Лекция №10 Анализ качества функционирования РСКУ. Статистические показатели качества РСКУ (1152014), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

ФормирующийфильтрВзаимная связь спектральной плотности и корреляционной функции:Sx (ω ) =∞∫1K x (τ ) =2πK x (τ )e − jωτ dτ ;−∞∞∫Sx (ω )e jωτ dω .(16)−∞Соотношение между дисперсией и спектральной плотностью:1Dx = K x (0 ) =2π∞∫ Sx (ω ) dω .(17)−∞Спектральная плотность выходного сигнала (при действии на систему стационарноговходного сигнала)2Sy ( ω ) = Sx ( ω ) ⋅ Φ a2 ( ω ) = Sx ( ω ) ⋅ Φ ( jω ) ⋅ = Sx ( ω ) ⋅ Φ ( jω ) ⋅ Φ ( − jω ),(18)где Φ a ( ω ) = Φ ( jω ) АЧХ системы.Корреляционная функция:Дисперсия:K y (τ ) =1πD y = K y (τ ) =∞∫Sx ( ω )Φ a2 e jωτ dω ;(19)01∞π∫0S y ( ω )dω =1∞π∫S x ( ω )Φ a2 ( ω )dω .(20)015Метод формирующего фильтра•корреляционная функция “белого” шума:•спектральная плотность “белого” шума:+∞SБШ ( ω ) =∫K БШ (τ )e − jωτ = S x−∞•2K БШ (τ ) = SБШ δ (τ ) = σ БШδ (τ ) .+∞∫δ (τ )e − jωτ = SБШ = const .(22)−∞Спектральная плотность входного сигнала с заданными статистическими характеристиками, сформированного из БШ при SБШ ( ω ) = 1S x ( ω ) = Φ а2 ( ω )SБШ ( ω ) = Φ ( − jω )Φ ( jω ) ;•(23)ΦФ ( ω ) = Sx .АЧХ формирующего фильтра:Рисунок 3•(21)(24)Формирующий фильтр - устойчивая линейнаясистема, преобразующая “белый” шум с единичной интенсивностью в стационарный случайный процесс с заданной спектральной плотностью.Передаточная функция объединенной системы:Φ 0 ( p ) = Φ Ф ( p )Φ ( p ) .(25)16Передаточная функция ошибки объединенной системы с формирующим фильтром:•β0 + β1 р + ...

+ β m pmв отношении задающего воздействия ΦΦ Х ( р )Φ ХЕ ( р ) =;nα0 + α1 p + ... + αn p(26)•* mβ0* + β1* р + ... + β mpΦΦF ( р )Φ FЕ ( р ) = *;** nα0 + α1 p + ... + α n p(27)в отношении помехИнтеграл Парсеваля (табличный) для дисперсии ошибки при jω → р , dω → dp :jDE =12πjj∞∫ ΦФ ( p )Φ E ( p )ΦФ ( − p )Φ E ( − p )dp = I [ΦΦ ( p )Φ E ( p )];− j∞DXE = I [ΦΦ X ( p )Φ XE ( p )],••(29)для системы первого порядкадля системы второго порядка(28)DFE = I [ΦΦ Fi ( p )Φ FEi ( p )].(30)β02I1 =;2α0α1(31)I2 =β12α0 + β02α22α0α1 α2.(32)Для формирования стационарного случайного процесса с заданными статистическимихарактеристиками в состав обобщенной системы необходимо включить формирующийфильтр, АЧХ которого определяет его спектральную плотность.17Пример №3. Рассчитать дисперсию ошибки в установившемся режиме, если на вход системы поступает стационарный случайный сигнал со спектральной плотностьюSX (ω ) =4ω +92.Методика решения:Оценка дисперсии ошибки возможна с использованием метода интегральной квадратичной оценки DE =Sx ∆B, применение которого возможно при наличии на входе системы2 an ∆“белого шума”.

В контексте постановки решаемой задачи “белый шум” поступает на входобщей системы, состоящей из формирующего фильтра и анализируемой системы.181. Расчет передаточной ошибки системы в отношении поступающего случайного входного сигнала анализируемой системы по структурной схеме.2. Расчет передаточной функции формирующего фильтра по спектральной плотности.3.

Расчет передаточной функции обобщенной системы.4. Оценить возможность применения метода интегральной квадратичной оценки.5. Применение метода интегральной квадратичной оценки для расчета дисперсииошибки системы.1. Передаточная функция ошибки анализируемой системы в отношении зада-p2 + 2 ,6 p + 0 ,25ющего воздействия Φ FE ( p ) = 2.p + 10 ,6 p + 2 ,252.

