмотрим два примера решения прямой задачи для простыхмоделей, основываясь на приведенных соотношениях.Пример 1.
Однородная2.сфера радиуса R и магнитнойвосприимчивостью æ находится внемагнитной среде и на неевоздействуетоднородноемагнитное поле, напряженностькоторого r обозначимкакперпервичное H . В курсе “Теорияполя” показывается, что такаясфера, помещенная в однородноеполе, приобретаетr постояннуюнамагниченность I , направлениекоторойсовпадаетснаправлениемисходного,первичного,поля(приположительных значениях æ). Напряженность поля такой сферы всферическойсистемекоординатописываетсяследующимисоотношениями:m sinθ⎧ 2m cosθ11θ ;r+3r ⎪⎪ 4πr4πr 3H=⎨⎪ − I 1z;⎪⎩ 3r≥Rr≤Rпри этом предполагается что в введенной системе координатось oZr персовпадает по направлению с внешним магнитным полем H , θ – уголrмежду полярной осью (осью oZ) и радус-векторм r , проведенным изцентра сферы в точку наблюдения, m = 43 πR 3 I – магнитный момент сферы.В частности из этого выражения следует, что магнитное поле такой сферывне нее совпадает с полем дипольного источника с магнитным моментомm.rIобразуется под влиянием как r первичного,Намагниченностьr первнешнего, поля H , так и вторичного внутреннего поля H втр , причемIH втр = − .
Таким образом, для величины намагниченности можно3записать следующее уравнение:III = æ( H пер + H втр ) = æ( H пер − ) = æH пер − æ .33147Разрешив это уравнение относительно намагниченности I, получим:æH пер.I=1 + 13 æЕсли бы сфера имела остаточную намагниченность I n , совпадающую понаправлению с намагничивающим полем, то выражение длянамагниченности приобрело бы вид:æH пер + I nI=.1 + 13 æЗная величину и направление намагниченности сферы, можно рассчитатьмагнитное поле создаваемое этой моделью.2.Пример 2.
На однородное полупространство с горизонтальнойграницей и с магнитной восприимчивостью æ воздействует вертикальноемагнитное поле, напряженность которого – H пер . Будем такжепредполагать, что это полупространство имеет вертикальную остаточнуюнамагниченность I n .Поддействиемвнешнегомагнитногополявеществоrполупространства приобретает индуцированную намагниченность I инд .Этанамагниченностьбудетrскладываться с остаточной I n , врезультатечеговеществоrIприобретаетнамагниченностьr rr( I = I инд + I n ).Посколькуполупространствоявляетсяоднородным, то поле, создаваемоеим, можно описать с помощьюповерхностных r“магнитныхrзарядов” δ пов = I ⋅ 1n .
Вторичныеполя, создаваемые этими зарядами,вне и внутри полупространства будут равны по величине ипротивоположены по направлению. Если представить напряженностьвнешнего поля He как сумму напряженностей первичного поля H пер ивнешнего вторичного поля Н eвтр ( H e = H пер + H eвтр ) , а напряженностьвнутреннего магнитного поля H i суммой напряженностей первичногополя H пер и внутреннего вторичного поля Н iвтр ( H i = H пер + H iвтр ) , то награнице области должно выполняться условие:148H e − H i = δ пов .Введем декартову систему координат с осью oZ направленнойвертикально вниз по намагничивающему полю H пер .
Тогдаrrrrδ пов = I ⋅ 1n = − I ⋅ 1z .Поверхностные заряды будут создавать вторичное магнитное поле,величина которого будет равнаH втр11⎧πδδ пов , z < 02−=−пов⎪ 4π2.=⎨1⎪δ пов ,z>0⎩2Для того чтобы определить значение δпов воспользуемся условиемнепрерывности нормальной компоненты индукции магнитного поля награнице среды. Это означает, что для рассматриваемой модели:µ 0 ( H пер + H eвтр ) = µ 0 (µ ( H пер + H iвтр ) + I n ) ,11⎛⎞H пер − δ пов = µ ⎜ H пер + δ пов ⎟ + I n .22⎝⎠Из этого соотношения следует, чтоδ пов =(1 − µ )H пер − I n0.5(1 + µ ).Определив поверхностную плотность “магнитных зарядов” можнорассчитать поле создаваемое ими, и тем самым определить полесоздаваемое намагниченным полупространством.Можно определить и величину самой намагниченности I.
Еслимагнитнаявосприимчивость æ> 0, то индуцированная намагниченностьrI инд будет совпадать по направлению с первичным магнитным полем, и вданном случае для величины δпов можно записать:rrrδ пов = ( I инд + I n ) ⋅ 1n = − I ⋅ 1z = − I .Тогда:149I=−(1 − µ )H пер − I n0.5(1 + µ )(1 − (1 + æ))H пер − I n=−0.5(1 + (1 + æ))- æH пер − I n=−,1 + 0.5ææH пер + I n.I=1 + 0.5æВ случае если величина æ незначительна, то знаменатель в этомвыражении близок к 1, и намагниченность будет вычисляться по формулеI = æH пер + I n . По такой же формуле вычислялась бы намагниченностьбесконечного пространства, заполненного веществом с магнитнойвосприимчивостьюæ.Однакодляслучаяполупространстванамагниченность будет меньше в (1+0.5 æ) раз.3.Решение данной задачи можно было бы получить, как и впредыдущем примере, представив намагниченность I в полупространствекак сумму индуцированной I инд и остаточной I n намагниченностей.Тогда:I = I инд + I n = æ(H пер + H втр ) + I n = æ(H пер − 0.5 I ) + I n ,æH пер + I n.I=1 + 0.5æ4.Приведенные примеры показывают два основных подхода крешению прямой задачи от тел с высокой магнитной восприимчивостью.Первый основан на том, что вначале определяется распределениенамагниченности в объекте, а затем вычисляется поле им создаваемое.Этот подход не предполагает того, что магнитные свойства объектаостаются неизменными в пространстве.
