Автореферат (1150442), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При этом учтена зависимость сечения резонанснойперезарядки от энергии относительного движения, а дифференциальное сечениеупругого рассеяния считалось изотропным в системе центра масс. Решалось стационарное уравнение Больцмана в присутствии постоянного, не зависящего откоординаты электрического поля и в отсутствии диффузии:++∫︁∫︁→−− →→−→−→−−→−−−′ →▽ ( ) = ; = + ; ( ) = { ( ) ( ) − ( ) (→ ′ )→ ′ };(1)9−− (→ ,→ ) = ∫︁− ( (′ )) (′ ) (→ ′−−−−−→→ ; → ) (→ ) (→ ′ )→ ′ −∫︁− ( ( )) ( ) (→→′−−− (′ ) → 2 2 − 2 →−−−−−→−−−−−−− ; → ) = ′ → → −→ ′ |. ′ ; → ) (→ ) (→ )→ ′ ; (→( → − − ); = → −→ ′ ; = |→222Здесь - ФРИ; - функция распределения атомов, которая считалась максвеллов−−−ской; (→ ′ → → ; → ) - индикатриса рассеяния иона на атоме, соответствующая изотропному в системе центра масс рас−−−сеянию; → , → ′ , → - скоростииона до и после упругого столкновения с атомом и скоростьатома, соответственно; , Рис.
7 — Зависимость приведенной подвижности иона в от полные сечения упругого рассепараметра / , = 300 .[23; 27]яния и резонансной перезарядки, соответственно, зависящие от относительной скорости движения иона и атома; ( ) - относительная скорость иона и атома; - концентрация атомов; () дельта - функция Дирака. Сначала решалась задача при отсутствии упругогорассеяния. Затем, методом последовательных приближений учитывалось упругоерассеяние. Было показано, что первое приближение практически совпадает совторым. Решение для постоянного сечения перезарядки имеет вид:+22 (,);(2)∫︀ ∞ ∫︀ 12 0 ∫︁−1 (,)∞ (,) = [−2 (1 − 2 ) − 20 (,)]2exp[− 2 − 20 1 (,,)](,,)+0∫︁ 222exp[− (1 − ) − 20 (,)]exp[− 2 + 20 1 (,,)](,,) при ≥ 0;0∫︁ ∞222 (,) = exp[− (1 − ) − 20 (,)]exp[− 2 − 20 1 (,,)](,,) при < 0;−∫︁ √︀2222 0.5(,) ={[ + (1 − )] + √ exp[− 2 + 2 (1 − 2 )][1 + 0.5[ 2 + 2 (1 − 2 )]1.25 ]};0∫︁√︀21 (,,) ={[ 2 + 2 (1 − 2 )]0.5 + √ exp[− 2 + 2 (1 − 2 )][1 + 0.5[ 2 + 2 (1 − 2 )]1.25 ]};0√︀2222√︀√︀ + (1 − ) + 1exp(−2 )√√(,,) =; ( ) = ( +; = ;) ( ) +2[︃]︃−1 ∫︁ В1.2( см )122√=;()=− .; 0 =2 (Тор)(10−15 см2 ) 0 (,) =Для ФРИ по энергиям (эВ) и направлениямдвижения в случае сильного√поля, когда выполняетсясоотношение 0 ≪ 1 можно получить:√ =√︀1.16 · 104 0 √︀√( ) exp[−( )(1 − 2 ) − 0 ( )2 ] [− (1 − 0 )( )]при > 0;(3)10√√︀1.16 · 104 0 √︀√=( ) exp[−( )(1 − 2 ) + 0 ( )2 ] [− (1 + 0 )( )]1.16 · 104 ( ) =; 20 = ; () = 1 − ().при < 0;Было показано, что для учета зависимости сечения резонансной перезарядки от относительной скорости [︁ в ]︁ виде ( ) =0 {1 − · ln }2 , где 0 - скорость относительного движенияиона и атома, соответствующаяэнергии этого движения равной 1эВ, следует заменить 0(,) на0 [0 1 (,,)- на[︁ ()](,);]︁√︀Рис.
