Автореферат (1150917), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В литературе при ограниченных, а в остальномпроизвольных помехах активно исследуются методы поисковой стохастической аппроксимации и линейных матричных неравенств. Подраздел 1.1.2 посвящен описанию каксуществующих достижений в области оценивания неизвестных параметров системы наоснове алгоритмов стохастической аппроксимации, так и текущих тенденций в развитииэтих методов. В подразделе 1.1.3 приводятся основные понятия и свойства техники линейных матричных неравенств, описывается задача фильтрации в дискретном случае иприводится теорема об оптимальном фильтре, далее вводится понятие аналитическогоцентра линейного матричного неравенства, на идее которого строится решение задачиоптимизации распределения объектов между наблюдателями во второй главе диссертации.
Подраздел заканчивается обсуждением возможностей применения l1 -оптимизациидля получения субоптимального разреженного решения в сложных переборных задачах. Математическая задача в этом случае сводится к минимизации суммы ненулевыхPкомпонент вектора x 2 R⌫ , определяемого l0 -“нормой”: kxk0 = ⌫i=1 | sign xi |. Посколькуl0 -“норма” невупукла, вместо нее используется векторная l1 -норма:kxk1 =⌫Xi=1|xi |.Минимум l1 -нормы на множестве, образованном выпуклыми ограничениями, также будет являться хорошей аппроксимацией разреженного решения.
В разделе 1.2 описываются особенности построения систем на основе мультиагентного подхода. В разделе 1.3рассматривается пример практического приложения.Во второй главе уточняется постановка задачи оценивания параметров движенияобъектов i 2 M , M = {1, 2, . . . , m} с вектором состояния rit 2 R⌫ в момент времениt группой наблюдетелей j 2 N , N = {1, 2, . . . , n} с вектором состояния sjt 2 Rs , формулируются и доказываются основные результаты диссертационного исследования. Вподразделе 2.1.1 определяется вид функции '(·, ·) модели наблюдений (измерений)j ii,jzi,jt = '(st , rt ) + "t ,9qгде zi,jt 2 R � доступные j-му сенсору в момент времени t зашумленные наблюденияоб i-м объекте, '(·, ·) : Rs ⇥ R⌫ ! Rq – функция наблюдений, отражающая измерения объекта i сенсором j в соответствии с текущими состояниями сенсора и объекта,i,j{"i,jt } � независимые помехи в измерениях с нулевым средним E"t = 0 и ковариациейi,j Ti,jE"i,jt ("t ) = ⌃t .Считается, что существует обратная функция по второму аргументу ' 1 (sjt , ·) : Rq !R⌫ такая, что для любых i 2 M , j 2 N и независимых центрированных "i,jt с ковариаi,jциями ⌃ti,ji' 1 (sjt , '(sjt , rit ) + "i,jt ) = rt + ⇠ t ,i,jгде ⇠ i,jt � независимые с нулевым средним E⇠ t = 0, ограниченным четвертым моменi,ji,j Ti,j4том Ek⇠ i,jt k M4 и ковариацией E⇠ t (⇠ t ) = ⌅t .
Кроме того, предполагается известным, что с некоторой вероятностью p средние значения следов T r[⌅i,jt ] (сумм диагоi,jнальных элементов матриц ⌅t ) меньше некоторого порогового значения (¯min )2 > 0, аих средние значения при условии превышения пороговых значений (¯min )2 равны (¯ti,j )2 .Далее в подразделе 2.1.2 формулируется задача оптимизации нестационарного функционала среднего риска, которая распространяется на случай распределенной оптимизации в подразделе 2.1.3. Пусть задано вероятностное пространство (⌦, F, P) с множеством элементарных событий ⌦, -алгеброй событий F и вероятностной мерой P, W� некоторые множество (например, W = N или W ⇢ Rp ). Рассматривается семействодифференцируемых функций {f¯w (✓)}w2W , f¯w (✓) : Rd ! R. Пусть x1 , x2 , .
