Автореферат (1154391), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Проведена геометризация уравнений Максвелла на основе программы Плебаньского.6. Проведена геометризация уравнений Максвелла на основе лагранжиана типа Янга–Миллса.7. Проведена верификация результатов геометризации с помощью геометризации Плебаньского.8. Построена методика решения обратной задачи оптики.9. Показана обоснованность методики решения обратной задачи оптики путём сравнения с методом трансформационной оптики.10. Построен симплектический гамильтониан Максвелловской оптики.Научная новизна1.
В работе систематизирована запись различных представлений уравнений Максвелла в криволинейных координатах общего вида вквадратичной (псевдоримановой) метрике.2. В работе построен формализм расслоенных пространств без предварительно введения метрики на базе расслоения для уравненийМаксвелла и установлено соответствия между тензорами F и G.3. В работе приведена реализация соответствия между тензорами Fи G на основе квадратичной (псевдоримановой) метрики на базерасслоения.4.
В работе реализовано соответствие между тензорами F и G с использованием лагранжиана Янга–Миллса.65. В работе формализованы задачи проектирования оптических приборов в терминах геометризованных уравнений Максвелла.6. В работе построены алгоритмы решения задач проектирования оптических приборов с помощью геометризованных уравнений Максвелла.7. В работе построен симплектический гамильтониан максвелловскойоптики.Практическая значимостьРазработанные методики позволяют формализовать задачи проектирования волновой и максвелловской оптики единообразным способом, что позволяет выделять подзадачи и алгоритмизировать их решение при реализации на компьютере. Разработанные методы позволяют использовать результаты предыдущих исследований при уточнении моделей при ответ на возрастающие требования.
Модульностьконструкции и иерархия моделей позволяет реализовать процесс проектирования оптических приборов и систем в форме вычислительногоэксперимента, включающего этап верификации с экспериментальными измерениями.Результаты диссертации использованы при создании курса «Разностные методы расчёта оптических наноструктур», обеспечивающего реализацию магистерской программы «Математическое моделирование оптических наноструктур» и предназначенного для студентовнаправления «Прикладная математика и информатика».Методы исследованияВ работе использовались методы дифференциальной геометрии(риманова геометрия, теория расслоенных пространств, теория когомологий), компьютерные методы (методы компьютерной алгебры исимвольных вычислений, численные методы, параллельные и распределённые вычисления).7Обоснованность и достоверность результатовОбоснованность результатов диссертации следует из строгих математических методов дифференциальной геометрии (риманова геометрия, теория расслоенных пространств, теория когомологий), зарекомендовавших себя пакетов символьных вычислений (Cadabra, Maxima,SymPy), а также математических пакетов численных вычислений(NumPy, Julia).Достоверность подтверждается совпадением полученных в работерезультатов с результатами работ Плебаньского, Пендри, Леонгарда идр.Апробация работыОсновные результаты диссертации докладывались на следующихконференциях:– The 15th small triangle meeting of Theoretical Physics.
Stará Lesná,Slovakia, 2013.– 54-ая научная конференции МФТИ «Проблемы фундаментальныхи прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика.Москва, 2011.– 14-th Workshop on Computer Algebra. Дубна, 2011.– Девятнадцатая Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование».
Дубна, 2012.– Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012. Москва, 2012.– Научная сессия НИЯУ МИФИ-2014. Москва, 2014.– Научная сессия НИЯУ МИФИ-2015. Москва, 2015.– IV международная конференция «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование». Москва,2016.– Mathematical Modeling and Computational Physics (MMCP-2013).Дубна, 2013.8– InternationalConferenceonMathematicalModelingandComputational Physics (MMCP-2015). Stará Lesná, Slovakia, 2015.– Компьютерная алгебра. Москва, 2016.– Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети:управление, вычисление, связь (DCCN-2016). Москва, 2016.– Saratov Fall Meeting 2016: Laser Physics and Photonics XVII andComputational Biophysics and Analysis of Biomedical Data. Саратов,2016.Также основные результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:– Cеминар «Компьютерная алгебра» факультета ВМК МГУ и ВЦРАН.– Семинар «Математические методы в естественных науках» кафедры математики физического факультета МГУ.– Семинар «Математическое моделирование» кафедры прикладнойинформатики и теории вероятностей РУДН.– Семинар кафедры Прикладной Математики Национального исследовательского ядерного университета МИФИ.ПубликацииОсновные положения диссертации опубликованы в 17 печатных работах в изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки России, ив 12 печатных работах в других рецензируемых изданиях.Личный вклад автораСодержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованных работах.
Подготовка к публикации полученных результатов проводиласьсовместно с соавторами, причём вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены личноавтором.9Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, библиографии, 3 приложений. Общий объем диссертации 230 страниц, из них125 — страницы основного текста. Библиография включает 185 наименований на 29 страницах.Содержание работыВо Введенииобоснована актуальность темы диссертационной ра-боты, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.В первой главе даётся обзор состояния и степень разработанностипроблемы.
Рассматриваются следующие аспекты проблемы геометризации:– возможные подходы к геометризации;– используемые геометрические структуры и подходы;– геометризация полевых уравнений электромагнитного поля;– геометризация материальных уравнений Максвелла;– геометризация в рамках трансформационной оптики.Описывается, в работах каких авторов исследовались поставленныев диссертации вопросы. Выделяются неизученные аспекты проблемы.Также в главе вводятся обозначения и соглашения.Во второй главе рассматриваются разные представления уравнений Максвелла в криволинейных координатах в квадратичной метрике.
