Диссертация (1150736), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Введем нормированное решение ¯ = (, ) = /0 . Таким образом, ¯ = 0, при=00 ≤ ≤ .121Составим матрицы⎛1 1,1 2,2⎜⎜0 1 2,1⎜⎜ = ⎜0 01⎜. ...⎜ .. ...⎝0 00·········...···,⎛⎞0⎜⎜0⎜⎜ = ⎜0⎜.⎜ ..⎝0⎟,−1 ⎟⎟⎟,−2 ⎟ ,.. ⎟. ⎟⎠10⎞0 ···01 0···0 2.. ... .···...0···0⎟0⎟⎟⎟0 ⎟... ⎟.⎟⎠Тогда по свойствам уравнения Юла–Уокера * = .Для каждого решения уравнения Юла–Уокера порядка +1 определиммногочлен степени () = 1 + ,1 + · · · + , ≥ 0,и многочлен в обратных степенях̃︀ () = + ,−1 + · · · + 1 −1 + , ≥ 0.По элементам первого столбца тёплицевой матрицы определим функцию, имеющую смысл спектральной плотности() = 1 + 1 ( + −1 ) + 2 ( 2 + −2 ) + · · · .В этих обозначениях уравнение Юла–Уокера можно записать в виде∫︁() () − () = 0,0 ≤ ≤ − 1,||=1где () = /(2) — нормированная мера Лебега на единичной окружности.Поскольку многочлен имеет степень не больше, чем , то∫︁()̃︀ ()(̃︀ ())* () = 0,∀ ̸= ,||=1что можно интерпретировать как ортогональность многочленов в квазиметрике, порожденной ядром (·).
Норма многочлена равна∫︁∫︁2()|̃︀ ()| () =()| ()|2 () = .||=1||=1122Определение 14 Многочлен () называется многочленом Сегё порядка для тёплицевой матрицы .Многочлены Сегё обладают следующими свойствами:1. Ортогональность в метрике, порожденной функцией (·):∫︁()̃︀ ()(̃︀ ())* () = , ,, = 0, 1, . . . ,||=1где , — символ Кронекера.2. Факторизация обратной матрицы. Столбцы коэффициентов многочленовСегё порождают верхнетреугольную матрицу с единицами на главнойдиагонали, которая факторизует по Холецкому обратную матрицу: −1 = −1 * ,где матрица = diag{0 , 1 , . .
.} диагональная.3. Рекуррентные формулы.)︃)︃ (︃)︃ (︃(︃−1 ()1 (),=̃︀−1 () ̃︀ () = 1, 2, . . .с начальными данными(︃)︃ (︃ )︃0 ()1.=1̃︀0 ()Величины определяются из уравнений(︃)︃−1∑︁1 = − +− −1, ,−1=12 = −1 (1 − | | ).4. Величины явно выражаются через коэффициенты :∏︁ =(1 − | |2 ).=1Определение 15 Величины называется коэффициентами отражения, авеличины — остаточными дисперсиями для последовательности ( )∞=0 .1234.2.2Проблема коэффициентов ШураФункцией Шура называется аналитическая в открытом единичном кругеD = { : || < 1 } функция, принимающая значения в замкнутом круге D̄. Шуром была поставлена и решена следующая задача (проблема коэффициентовдля ограниченных аналитических функций): при заданном наборе комплексных чисел = (0 , 1 , .
. . , −1 ) требуется выяснить, существует ли функцияШура, у которой набор первых коэффициентов Тейлора совпадает с заданнымнабором .Решение основано на свойствах дробно–линейного преобразования Мёбиуса+,1 + *где ∈ D — заданное число. Здесь и далее * обозначает число, комплексно → () =сопряжённое к .Преобразование Мёбиуса инвариантно на множестве функций Шура: если — функция Шура, то () — тоже функция Шура, и наоборот. Преобразование имеет обратное−,1 − *которое также является преобразованием Мёбиуса.−1 () =Пусть — функция Шура.
Определим 0 = и затем по индукции1 = −1 (0), () = (−1(−1 ))(), = 1, 2, . . .Очевидно, что — функция Шура при всех . Если при некотором = функция есть константа, модуль которой равен 1, то дальнейшие преобразования не применяются. Такое возможно только в случае, когда естьпроизведение Бляшке порядка . Для всех остальных функций Шура | | < 1при всех . Числа называются параметрами Шура функции .Обратное преобразование определяется формулой−1 () = + (),1 + * ()|| < 1.Поскольку | | < 1 и | ()| ≤ 1, то в круге D сходится ряд Тейлора−1 () = ( + ())∞∑︁(−* ()) = + (1 − | |2 ) () + · · · ,=0124каждое слагаемое которого есть многочлен от и (). Отсюда по индукцииследует, что первые коэффициентов Тейлора ( )−1=0 функции не зависятот и полностью определяются параметрами Шура ( )=1 .
