Вейцель В.А. Радиосистемы управления (2005) (1151989), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Аналитически уравнения (2.7) удав»си решить лишь для невозмущенного движения, когда К„К = К, О. В этом случае задача определении траектории КА совпадает с кеплеровской аадачей определения орбиты небесных тел (1, 2). Невоэмущенный полет КА происходит в плоскости, проходящей через центр Земли и граничную точку.
В атой плоскости лежит вектор скорости КА т (см. рнс. 2. Ь). Двюкекне КА может быть полностью описано в орбитальной плоскости текущими декартовыми координатами х„к ре или полярными координатами р и (3. В орбитальной декартовой системе координат уравнения (2 7) при незомчущенном движении имеют вид »(»~„41/э»(эу„л(/~ ~и дх Лгз ееу (2.8) Переходи в (2.8) к полярным координатам р и (3 и учитывая (2.6), получаем (2.9э) Р— Рбз+ Д,/Рэ =- 0; — =О. ~(Р О ~й (2.96) Если выключение двигателей происходит в момент г ам то начальными условиями для регпения уравнений (2.9) будут (см. рис. 2.б) Р(1э)=Р р(Г )=ре: Р(гэ) = оэ соч (ч ° 9(1») = "е юп ч,/Рэ. (2 10) где Рэ и Оэ — полнРные кооРдниаты гРаничной точки; оэ — на.
чальная скорость КА; ~, — угол между вектором начальной скорости и местной вертикалью. При запуске КА отсчитывать полнркый угол от направления на перигей неудобно, так как пернгей орбиты еще не определен. Поэтому вводят 8' = )3 — бе и отсчитывают полярный угол от направления на граничную точку(см. рис. 2.б). Для определения характеристик орбиты на решения дифФеренцгюльных уравнений исключим время.
Для урввненнй 70 ° ) это даст одно соотношение„связывающее координаты Р и »2 9» (3'. После соответствующих п)юсб)а зоз " и Ре 1 — саэ 8' зю ((» О') р 2пэмпэ Г, зю ~» (2.11) где ~о4 (м4~( Ре ) (2.12) (2 14) 3» = Жа/Рэ. Если пренебречь высотой граничной точки и считать, что р„= гз = 6271 км, то из (2.14) находим У, = 7910 м/с. Вгяо рал космических скеросжь определяется иэ условия движения по параболе (аз = 1) Еп = Ф»з/Рз. Если Ре =- гэ, то Ъ'и = 3'г/2 = 11 200 м/с. (2.15) Параметр аэ представляет собой отношение кинетической анергяи КА к потанцизльвой в граничной точке.
Решая уравнение (2.11) относительно р, получаем р -р/(1+ е сов (р'+ Оэ)), (2.12) где р = 2пэрз юпэ 9;, еэ = 1 — 2пс + 2аз + (1 — о ) ° 2о соз 2Р„; 389,= Ъзшйб,./(1-оэ(1-с ж:,„)). Выражение (2Л 8) совпадает с канонической формой ааписи конического сечения. Следовательно. орбита КА является коническим сечением с фокальным параметром р, эксцентрнситетом е н фокусом, расположеввь»м в центре Земли.
Размер эксцентриснтета определяет характер конического сечения: при е = 0 будет окружность, при е ч 1 — эллипс, прн е 1— парабола и прн е ь 1 — гипербола. Из о выражения для е получим энергетический крите ий для пределеиия характера орбиты. Находим, что КА будет двигаться: по окружности, если а 1/2.
а Ц„ОО', по вллипсУ, если ос < 13 по параболе, если ае = 1; по гиперболе, если о ь 1. Оп ределим скорость, которую необходимо сообщить КА для движения по окрум»ности, — кереую космическую скоросжь. Иа (2.12) при и .-. 1/2 имеем Кроме первой и второй космических скоростей различают также трежэю иасмичесиую екорасжь Уш, под котоРой понимают минимальную скорость, необходимую КА при старте с поверхности Земли для вывода его зз пределы Солнечной системы.
Зтз скорость находи«ся из рассмотрения движения КА в гравитационном поле Солнца с учетом движения Земли: т;„= 16,7 км/с. Отметим, что при полисе КА в оФере действия Соднцз, Луны или кахой-нибудь планеты уравнение его движения будет аналогичным (2.11). Только в этом случае Фокус кривой будет находиться в центре небесного тела, создающего поле тяготения, з вместо величины зз необходимо подставить грзвитзциоиный параметр этого тела. Сказанное справедливо в рамках задачи «двух тел», когда нз движение КА основное влияние оказывает тяготение одного небесного тела. Но такое рассмотрение оказывается возможным только в первом приближении. При полате ИСЗ, бзллистических ракет и знтирякет определяющим является гравитационное поле Земли, з прн полете межпланетных КА— последовательно гравитационные поля Земли, Солнца и нз заключительном участке — планеты назначения.
В отличие аг этого движение КА, направляемых к Луне, необходимо рассматривать в рамках задачи «трех тел» (Ц, поскольку нз движение КА существенное влияние одновременно оказывает действие грзвитэционньгх полей Земли н Луны. Из всех траекторий КА наиболее интересны эллиптические (в частном случае — круговые) и гиперболические траектории.