. . � последовательность точек наблюдения (измерения), выбираемая экспериментатором (план наблюдений), в которых в каждый момент времени t = 1, 2, . . . доступны наблюдению значения y1 , y2 , . . . функций f¯w (·) с аддитивными внешними помехами vt : yt = f¯wt (xt ) + vt ,где {wt } � неконтролируемая последовательность, wt 2 W.Обозначим Ft 1 -алгебру вероятностных событий, порожденных теми величинамииз w0 , . . . , wt 1 , x0 , . . . , xt 1 , v0 , . . . , vt 1 , которые случайные, EFt 1 � символ условногоматематического ожидания по отношению к -алгебре Ft 1 , ✓ t = col(r1t , . . . , rmt ) общийiвектор состояний всех объектов.
Пусть brt – оценка состояния объекта i в момент времениt, ✓bt = col(br1t , . . . , brmt ) � совокупный общий вектор оценок. В достаточно общем случаезадача об оценивании неизвестных состояний объектов может быть сформулированакак задача о минимизации функционала1X iF̄t (✓bt ) = EFt 1 f¯wt (✓) =kr2 i2M tbrit k2 ! min✓bt(1)PPi,jK1 jbпри наблюдениях yt = 2nrit k2 /( ti,j )2 , где K = p (¯min )2 + (1j2Ni2M k' (st , zt )Pp ) j2N (¯ti,j )2 , ( ti,j )2 = max{T r[⌅i,jt ]} и соответствующие слагаемые в сумме предпоi,j 2лагаются равными нулю, если ( t ) = 1, k · k � евклидова норма вектора.10В подраделе 2.1.3 приводятся ограничения на функционирование сети наблюдатеi,jлей. Вводится матрица смежности Bt = [bi,jt ], где bt > 0, если сенсор j наблюдает заj,kобъектом i, и bi,jt = 0 � в противном случае, и матрица взаимодействия Ct = [ct ], гдеcj,k> 0, если сенсор j может обмениваться данными с сенсором k 2 N , и cj,k= 0 �ttjj,kв противном случае. Пусть Nt = {j : ct > 0} ⇢ N � множество “соседей” сенсора jи |Ntj | � количество “соседей” у сенсора j, Mtj ⇢ M � множество целей сенсора j, закоторыми он или сам наблюдает в момент времени t, или о которых он может получитьданные от своих соседей.
С учетом введенных обознаений, ограничения для сенсора jпримут вид|Ntj | njmax , |Mtj | mjmax .(2)В подразделе 2.1.4 вводится понятие доверительного эллипсоида и рассматриваютсяего свойства применительно к решаемой задаче, формулируется функционал качества,учитывающий введенные ограничения на функционирование сети. При задании уровнядостоверности p доверительный эллипсоид, содержащий истинное значение параметрас вероятностью p, вокруг точки результата наблюдения ⌘ i,j = ' 1 (sjt , zi,jt ) задается формулой:1 iE i,j = {ri : (ri ⌘ i,j )T (⌅i,j⌘ i,j ) 2p,d },t ) (rгде2p,d� p-квантиль распределения2с d степенями свободы.Л е м м а 1.
Пусть имеется n эллипсоидов {E 1 , . . . , E n }, каждый из которых является доверительным эллипсоидом с уровнем достоверности p, тогда множествопересечения этих эллипсоидов с вероятностью не менее чем 1 (n + 1)p содержитвектор истинного значения параметров.В соответствии с Леммой 1 если за объектом i наблюдает n сенсоров, то вектор истинного значения параметров с вероятностью не менее чем 1 (n + 1)p принадлежитмножеству пересечения эллипсоидов {E i,1 , .
