C.В. Конягин - Программа и задачи к экзамену по вариационному исчислению (1155839), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тогда условие оптимальности по u можно записать в видеmin 0 6 u 6 1(−λ0 xbu2 − pu ) = −λ0 xbub2 − pbu.Так как x(0) = 0 и 0 6 ẋ 6 1, то x(t) > 0, значит, имеем параболу, ветви которой направлены вниз. Минимумдостигается в концах интервала. Рассмотрим три случая.1◦ ub(t) ≡ 0. Но это противоречит тому, что x(0) = 0, x(2) = 1 (так как x ≡ const).2◦ ub(t) ≡ 1. Но это противоречит тому, что x(0) = 0, x(2) = 1 (так как x(t) = t + C).3◦ ub(t) равна в некоторых точках 0, а в некоторых 1 (функция ub(t) принимает только два значения: 0 и 1). Нотогда ṗ(t) = −λ0 u2 равна в некоторых точках 0, а в некоторых −λ0 6= 0 (и принимает только эти два значения),значит, ṗ(t) — разрывная. Задача 10. Привести пример задачи оптимального управленияZt1t0L t, x(t), u(t) dt → min;ẋ = u,x(t0 ) = x0 ,x(t1 ) = x1 ,u(t) ∈ U,такой, что при применении к ней принципа максимума Понтрягина необходимо брать λ0 = 0.Указание. Рассмотрите задачуZ10√− u dt → min;ẋ = u,x(0) = 0,x(1) = 0,x(0) = 0,x(1) = 0,u(t) > 0.Решение.

Рассмотрим задачу:Z10√− u dt → min;ẋ = u,u(t) > 0.Единственной допустимой экстремалью данной задачи является хb = 0, при u(t) = 0. Так как иначе при x(0) = 0,ẋ = u, u(t) > 0 для какого-то t, станет невозможным выполнение второго краевого условия х (1) = 0. Применимк данной задаче принцип Понтрягина:L=Z10√−λ0 u + p(ẋ − u) dt + λ1 x(0) + λ2 x(1).Условия стационарности по х — уравнение Эйлера:√dbbL = −λ0 u + p(ẋ − u) − Lẋ + Lx = 0dt⇔ṗ = 0⇔p = const .Условия трансверсальности:b ẋ (0) = bLlx(0) ⇔ p(0) = λ1 ,b ẋ (1) = −bLlx(1) ⇔ p(1) = −λ2 .5Условия оптимальности по u:√√min (−λ0 u − pu) = −λ0 ub − pbu.u∈[0;∞)Рассмотрим λ0 > 0.

Без ограничений общности будем считать, что λ0 = 1. Тогда условие оптимальности по uперепишется в таком виде:√√min (− u − pu) = − ub − pbu.u∈[0;∞)При р > 0 минимум будет достигаться при u = ∞, значит р > 0 не подходит.Рассмотрим р < 0. Тогда минимум будет достигаться в точке√d1(− u − pu) = 0 ⇔ √ = −pdu2 u⇔u=1> 0,4p2что противоречит тому, что u(t) = 0. Значит, в задаче необходимо рассматривать λ0 = 0. Задача 11. Докажите, что для задачи оптимального управленияZt1L(t, x(t), u(t)) dt → min;x(t0 ) = x0 ,x(t1 ) = x1 ,t0ẋ = u,u(t) ∈ Rn ,при применении к ней принципа максимума Понтрягина мы имеем λ0 6= 0.Задача 12. Докажите, что условие выпуклости в теореме Филиппова существенно.Указание.

Рассмотрите задачуT → min;2x(0) = −1, y(0) = 0, x(T ) = y(T ) = 0;ẋ = −y + u2 , ẏ = u, |u| 6 1.Последняя компиляция: 6 января 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.6.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)