По эллиптическим траекториям движутсн искусственные спутники планет, Луны, Солицз, з также баллистические рэкеты. По гиперболическим траекториям происходит движение КА, входящего в сФеру действия поли тяготении небесного тела (Земли, Луны и т. д.) или выходящего нз нее. Рессмотрни подробнее взлиптические траектории КА. Для конкретности остановимся нз траектории ИСЗ. Кзк было показано ранее, траектория любого КА описывается уравнениями (2.7) и при незазмущеином движении полностью онределяется шестью пзрзметрзмн — нзязльнымн условиями в граничной точке.
Зллиптическую трэекторвпо задают теки»е н с помощью других шести величин, которые называют элементами орбижы. Волыпзя полуось а и эксцентриситет е определяют размеры н Форму эллипса в плоскости орбиты, аргумент перигах ю задает ориентацию эллипса в этой плоскости, з наклонение орбиты 1 и долгота восходящего узле П показывают ориентацию плоскости орбиты в геоцентрической системе ко- ~рдииит (см. Рнс. 2.2). Для определения положения ИСЗ Рб ~~ используют время Г щюхождения спутником точки перигея. Равнение дэизкегш ~ ИСЗ (2 12) в орби эльной сиате ордии т можно выразить через элементы орбиты а и е. Тзк кз пзрзь»а»Р Р мегино представить в виде р = а(1 — ез), с учетам р = р' + рэ имеем Р а(1 — ег) Г» е сов Р Г+ е ан ~ (2.16) где полярный угад р нззывзетая ис яи б б Пиз ри эллиптическом движении координаты ИСЗ и з ажзюта "р я в в де ных Функций щ меня.
П дляг нх связи с временем вводят вспомогательные ины." эксцент. Р~~~у»о аномалию Е и среднюю зномзлшо р«которые вы ссатнашенннми (з (г г ) азгз. (2.17з) Š— е з)п Е = р; (2.176) »юз Р -(соэ Š— е)/(1 — е соз Е). (2.17в) При известнгзх величинах а, е и г с помощью (2.16) и (2.17) находит р и Р длн любого момента времени П 2.2.3. Выбор траекторий П ип р одете Р'. Различают попздзющие. номинальные, фактические и расчетные трзектории. Повадаю ими необх сн такие траектории, при двшкении по которым обеспечивается выполнение поставленной задачи.
Номи. валькой (кинемзтической) является од одна иэ попадающих траекторий, выбранная для полета конкретного КА. Если бы управление было абсолютно точным и вае возму ени были ге чесмой является траектории, по которой происходит действительное движение КА.
Расяев«иая трзекто рия устанавливается путем рзачета нз основе данных, полученных контроли фактической траектории. в результате Рассмотрим номинальные траектории различных КА и Факторы, которые принимаются во внимание при их выборе. Остановимся вязчзле нз определении траектории, по которой ие учитывать не- должна лететь баллистическая ракета. Если сивный полет сферичность Земли н ее вращение, то можно можно считать, что пассивны полет ракеты происходит з плоскости„проходящей через граничную точку. центр Земл~ цел ' ' р' ь (см.. 2.6).
Д нжение любого КА на пассивном участке траектории. з том числе н БР, опнсываетсн уравнением (2.11). Поскольку мдуль радиуса-вектора граничной точки рз для таких ракет немногим отличается от значения г, в первом приближении можно пренебречь высотой граничной точки над поверхностью Земли и допустить, что рс = гз. Тогда траектория ракеты б зависеть всего от двух параметров: скорости ос и угл» ~,. улет Для попадания в цель траектория БР должна проходить через точку цели с каординатамн р = р„= гз и а' = а'. дс = г и а' = "„'. Подставляя зтн координаты е уравнение (2.11) н учиты [ . К вая [2.12К а зкже р "- г, получаем соотношение, которому должны удовлетворять параметры 6, н ое.' 1 — ссз Ц мл (ь„— б„') 2а (2.18) Для определении двух неизвестных параметров имеем одно уравнение.
Значит, существует множество совокупностей оз н 4„и соответствующее нм мншкество попздаюпщх траекторий БР, обеспечивающих решение данной задачи. Среди нях нужно выбрать поминальную траекторию. Прн ее выборе должны быть учтены дополнительные факторы, главным нз которых является расход энергии ракетных двигателей.
Среди всех попадающих траекторий имеется такая, которая требует минимальной скорости в момент выключения двигателей, т. е. минимальных затрат знергли. Такая траектория называется оптимальной з энергетическом смысле, з угол (ь .=-. ~е„. при котором она обеспечивается, называпгся оптимальным. Найдем этсм угол. Репин уравнение (2.18) относительно ос: аз 1 — соз б„ гз зшз Ег + з!о БУ вЂ” ~„) з)о Ч, ' Последнее выражение можно рассматривать как функцию ос = Я„). Минимум ее будет прн Г„= Ц„з.
Прнравняв к нулю производную сЬ-, после трнгонометрически щедра асй х щ~ зований получим Ц„- (Ц + х)74. При малых дальностях полета (Ц гС х) оптимальный угол запуска приближается и 46 . С ростом дальности он увеличи- вается, стремясь к 90' прн ))ц = 180". Таким обравом, номинальная траектория БР, выбранная ив соображения минимального расхода знергии ракетных двигателей, описывается уравнением (2.11), в котором ь, = ь „а ос находится из выражения (2.19). В гео центрической зкваторизльной системе координат плоскость траектории БР неподвижна, з все точки земной поверхности, в том числе и место старта, вращаются с угловой скоростью ь)з. За время Твг полета ВР цель переместятся в восточном направлении на расстояние, равное согласно (2.2) 1 = 465 Т соз ф, м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