8 — Зависимость средней энергии иона в 0 ( 2 + 2 (1 − 2 )) 1 (,,), аот параметра / , = 293 .[24]при вычислении(,,) необходима[︁]︁2]︁[︁√︀222замена 0 на 0 ( + (1 − )) ; где () = 1 − · ln( ) ; ()средняя относительная скорость иона (имеющего безразмерную скорость ) иатома; усреднение проводится по функции распределения атомов по скоростям.Если рассматривать задачу о плазме в длинной цилиндрической трубке радиуса при наличии амбиполярного поля (), где - радиус в цилиндрическойсистеме координат ((0) = 0), и выполнении неравенства ≪ , где - длинапробега иона относительно процесса резонансной перезарядки, то, как показано√[+() 1− ]в диссертации, следует пользоваться решением (2) с заменой на √1+() ,220+22022√а- | √1+()1− ] |, где () = () .
ФРИ, нормированная на 1 с учетомупругих столкновений имеет вид:0 (,) + ˜ (,) =;(4)∫︀ ∞ ∫︀ 1˜√︀ 1 − 22[()−220−1 [0 (,)+ (,)]Отметим, что для получения достаточно найти функцию 0(,) с точностью до произвольной постоянной (см. (5)). При ≥ 1, 0(,), ˜(,) находятся в аналитическом виде как решения линейных дифференциальных уравненийпервого порядка:[︂]︂ ( ( ))0−+ 20 ( ) 1 +0 = (→ )( );[︂]︂∫︁−1∑︁ ( ( )) ˜20→−→−−−′′+ 20 ( ) 1 + = ( ( )) ( → )˜ (→ ′ )→ ′ .=0(5)Ввиду громоздкости мы здесь не приводим их явного вида. Отметим, что,как показывают расчеты, в случае и оказывается достаточно первого приближения = 1.
На рис.6 проведено сравнение рассчитанных по полученнымформулам, измеренных различными авторами и рассчитанных методом Монте 11Карло значений дрейфовой скорости + в , + в . Видно хорошее согласие расчетных и экспериментальных данных во всем диапазоне параметра / .На рис.7 приведены аналогичные данные для подвижности ионов 2+ в 2. Аналогично, видно хорошее соответствие теории и эксперимента.На рис.
8 сравниваются значениясредней энергии ионов, вычисленныепо полученным формулам и рассчитанные в [24]. Также видно их хорошеесоответствие, за исключением небольшого расхождения при больших полях.Однако, из данных рис. 6 видно, чторасчеты автора [24] дают завышенныезначения подвижности ионов + в. С использованием полученных результатов для ФРИ мы вычислили коэффициент диффузии ионов в направРис. 9 — Зависимость отношениядля в от лении, ортогональном полю - величину, которая, в частности, определяетпараметра /, = 294 .[25; 28; 29]расходимость ионных пучков, среднюю энергию ионов в плоскости, ортогональнойполю и т.п. Рассматривая ситуацию, когда в плазме существует малый градиентконцентрации ионов можно записать выражение для ФРИ в виде:+∞(6)∑︁ →−−− (→ ,→)=f() (→ )(− →) (− ),−=0−−−где (0)(→ ) - скаляр, f() (→ ) при > 0 - вектора.
При этом (0) (→ ) нормирована−(1) →сна 1, а f ( ) имеет размерность м . Из уравнения Больцмана получаем:22)︂ −+ ̂︀ (0) (→ ) = 0;(7) )︂(︂→− −−−+ ̂︀ f(1) (→ ) = (→ − ) (0) (→ ), −где ̂︀ - оператор интеграла столкновений и ̂︀f()(→ ) = ; - компонента скоро(︂сти иона вдоль поля. В качестве решения первого из уравнений (7) можно взять−функцию (→ ). Коэффициент диффузии выражается соотношением:∫︁∫︁−→−−−(1) → = f ( ) = f(1) (→ )→.(8)Из (8), с использованием полученных для ФРИ результатов, например, внаиболее интересном случае сильного поля можно получить:= ( )∫︁∞∫︁ ∫︁√︁exp[0 ()] ( 0 ())Φ(); Φ( ) =∞−∞012−2 (0) (→ ) (9)На рис.9 приведены данные по сравнению результатов расчетов по полученнымформулам с численными расчетами методом Монте - Карло [12] и экспериментальнымиданными для + в [28;29]. Видно, что наши расчеты лучше описывают эксперимент, особенно в области больших полей.