И наоборот, привсех ≥ 1 число определяется полностью набором коэффициентов Тейлора(0 , . . . , −1 ).Таким образом, условие | | ≤ 1 при 1 ≤ ≤ необходимо и достаточно для разрешимости поставленной проблемы коэффициентов. Пусть оновыполнено.Подставляя вместо функции −1 ее выражение через при = 1, 2, .
. . , ,получим, что для любого > 0() = () + ̃︀ () (), () + ̃︀ () ()где , — многочлены степени не выше − 1 и многочлены ̃︀ , ̃︀ , как ивыше, записаны в обратных степенях:̃︀ () = ( −1 ),̃︀ () = ( −1 ).Поскольку() = () + ̃︀ () () −1 () + ̃︀−1 ()−1 ()=, () + ̃︀ () () −1 () + ̃︀−1 ()−1 () + (),1 + * ()то эти многочлены удовлетворяют рекуррентному уравнению(︃)︃ (︃)︃ (︃)︃ 1 −1 −1=̃︀ ̃︀ * ̃︀−1 ̃︀−1−1 () =с начальными данными(︃)︃ (︃)︃0 01 0=.̃︀0 ̃︀00 1Теорема 13 Для того, чтобы проблема коэффициентов для набора чисел( )−1=0 была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы все параметрыШура ( )=1 многочлена () = 0 + 1 + · · · + −1 −1 были не больше 1.125Пусть это условие выполнено.
Тогда существуют такая пара многочленов ( , ) степени не выше − 1, что множество всех решений проблемыкоэффициентов совпадает с множеством функций вида() = () + ̃︀ () (), () + ̃︀ () ()где (·) — произвольная функция Шура, () = ( −1 ), () = ( −1 ).Определения.1. Многочлены , называются многочленами Шура. Они полностьюопределяются параметрами Шура при 1 ≤ ≤ либо первыми коэффициентами Тейлора функции .2. Пусть — функция Шура и ( , ) — ее многочлены Шура порядка ,() = () + ̃︀ () (). () + ̃︀ () ()Тогда функция называется –ым остаточным членом функции , а дробь = / — –ой аппроксимацией функции .Из равенства определителей в рекуррентном уравнении следует, что ()̃︀ () − ()̃︀ () = ,∏︁ =(1 − | |2 ).=1Это равенство можно также переписать в виде () ( −1 ) − () ( −1 ) = .Независимость первых коэффициентов Тейлора функции от ее остаточного члена непосредственно следует из формулы() − ( )() =4.2.3 ().̃︀ ()( () + () ())Спектральные плотности и функции ШураПусть ( )∞=0 — корреляционная функция некоторого стационарного регулярного случайного процесса.
Спектральная плотность этого процесса ()126определяется как аналитическое продолжение с единичной окружности функции() = 0 + 1 + ¯1 −1 + 2 2 + ¯2 −2 + · · ·Очевидно, что если || = 1, то () — вещественное число, которое неотрицательно по свойствам корреляционной функции.Лемма 13 Пусть ( )∞=0 — последовательность комплексных чисел и число 0вещественное положительное. Пусть в замкнутом единичном круге сходитсяряд() = 0 + 1 + 2 2 + · · ·Тогда для того, чтобы функция() = 0 + 1 + ¯1 −1 + 2 2 + ¯2 −2 + · · · = 2 Re () − 0была неотрицательно определена на единичной окружности, необходимо идостаточно, чтобы функция() = 1 −0()была функцией Шура.Доказательство. Если — функция Шура, то () ̸= 0 в замкнутом единичном круге D̄.
Наоборот, если () ≥ 0 при || = 1, то множество значенийфункции () при || = 1 имеет вещественную часть не меньше 0 /2 > 0. Попринципу максимума аналитическая в единичном круге функция принимаетзначения в выпуклой оболочке значений на единичной окружности.
ПоэтомуRe () ≥ 0 /2 > 0 при || ≤ 1.Далее воспользуемся следующим простым утверждением: если — комплексное число и > 0 — вещественное число, то утверждения Re ≥ 0 и| − | ≤ | + | равносильны. Выберем = 0 и = 2() − 0 при || ≤ 1.Тогда неравенство Re = () ≥ 0 равносильно неравенству⃒⃒ ⃒⃒⃒ 2() − 20 ⃒ ⃒⃒0⃒ = ⃒1 −⃒ = |()|,1 ≥ ⃒⃒⃒⃒2()() ⃒что означает, что — функция Шура.127Лемма 14 Пусть функция () аналитична в нуле. Тогда функции () и() могут быть функциями Шура только одновременно.Доказательство. Очевидно, что если () — функция Шура, то и ()функция Шура, так как |()| ≤ |()| ≤ 1 при || ≤ 1.Наоборот, пусть () = () есть функция Шура. Тогда функция () =()/ аналитична в единичном круге. Следовательно, |()| на единичномкруге достигает максимума на границе, где || = 1 и, следовательно, |()| =|()| ≤ 1.Таким образом, если ( )∞=0 — корреляционная функция некоторого стационарного случайного процесса, то расчёт параметров Шура можно выполнитьдля функции() =4.2.41 + 2 + · · ·.0 + 1 + 2 2 + · · ·Связь многочленов Сегё и ШураТеорема 14 Пусть последовательность вещественных чисел ( )∞=−∞ положительная, т.е.