Передаточная функция формирующего фильтра по спектральной плотности2входного сигнала SX ( ω ) → WΦ ( ω ) → WΦ ( jω ) → WΦ ( p ) :−представить спектральную плотность как квадрат АЧХ, как произведение АФЧХ наее комплексно сопряженный образ1924ω2 + 9SX ( ω ) →−22⋅;jω + 3 − jω + 3рассчитать АФЧХ, заменив ω2 на jω и вычисливWΦ ( jω ) =−=из коэффициентов при ω22;jω + 3рассчитать передаточную функцию, заменив jω на рWФ ( р ) = WΦ ( jω ) =2jω + 3=jω → p2.р+3проверка:WФ ( р ) =22224→ WΦ ( jω ) =→ SX ( ω ) =⋅= 2.р+3jω + 3jω + 3 − jω + 3 ω + 93. Передаточная функция общей системы, состоящей из формирующего фильтра иисследуемой системыp 2 + 2 ,6 p + 0 ,2522 p 2 + 5 ,2 p + 0 ,5⋅= 3Φ 0 ( р ) = Φ ХЕ ( р )WФ ( p ) = 2.2p + 10 ,6 p + 2 ,25 р + 3 p + 13 ,6 p + 32 ,85 р + 6 ,754.

Оценка возможности использования метода ИКО (устойчивость, соотношениестепени полиномов числителя и знаменателя). Применение метода возможно.205. Оценка дисперсии ошибки системы методом ИКО:DE =S x ∆B;2 an ∆S x = 1 - интенсивность белого шума;Φ 0 ( р ) = Φ ХЕ ( р )WФ ( p ) =2 p 2 + 5 ,2 p + 0 ,532p + 13 ,6 p + 32 ,85 р + 6 ,75;an = a3 = 1 ;0 6 ,75 − 13 ,6∆ = det  032 ,85 − 1  = 6 ,75 ⋅ 32 ,85 ⋅13 ,6 − 6 ,75 ⋅ 6 ,75 = 3061,19 ;− 6 ,75 13 ,6  0B0 = b02 = 0 ,25 ;B1 = b1 − 2 b0 b2 = 5 ,2 2 − 2 ⋅ 0 ,5 ⋅ 2 = 27 ,04 − 2 = 25 ,04 ;B2 = b2 − 2 b1 b3 + 2b0 b4 = 4 ;6 ,75 − 13 ,6∆B = det  032 ,850 ,25 25 ,040− 1 = 1059 ,37 ;4 DE =1 1059 ,37= 0 ,173 ед2.2 ⋅1 3061,19213 Средняя квадратическая ошибка РСКУСлучайная ошибка управления в установившемся режиме:eΣ (t ) = mЕ (t ) + e 0 (t ).где mЕ (t ) - математическое ожидание;(33)e0 (t ) - центрированная ошибка.Показатель качества функционирования в установившемся режиме - средняяквадратическая ошибка:σ ЕΣ = mЕ2 (t ) + DЕ .(34)где DЕ = σ Е2 - дисперсия стационарной случайной составляющей ошибки e 0 (t ) .Математическое ожидание ошибки mЕ (t ) определяется только регулярными составляющими (математическими ожиданиями) входных сигналов:mЕ (t ) = mXЕ (t ) +N∑ mFEi (t ),(35)i =1где mEX (t ) - составляющая математического ожидания от задающего воздействия;mEFi (t ) - составляющая математического ожидания от возмущающих воздействий(помех).22NДисперсия ошибки управления DЕ = DXE +∑ DFEi .(36)i =1Спектральная плотность суммарной ошибки при статистически независимых (некоррелированных) воздействиях:NSе ( ω ) = S ХЕ ( ω ) +N∑SFEi ( ω ) = SXΦ XE ( jω )Φ XE ( − jω ) + ∑SFi ( ω )Φ FEi ( jω )Φ FEi ( − jω ) .i =1(37)i =1при независимых входных сигналах равна сумме дисперсий от каждого из воздействий вотдельности.Корреляционные характеристики ошибки, например, при воздействии двух некоррелированных входных сигналов (задающего воздействия x(t) и помехи f(t))mЕ ( t ) = m XЕ ( t ) + mFЕ ( t ),(38)K Е ( t1 , t 2 ) = K XE ( t1 , t 2 ) + K FЕ ( t1 , t 2 ) ;(39)DЕ ( t ) = D XЕ ( t ) + DFЕ ( t ).