Автореферат (1150803), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В случаематериальной точки из первой главы для задания положения достаточно координат x0 , y0 , z0 .Если точка определяется вектором ρ в подвижной системе координат,связанной с платформой, то в неподвижной системе она будет задаваться6D5D6A5ζA6B2B3OB3ηyB1zA3ξA4O′A2D4xD3B2A3B1A1A2 D1D2A1(a) Платформа на шести стержнях переменной (b) Платформа на шести кривошипно-шатунныхдлины.опорах.Рис.
3: Кинематические схемы платформ с шестью степенями свободы.векторомr = r 0 + Kρ.(1)Здесь r 0 есть радиус-вектор точки O – начала подвижной системы координат, K – матрица поворота подвижной системы координат относительно неподвижной:K −1 = K T , det K = 1,c2 c3−c2 s3s2K = c1 s3 + c3 s2 s1 s3 c1 − s2 s3 s1 −c2 s1 ,s1 s3 − c1 s2 c3 c1 s2 s3 + c1 s3 c2 c1(2)ci = cos ψi , si = sin ψi , i = 1, 3.С помощью (1) можно найти радиус-векторы r ib точек Bi креплениякаждого стержня к верхней платформы. Тогда длины стержней вычисляютсяпо формулам√( i)T ( i)li =rb − rairb − rai .(3)Здесь rai - радиус-векторы точек Ai крепления штоков к неподвижнойплатформе основания, индекс i меняется от 1 до 3 для трехножной платформы и от 1 до 6 для шестиножной.С помощью этих уравнений можно по заданным длинам штоков найтиположение платформы и наоборот.7Для записи уравнений динамики выберем в качестве первых трех обобщенных координат q1 , q2 , q3 – координаты точки O, являющейся центром платформы, в неподвижной системе координат.
Пусть обобщенные координатыq4 , q5 , q6 будут соответствовать углам поворота осей подвижной системы координат относительно неподвижной. Для трехножной платформы достаточновыбрать в качестве независимых любые три координаты qi , остальные будутоднозначно выражаться через них. Не умаляя общности рассмотрим далееметодику решения задачи исследования устойчивости положения равновесиядля шестиножной платформы на стержнях переменной длины. В диссертации уравнения динамики для рассматриваемых систем составляются в видесистемы уравнений Лагранжа второго рода:()∂Td ∂T−= Qk ,k = 1, 6,(4)dt ∂ q̇k∂qkQk – обобщенные силы; T – кинетическая энергия.В работе приводится аналитическое решение прямой задачи динамикии численное – для обратной.
Прямая задача заключается в нахождении сил вштоках, обеспечивающих заданное движение. Обратная задача заключаетсяв нахождении движения платформы по заданным силам.Для модификаций платформ из первой, второй и третьей глав исследуется вопрос устойчивости положения равновесия. Рассмотрим горизонтальное положение равновесия. Пусть Fj – силы в штоках, обеспечивающие положение равновесия. Любые малые отклонения от заданного положения приводят к неограниченно возрастающим отклонениям по обобщенным координатам. Положение равновесия оказывается неустойчивым по Ляпунову.
Нарис. 4 показаны графики изменения координат центра платформы при маломотклонении от горизонтального положения равновесия платформы с шестьюштоками. Аналогичная неустойчивость положения равновесия наблюдаетсяу всех рассматриваемых в диссертации платформ.На рис.
5 показаны графики изменения углов Брайнта платформы прималом отклонении от горизонтального положения равновесия платформы.В диссертации подробнее исследовано поведение системы в окрестности горизонтального положения равновесияq3 = h, q1 = q2 = q4 = q5 = q6 = 0(5)Пусть Fi∗ - значения сил, действующих на платформу со стороны штоков,удерживающих механизм в указанном горизонтальном положении. Вводятся8(a) Отклонение центра по оси O′ x(b) Отклонение центра по оси O′ y(c) Отклонение центра по оси O′ zРис.
4: Неустойчивость центра платформы.малые приращения координат ∆qk , а также дополнительные малые управляющие силы ∆Fi . В случае шестиножной платформы имет:q3 = h + ∆q3 , qk = ∆qk , при k = 1, 2, 4, 5, 6; Fi = Fi∗ + ∆Fi .9(6)(a) Вращение платформы вокруг оси O′ x(b) Вращение платформы вокруг оси O′ y(c) Вращение платформы вокруг оси O′ zРис.
5: Неустойчивость платформы по углам Брайнта.Были введены безразмерные управляющие силыuk =∆Fk,Fk∗k = 1, 6.(7)Тогда из уравнений Лагранжа (4) получаем уравнения первого приближения, которые будут иметь следующий вид:q̈ = Hq + Gu10(8)Здесь H и G – постоянные матрицы размера 6 × 6,u = (u1 , . . . , u6 ).Эти уравнения с незначительными изменениями также верны и для случаятрехножной платформы.Это означает, что для обеспечения устойчивого стационарного положения (5) платформы необходимо дополнительное управляющее воздействие.После записи системы в форме Коши получаем:ż = Az + Bu,z = (q1 , q˙1 , q2 , q˙2 , . .