= − при всех и функция() =∞∑︁ =−∞корректно определена и неотрицательна на единичной окружности, || = 1.По последовательности ( )∞=0 построим тёплицевы матрицы и дляних определим многочлены Сегё () и последовательность коэффициентовотражения ( )∞=1 .Тогда функция1 + 2 + . . .1 + 1 + 2 2 + . . .является функцией Шура, а соответствующая ей последовательность пар() = −многочленов Шура ( (), ())∞=0 и последовательность параметров Шура () удовлетворяют уравнениям () = () + (),при всех ≥ 0.128 = .Доказательство. Проведём индукцию по .
По определению, 0 () = 1,0 () = 1, 0 () = 0. Кроме того,1 = (0) = −1 ,1 = −1 .Отсюда 0 () = 0 () + 0 () и 1 = 1 , что составляет утверждение при = 0.Пусть утверждение доказано для −1, т. е. = .−1 () = −1 () + −1 (),Докажем это утверждение для .Из рекуррентного уравнения () = −1 () + ̃︀−1 (), () = −1 () + ̃︀−1 ()следует, что () + () = −1 () + −1 () + (̃︀−1 () + ̃︀−1 ())= −1 () + ̃︀−1 () = −1 () + ̃︀−1 () = (),где замены были выполнены по индукционному предположению. Это доказывает первое утверждение: () + () = ().Для доказательства второго свойства +1= +1применим доказаннуювыше формулу () ()() −= , () ()( () + ̃︀ () ())∏︁ =(1 − | |2 ),=1где () — остаточный член Шура порядка .Введём обозначение() = 1 + 2 + .
. . ,так что () = −()/(1 + ()). Умножим предыдущее уравнение на ()(1 + ()):−() () − (1 + ()) () = 129(1 + ()) (). () + ̃︀ () ()Запишем это равенство в виде()( () + ()) + () = − (1 + ()) (). () + ̃︀ () ()По доказанному свойству преобразуем левую часть:() () + () = − (1 + ()) (). () + ̃︀ () ()Функция в правой части раскладывается в ряд Тейлора в замкнутом единичном круге. Члены ряда до степени −1 равны нулю, а коэффициент при равен− (0)= − +1, (0) + ̃︀ (0) (0)так как (0) = 1, ̃︀ (0) = 0.В левой части степень многочлена () не больше −1, поэтому коэффициент при равен+1 +∑︁+1− , = − +1,=1где введены обозначения для коэффициентов () и остаточной дисперсии : () = 1 + ,1 + · · · + , ,∏︁ =(1 − | |2 )=1и подставлено определение коэффициента отражения(︃)︃∑︁1+1=−+1 ++1− , .=1Приравнивая коэффициенты при , получаем требуемое утверждение+1= +1, что завершает доказательство индукционного шага.Следствие 5 В условиях леммы 14 определители матриц, состоящих из многочленов Шура, совпадают с остаточными дисперсиями в уравнении Юла–Уокера:(︃)︃̃︀∏︁ () () = =(1 − | |2 ) = − det.()̃︀()=11304.3Быстрый алгоритм ШураВ этом разделе формулируется быстрый алгоритм расчёта коэффициентовмногочлена Шура.
Общая идея алгоритма была изложена в [9]. Для оптимизации объёма вычислений и памяти этот алгоритм представлен в виде рекуррентного расчёта на бинарном дереве. Сформулированы и доказаны все вспомогательные утверждения, при помощи которых далее рассчитывается сложность.4.3.1Транзитивность многочленов ШураБыстрый алгоритм основан на следующем наблюдении. Пусть 0 = —исходная функция Шура, > 0 и есть –ый остаточный член функции 0 .∞Тогда параметры Шура (0, )∞=0 для функции 0 и параметры Шура (, )=0функции Шура связаны равенством 0,+ = , при всех ≥ 0. Действительно, параметры 0,+ по определению вычисляются непосредственно какпараметры Шура , для функции .Следствием этого наблюдения является следующее утверждение. Для любых неотрицательных чисел < многочлены Шура порядка − для–го остаточного члена функции обозначим ((,) , (,) ). Свяжем сними матрицу(︃(,) =(,) , ̃︀(,)(,) , ̃︀(,))︃.Степень многочленов (,) и (,) не выше −−1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