(40)23Для двух коррелированных (статистически зависимых) входных сигналов:K Е ( t1 , t 2 ) = K XЕ ( t1 , t 2 ) + K FЕ ( t1 , t 2 ) + K XFЕ ( t1 , t 2 ) + K FXЕ ( t1 , t 2 ) ;(41)DЕ ( t ) = D XЕ ( t ) + DFЕ ( t ) + D XFЕ ( t ) + DFXЕ ( t ) .(42)Спектральные характеристики ошибки для двух коррелированных входных сигналов:SЕ ( ω ) = S ХЕ ( ω ) + SFЕ ( ω ) + SЕXF ( ω ) + SЕFX ( ω ) =22= S X ( ω ) ⋅ Φ XE ( jω ) + SF ( ω ) ⋅ Φ FE ( jω ) ++ S XF ( ω ) ⋅Φ XE ( jω ) ⋅Φ FE ( − jω ) + SFX ( ω ) ⋅Φ XE ( − jω ) ⋅Φ FE ( jω ) ,(43)где S X ( ω ),SF ( ω ) - спектральные плотности входных сигналов; S XF ( ω ),SFX ( ω ) - взаимныеспектральные плотности входных сигналов; ⋅ Φ XE ( jω ),⋅Φ FE ( jω ) - АФЧХ системы по ошибкам в отношении соответствующих входных сигналов.Дисперсия ошибки: DЕ =1∞SE ( ω )dω .∫π(44)0вероятностные характеристики ошибки описывают свойства стохастических АС.Для их расчета необходимо знать статистические характеристики входных сигналов, а также передаточные функции (частотные характеристики) АС, которые зависят от ее структуры и параметров.244 Эффективная полоса пропускания и флюктуационные ошибки РСКУДисперсия флюктуационной ошибки от задающего воздействия:DХЕ2SХ ( 0 ) K max=⋅ 2πK max∞∫22Φ ХЕ ( jω ) dω = SX ( 0 )K max∆FЭФ ,(46)0DХЕ =DХЕSХ ( 0 )π∞∫2Φ ХЕ ( jω ) dω .(45)02SХ ( 0 ) Kmax=⋅ 2πKmax∞∫ Φ ХЕ ( jω )2dω =02= SX ( 0 )K max∆FЭФ ;(46)где K max - максимальное значение коэффициентаРисунок 4 – К определению дисперсиифлюктуационной ошибки и эффективной полосы пропусканияЭффективная полоса пропускания:передачи;SX ( 0 ) - значение спектральной плотности за-дающего воздействия.∆FЭФ =1∞∫2πKmax02Φ ХЕ ( jω ) dω .(47)25Дисперсия ошибки системы при некоррелированных задающем воздействии ипомехе на входе для следящей системы:DЕ = DXE + DFE =1π=∞∫0122Φ(jω)S(ω)+Φ(jω)S(ω) XE=XFEF∞π∫0Φ (ω)1SX (ω)221 − Φ XY ( jω ) SX ( ω ) + Φ XY ( jω ) SX ( ω )  .Φ XЕ ( jω) = 1 − Φ ХY ( jω)1Φ XЕ (ω)Φ 2XЕ (ω)Φ ( ω)(48)Φ FЕ ( jω) = Φ FY ( jω)Φ 2XY (ω)Φ XY (ω)S F (ω)Φ 2XY (ω)SF (ω)SХ (ω)Φ 2XЕ (ω)0D ХE =∞1SХ (ω)Φ 2XЕ (ω)dω∫2π − ∞ω0D FE =∞1SF (ω)Φ 2XY (ω)dω∫2π −∞ω261) чем шире полоса пропускания системы, тем в большем диапазоне функция АФЧХ22Φ ХЕ ( jω ) будет близкой к нулю, тем меньше будет площадь под кривой SX Φ ХЕ ( jω ) и темменьше будет дисперсия ошибки в отношении задающего воздействия;2) расширение полосы пропускания замкнутой следящей САУ приводит к увеличениюдисперсии ошибки от возмущающего (помехового воздействия) на входе;3) ширина полосы пропускания системы различным образом влияет на величину дисперсий ошибок:Расширение полосы уменьшает дисперсию ошибок от задающего воздействия, ноувеличивает дисперсию от возмущающего (помехового) воздействия, приложенногона входе.27.

Характеристики

Список файлов лекций