При решении задач используют следующие формы записи уравнений Максвелла:– через 3-векторы;– через 4-векторы;– комплексное представление;10– импульсное представление;– спинорное представление;– представление во внешних формах.При представлении уравнений Максвелла в формализме внешнихформ используется как формализм с предварительно заданной метрикой, так и без предварительно заданной метрики. Рассматриваетсяпредставление как в виде 4-форм, так и в виде 3-форм.Кроме того, в статье приводится конкретная реализация тензорныхпредставлений уравнений Максвелла в цилиндрических и сферическихкоординатах.В третьей главе рассматриваются подходы к геометризации материальных уравнений электромагнитного поля.Тензоры Fαβ и Gαβ имеют смысл кривизны в кокасательном (T ∗ X)и касательном (T X) расслоениях.
Связь между этими величинами задаётся следующим образом:Gαβ = λ(Fγδ ).Мы рассматриваем случай геометризации для локальных линейных материальных уравнений, то есть λ : Λ2 → Λ2 должно быть линейным и локальным. Тогда уравнение связи можно представить вследующем виде:Gαβ = λαβγδ Fγδ ,здесь λαβγδ — тензор приницаемостей, содержащий информацию какоб диэлектрической и магнитной проницаемостях, так и об электромагнитной связи.Заметим, что линейный, нелокальный случай при наличии трансляционной симметрии сводится к линейному локальному случаю с помощью преобразования Фурье.Вначале рассматривается структура тензора проницаемостей11λαβγδ .
Он имеет следующую симметрию:λαβγδ = λ[αβ][γδ]Для уточнения симметрии, тензор λαβγδ можно представить в следующем виде:λαβγδ = (1) λαβγδ + (2) λαβγδ + (3) λαβγδ ,(1) αβγδ= (1) λ([αβ][γδ]) ,(2) αβγδ= (2) λ[[αβ][γδ]] ,λλ(3) αβγδλ= (3) λ[αβγδ] .Можно проверить, что λαβγδ имеет 36 независимых компонент,(1) αβγδλимеет 20 независимых компонент,симых компонент,(3) αβγδλ(2) αβγδλимеет 15 незави-имеет 1 независимую компоненту.Обычно рассматривается только часть(1) αβγδλ.Можно записать общий вид материальных уравнений:Di = εij Ej + (1) γji B j ,Hi = µ−1 ij B j + (2) γij Ej ,где εij и µij — тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей,(1) iγjи(2) iγj— перекрёстные члены.Учитывая структуру тензоров Fαβ и Gαβ , запишемF0 i = Ei ,Gi j = −εi j k Hk ,G0 i = −Di ,Fi j = −εi j k B k .Тогда выпишем структуру тензора λαβγδ :λ0i 0j = εi j /2,λi j m n = εi j k εl m n (µ−1 )l k /2.λ0i j k =λi j k l = 0.Далее рассматривается подход к геометризации Плебаньского.Плебаньским была предложена простейшая геометризация уравнений12Максвелла.
Однако в оригинальной статье сразу даны финальныеформулы, а принципы и методы их получения остаются непрояснёнными. Авторы постарались явно выписать методику, которую по нашемумнению использовал Плебаньский, а также подробно провести вычисления. Основная идея геометризации по Плебаньскому заключается вследующем:1. Записать уравнения Максвелла в среде в пространстве Минковского.2.
Записать вакуумные уравнения Максвелла в эффективном римановом пространстве.3. Приравнять соответствующие члены уравнений.В результате получается выражение диэлектрической и магнитнойпроницаемостей через геометрические объекты (квадратичную метрику).Таким образом геометризованные уравнения связи в декартовыхкоординатах имеют следующий вид:Di = εij Ej + εijk wj Hk ,B i = µij Hj − εijk wj Ek ,√−g ij−g ijijijε =−g , µ =−g ,g00g00√wi =gi0.g00В результате реализации данной программы геометризованные материальные уравнения в криволинейных координатах с метрическимтензором ηαβ имеют следующий вид:Di = εij Ej + εijk wj Hk ,B i = µij Hj − εijk wj Ek ,√√−g 1 ij−g 1 ijεij = − √g ,µij = − √g ,−η g00−η g00wi =gi0.g00При этом метод геометризации Плебаньского выглядит более какматематический трюк, нежели как обоснованные выкладки.Далее проведём геометризацию, базируясь на лагранжиане Янга–13Миллса.
Мы условно назвали эту геометризацию геометризацией Тамма.Введём эффективную метрику на базе расслоения gαβ . Запишем лагранжиан электромагнитного поля в виде лагранжиана Янга–Миллса:L=−√√1 αγ βδ1g g Fαβ Fγδ −g − 2 Aα j α −g.16πccПостроим тензор λαβγδ следующим образом: √√√λαβγδ = 2 −gg αβ g γδ = −g g αγ g βδ + g αδ g βγ + −g g αγ g βδ − g αδ g βγ .Тогда уравнение связи примет следующий вид:Gαβ =1√−g g αγ g βδ − g αδ g βγ Fγδ .2Запишем уравнение связи через 3-векторы:√√Di = − −g g 00 g i j –g 0i g 0j Ej + −gεk l j g 0k g i l B j ,√√Hi = −gεm n i εk l j g n k g m l B j + −gεk l j g0k gi l Ej ,Теперь можно формально выписать выражение для диэлектрической проницаемости:√εi j = − −g g 00 g i j –g 0i g 0j .и выражение для магнитной проницаемости:(µ−1 )i j =√−gεm n i εk l j g n k g m l .Таким образом геометризованные уравнения связи координатах14имеют следующий вид:Di = εij Ej + (1) γji B j ,Hi = (µ−1 )ij B j + (2) γij Ej ,√εi j = − −g g 00 g i j –g 0i g 0j ,√(µ−1 )i j = −gεm n i εk l j g n k g m l ,√(1) iγj = (2) γji = −gεk l j g 0k g i l .Теорема 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