Второй подход предполагаетоднородность магнитных свойств объекта. Решение прямой задачи в этомслучае можно осуществить, определив на первом этапе распределениеповерхностных зарядов, создающих магнитное поле, а затем рассчитать исамо поле.5.В общем случае решение прямой задачи магниторазведки можетбыть построено на основе введения скалярного потенциала магнитногополя U. Тогда напряженность магнитного поля через скалярный потенциалопределятся следующим образом:rH = − grad U .150rr rrПоскольку B = µ 0 ( µH + I n ) и div B = 0 , получим:()rdiv − µ gradU + I n = 0 ;rdiv (µ gradU ) = divI n .rЕсли величины µ и I n постоянны, то последнее уравнениеприобретает вид: div gradU = ∆U = 0 , т.е. потенциал U удовлетворяетуравнению Лапласа.На границе тела этот потенциал удовлетворяет двум граничнымусловиям:− потенциал непрерывен, т.е.
U i = U e , где U i − потенциал внутри тела, U e− потенциал вне тела, при этом как внутренний, так и внешнийпотенциалы складываются из потенциалов первичного магнитного поля ивторичного, появляющегося за счет намагничивания тела и вмещающейсреды: U = U пер + U втр ;− нормальная компонента вектора индукции на границе тела не имеетразрыва:⎛ ∂U ⎞⎛ ∂U i ⎞µ 0 ⎜ µ1 e ⎟ = µ 0 ⎜ µ 2⎟,∂n ⎠∂n ⎠⎝⎝где µ1 − относительная магнитная проницаемость вмещающей среды, µ 2 −относительная магнитная проницаемость тела.Если удастся найти такой потенциал, который будет удовлетворятьперечисленным условиям, то в дальнейшем по этому потенциалувозможно определить и параметры магнитного поля, т.е.
решить прямуюзадачу магниторазведки. Решим эту задачу для однородной сферы.Пример 3. Однородная сфера радиуса R и магнитной6.восприимчивостью æ находится в немагнитнойсреде и на нееr первоздействует однородное магнитное поле H . Введем декартову системукоординат таким образом, что ось oZ будет направлена вдоль первичногополя, а начало координат будет расположено в центре сферы. Тогдапотенциал первичного магнитного поля будет описываться следующимобразом:U пер = − zН пер .Потенциалы внешнего и внутреннего полей должны удовлетворятьусловиям на границе тела. Составим эти условия. Для этого введемсферическую систему координат (r,θ,ϕ).
Связь сферических координат сдекартовыми определяется соотношениями:x = r sinθ cos ϕ , y = r sinθ sin ϕ , z = r cosθ .151В сферической системе координат для первичного потенциаламожем записать:U пер = − zН пер = − Н пер r cosθ .В результате того, что сфера приобретет намагниченность,появляется вторичный внутренний потенциал, который для однородногополя будет представлен в виде:U iвтр = azН пер = aН пер r cosθ ,где a – неопределенный коэффициент.Внешний вторичный потенциал, создаваемой намагниченнойсферой, будет представлен как потенциал дипольного источника:U eвтр = bH перcosθ,r2где b – также неопределенный коэффициент.Из условия того, что внутренний и внешний потенциал на границесферы должны быть равны (условие непрерывности потенциала на границе− U i = U e ), получим:U iпер + U iвтр = U eпер + U eвтр .Поскольку U iпер = U eпер , то условие непрерывности потенциала будетсоответствовать условию непрерывности только вторичных потенциалов:U iвтр = U eвтр .При r = R, это условие приобретет вид:aН пер R cosθ = bH перcosθ,R2из которого следует, что b = aR 3 .Условие непрерывности индукции магнитного поля для данногопримера будет иметь вид:⎛ ∂U e ⎞ ⎛ ∂ U i ⎞⎜⎟ = ⎜µ⎟,∂∂nn⎝⎠ ⎝⎠⎛ ∂U пер ∂U iвтр ⎞∂U пер ∂U eвтр⎟⎟ .+= µ ⎜⎜+∂nn∂∂n∂n⎝⎠152В данном случае дифференцирование по нормали может быть замененодифференцированием по радиусу r:⎛ ∂ ( − H пер r cosθ ) ∂ (aH пер r cosθ ) ⎞∂ ( − H пер r cosθ ) ∂ ⎛пер cosθ ⎞⎟⎟ ,++ ⎜ bH⎟ = µ ⎜⎜∂∂∂r ⎝∂rrrr2 ⎠⎝⎠− H пер cosθ − 2bH перcosθ= µ (− H пер cosθ + aH пер cosθ ) .3rПоскольку это условие должно выполняться на границе сферы, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