. , q6 , q˙6 ).(9)Управление построим в виде линейных обратных связей:u = Kz.(10)Здесь K = ∥kij ∥(6,12) – постоянная матрица, подлежащая определению. Коэффициенты матрицы обратной связи были выбраны таким образом, чтобы система разбилась на 6 независимых подсистем, каждая из которых была исследована на устойчивость. Подставив (10) в (9), получаем замкнутую систему:ż = (A + BK)z = Cz,(11)Ввиду свободы выбора коэффициентов матрицы K можно добиться того, чтоматрица C станет блочно-диагональной. Таким образом, система уравненийрасщепляется на несколько подсистем относительно каждой из обобщенныхкоординат.
Для каждой из этих подсистем возможно подобрать оставшиеся независимые коэффициенты матрицы K так, чтобы характреистическиеуравнения этих подсистем имели бы корни с отрицательными вещественными частями. В этом случае по теореме Ляпунова положение равновесия дляисходной системы уравнений Лагранжа второго рода будет ассимптотическиустойчивым.
На рис. 6 показаны графики обобщенных координат платформыв случае обратных связей, обеспечивающих ассимптотичесую устойчивостьплатформы.Заключение содержит основные результаты работы.Первое приложение описывает созданную программу для персонального компьютера, которая позволяет решить прямую и обратную задачикинематики для платформ из глав 3 и 4. Программа является Windows приложением и использует графическую библиотеку OpenGL для визуализациирешения в режиме анимации. В программе можно задать закон изменинияобобщенных или декартовых координат, в виде функций, зависящих от времени. При этом пользователь программы может самостоятельно задавать выражения для этих функций, используя элементарные функции.
При написании11(a) Отклонение центра по оси O′ x(b) Отклонение центра по оси O′ y(c) Отклонение центра по оси O′ z(d) Вращение платформы вокруг оси O′ x(e) Вращение платформы вокруг оси O′ y(f) Вращение платформы вокруг оси O′ zРис. 6: Ассимптотическая устойчивость положения равновесия платформы.12программы использовался код на языке С++, который был сгенерирован впрограмме символьных вычислений Maple на основе полученных формул кинематики.Второе приложение содержит описание созданной в рамках проводимых исследований электромеханическую модель платформы Стюарта нашести кривошипно-шатунных опорах.
Модель получает команды управлениячерез USB интерфейс персонального компьютера, которые создаются с помощью программы, описанной в первом приложении. При этом управляющиекоманды, посылаемые на сервоконтроллер, приводят платформу в положение, идентичное с визуально демонстрируемым в окне программы.В третьем приложении приводится исторический обзор, посвященный истории создания платформы Стюарта. Гью был первым, кто изобрел ипостроил восьмигранную шестиножку. Однако Клаусс Каппель позже и независимо от работы Гью изобрел подобный механизм, запатентовал его, выдаллицензию первой компании по изготовлению авиаимитаторов и создал первый коммерческий шестиножный имитационный стенд.
И, наконец, Стюарт,неумышленно, заново предложил миру данную конструкцию для использования в качестве, опять же, имитатора, при этом создав научную публикацию.При этом известно, что не восьмигранные шестиножные стенды существовали задолго до шестиножной платформы Гью.ПубликацииОсновные результаты работы отражены в семи ниже приведенных публикациях. В публикациях 3, 4 и 6 Б.В.Трифоненко принадлежит постановказадач, при этом С.М.Зуев в работе 3 составил специальную форму уравненийплатформы телескопа, в работе 4 провел исследование устойчивости горизонтального положения равновесия платформы с тремя степенями свободы,в работе 6 найдены обратные связи, обеспечивающие стабилизацию положения равновесия платформы Стюарта с тремя опорными штоками. Основныерезультаты диссертации были опубликованы в жарнале, рекомендованномВАК’ом:1. Зуев С.М.
Стабилизация положения равновесия платформы Стюарта с тремя степенями свободы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2013. Серия 1. Вып.№ 4. С. 84–92.2. Зуев С.М. Стабилизация положения равновесия материальной точки на трех кривошипно-шатунных опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2014.Cерия 1. Вып. № 1. С. 101–109.13Другие науные работы:3. Зуев С.М., Трифоненко Б.В.
Применение специальной формы уравненийЛагранжа к несущей платформе телескопа // Международный конгресс, посвященный 150-летию академика А.М.Ляпунова “Нелинейный динамическийанализ-2007”. Изд-во СПбГУ. 2007. С. 280.4. Зуев С.М., Трифоненко Б.В. Устойчивость платформы Стюарта стремя степенями свободы // Четвертые Поляховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург,7-10 февраля 2006 г. СПб.: Изд-во “ВВМ”. 2006. С.55.5.
Зуев С.М. Определение управляющих сил, перемещающих поступательно платформу Стюарта с шестью степенями свободы по заданномузакону // Восьмые Окуневские чтения. 2013. С. 162-164.6. Зуев С.М., Трифоненко Б.В. К вопросу об устойчивости платформы Стюарта с тремя опорными штоками // Фундаментальные и прикладныепроблемы науки. Том 3. Материалы VIII Международного симпозиума. М.:РАН. 2013. С. 93-103.7. Zuev S.M.
Kinematic and dynamic equations of Stewart Platform withcrank gears // 11 Magdeburger maschinenbau-tage 2013. C6-2.pdf.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