Возвращаясь к данным рис.3, 4, можно констатировать, что результаты эксРис. 10 — ФРИ по энергиям для в и в для различных периментального определениятемператур газа и значений параметра / , рассчитанные с учетомФРИ, полученные в Гл. 2, хоупругих столкновений ионов с атомами и без них. Сечениярезонансной перезарядки взяты из [30], сечение упругого рассеяния для рошо описываются разработан - из [12], для - из [31].ной аналитической теорией вшироком диапазоне параметра / от 9 до 400 В/см Торр.
Причем это относится, как к распределению по энергиям, так и по направлениям движения. Обэтом свидетельствует хорошее совпадение энергетических зависимостей 0 - 6 коэффициентов Лежандра, которые и отвечают за угловое распределение ионов поскоростям.На рис.10 приведены результаты сравнения ФРИ, рассчитанных для + в и+ в с учетом упругихстолкновений и без них. Видно,что упругие столкновения приводят к обогащению ФРИ низкоэнергетичными ионами. В использованной модели этого следовало ожидать, поскольку поток энергии при таких столкновениях направлен от ионов кРис.
11 — Угловая зависимость ФРИ (нормированной на 1) поэнергиям в , рассчитанной как решение уравнения Больцмана, атомам, то есть, атомы нагреполученная из суммы первых рассчитанных семи членов разложения ваются, а ионы - охлаждаются.ФРИ в ряд по полиномам Лежандра и определенных экспериментально Однако, это влияние невеликозондовым методом (см. Гл.2); условия те же, что и на рис.3;и сказывается, в основном, при = 0.1эВ; △ = 0.05В.небольших энергиях ионов менее 0.1 эВ.
Нужно отметить, что ФРИ в рассматриваемых условиях имеет характерную особенность - максимум в районе тепловой энергии атомов.Это вполне объяснимо с физической точки зрения, поскольку рождающиесяв результате перезарядки ионы как раз обладают такой энергией и, как нетрудновидеть, создают максимальную концентрацию. Действительно, по мере ускорения+++++13в электрическом поле до следующего столкновения с атомом и с учетом сохранения плотности их потока создаваемая ионами концентрация будет уменьшатьсяпо мере увеличения скорости их движения. На рис.11 приведена восстановленнаяпо первым семи коэффициентам Лежандра ФРИ для + в при энергии 0.1эВ из данных эксперимента Гл.
2 и расчетов, а также точная вычисленная по полученным формулам ФРИ. Видно, что восстановленная расчетная и экспериментальная ФРИ хорошо совпадают с точной при этой энергии. На рис.12 приведеныаналогичные данные, но для энергии ионов + 0.3 эВ.Заметно, что при этойэнергии уже наблюдаютсяотклонения точной ФРИот восстановленной в видесуммы первых семи членовряда по полиномам Лежандра. Это, очевидно, связанос увеличением анизотропииФРИ с ростом энергии и, какследствие, недостатком семичленов для описания болеерезкой угловой зависимостиРис.
12 — То же, что и на рис.11, но = 0.3эВ.ФРИ.По результатам Главы 3 можно сделать следующие выводы:1. Развита аналитическая теория для описания ФРИ в собственном газе сучетом упругих столкновений ионов с атомами при условии, что основным процессом с участием ионов в плазме является резонансная перезарядка. При этомвеличина электрического поля в плазме может быть произвольной в области параметров плазмы, где можно пренебречь упругим рассеянием иона на собственноматоме. Теория надежно описывает большой массив известных экспериментальныхданных по скоростям дрейфа и приведенным подвижностям атомарных и молекулярных ионов в плазме собственного газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