. . , E i,n }. В работе считается, что множествоnTпересечения возможно аппроксимировать эллипсоидом E i : E i ◆E i,j . Приведенныеj=1рассуждения показывают целесообразность замены задачи о минимизации суммы (1)на задачу о минимизации суммы объемов эллипсоидов, содержащих множества пересечений. С учетом введенных обозначений задача о минимизации суммы объемов эллипсоидов Ê = {E 1 , . . . , E m }, содержащих множества пересечений, записывается в следующемвиде:X p(Ê) =c⌫ det P i ! min,(3)Êi2Mгде c⌫ � объем единичного шара в ⌫-мерном пространстве, P 2 R⌫⇥⌫ , P = RRT �матрица эллипсоида, det � определитель матрицы.11Далее вводится матрица распределения ресурсов Gt = [gti,j ], где gti,j > 0, если сенсор j участвует в формировании оценки для i-го объекта, и gti,j = 0 � в противномслучае.
Пусть Gi,·t � i-ая строка матрицы Gt (множество сенсоров, оценивающих траекторию объекта i) и G·,jt � j-ый столбец матрицы Gt (множество объектов, назначенных сенсору j). Необходимо найти такую матрицу Gt , распределяющую сенсоры междуобъектами слежения, которая минимизирует функционал (3) и число используемых дляслежения сенсоров путем сокращения числа ненулевых компонент в матрице Gt . Вместозадачи (3) рассмотрим функционал качества¯ (Gt ) = (Ê) + {1Xi2MkGi,·t k1 + { 2Xj2NkG·,jt k1 ! min,Gt(4)полученный с помощью `1 –регуляризации с коэффициентами регуляризации {1 и {2 .При этом для каждого эллипсоида E i 2 Ê производится учет только тех эллипсоидовE i,j , для которых gti,j > 0.Раздел 2.2 посвящен решению задачи оптимизации (4) с применением техники лиTнейных матричных неравенств. Пусть x̃t = (x1t , .
. . , xmt ) , тогда задача (4) принимаетвид(5)x̃t =argminFt1 (x1t )>0,...,Ftm (xmt )>0, Gtпри LMI-ограничениях8i gti,1"0, . . . , qti,n0,#i,1 1i,1(R)(xx)tt8i Fti (xit ) = diag gti,1,...1(x1"#!i,n 1i,nI(Rt ) (x xt ). . . , gti,n> 0,i,n Ti,n 1(x xt ) (Rt )1XX i,·X ·,jlog det Fti (xit ) 1 + {1kGt k1 + {2kGt k1 .i2MIi,1 Txt ) (Rti,1 )i2M(6)j2NРешение задачи (5) при LMI-ограничениях вида (6) дает эллипсоиды E 1 , . .
. , E m максимального объема, каждый из которых вписан в пересечение. В разделе 2.2 приведенаоценка, показывающая, что эллипсоид E i , увеличенный в it раз полностью покрываетitTмножество пересеченияE i,j . Обозначим увеличенные в it раз эллипсоиды через Ēti .j=1Далее формулируется следующая теорема.Т е о р е м а 1. Пусть задача (5) при LMI-ограничениях вида (6) разрешима, функционал (5) принимает оптимальное значение при G⇤t и количество наблюдателей,12назначенных для объекта i, равноnit = kGi,·t k0 .Если матрица G⇤t удовлетворяет ограничениям (2), тогда векторы истинных значений параметров rit с вероятностями не менее 1 (nit + 1)p принадлежат эллипсоидaмĒti и получающееся при этом значение функционала (5) не более чем в t = maxi (it )⌫раз превышает минимально возможное значение, т. е.
субоптимально с уровнем субоптимальности t .bt } предлагается моВ разделе 2.3 для построения точек наблюдений {xt } и оценок {✓дификация поискового алгоритма стохастической аппроксимации с постоянным размером шага и линейными ограничениями на основе циклического подхода. Временнáя осьразбивается на последовательность циклов длиной 2k: 2(T 1)k+1, 2(T 1)k+2, . . . , 2T k,и на каждом из циклов множество индексов D = {1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
