Диссертация (1149843), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

3.3 приведён вид областей высыпания для случая 0 / = 5.При данном отношении 0 / попадание электронов на земную поверхностьвозможно для значений углов ∈ [120∘ , 180∘ ], ∈ [−180∘ , 180∘ ]. Область до⋃︀⋃︀⋃︀стижимых долгот равна [−180∘ , −26∘ ] [13∘ , 43∘ ] [94∘ , 137∘ ] [152∘ , 180∘ ) при′ = 2.85 (Рис.

3.3 а) и [−180∘ , 180∘ ) при остальных трёх значениях импульсов(Рис. 3.3 б, в, г). Допустимые широты при ′ = 2.85 содержатся в двух интервалах [−57∘ , −29∘ ] и [29∘ , 57∘ ], при ′ = 6.12, ′ = 12.23 и ′ = 18.35 − в одноминтервале, равном [−55∘ , 55∘ ], [−65∘ , 65∘ ] и [−71∘ , 71∘ ] соответственно. Условно область высыпания при 0 / = 5 можно разделить на восемь (′ = 2.85,Рис. 3.3а) либо три компоненты (′ = 6.12, ′ = 12.23 и ′ = 18.35, Рис. 3.3 б,в, г).

Как видно из Рис. 3.3, при увеличении ′ от 2.85 до 18.35 две подобласти, находящиеся на меньшем удалении от начала координат в плоскости (, ),70объединяются при некотором ′ на прямой = 0, образуя одну компоненту. Доля точек области высыпания, находящихся вне этой компоненты, уменьшаетсяпри увеличении ′ .Отметим, что во всех примерах, приведённых на Рис. 3.1–3.3, область высыпания обладает симметрией относительно оси = 0, что объясняется инвариантностью системы уравнений (3.3) относительно замены координатˆ1 = 1 , ˆ2 = 2 , ˆ3 = −3 .3.2.Построение областей высыпания электроноввысокой энергии в случае представленияпотенциала геомагнитного поля суммой первыхчетырёх гармоник ряда ГауссаПредположим теперь, что потенциал геомагнитного поля представляетсобой сумму первых четырёх гармоник ряда Гаусса.

Будем задавать положениеточечного источника электронов высокой энергии геоцентрическим расстоянием 0 , дополнением до широты 0 и долготой 0 сферической системы координат с началом координат в центре Земли и полярной осью, совпадающей сгеографической осью Земли.Как известно (см., например, [3], с. 107), в некоторой области околоземного космического пространства для описания геомагнитного поля может бытьиспользована потенциальная функция в виде ряда Гаусса)︂+1 ∑︁∞ (︂∑︁ = ( cos + ℎ sin ) (cos ),=1=0(3.7)где и ℎ − коэффициенты, определяемые в результате измерений геомагнитного поля (см. табл. 3.44 ),4Значения коэффициентов взяты для эпохи 1965 г.71 (cos ) =⎧√︁⎪⎨ 2 (−)! , (cos ) , 1 ≤ ≤ ;(+)!− многочлены Шмидта [95].⎪⎩, (cos ) , = 0В выражении для многочленов Шмидта (cos ) использованы присо-единённые многочлены Лежандра , (cos ) (см. табл.

3.5), определяющиесяпо формулам)︀ , () = 1 − 2 2 (︀(︂)︂)︀1 (︀ 2 −1.2 ! Уравнение движения заряженной частицы в поле с потенциалом записывается в виде2 r=−v × ∇,20 √︀где = 1 − 2 /2 − лоренц-фактор.(3.8)72Таблица 3.4. Значения коэффициентов и ℎ , 10−4 Гс−4ℎГс , 1010-3033.401-211.9577.60-166.201299.7-201.62159.411.40129.701-203.8-40.42129.224.0385.6-16.5095.70180.414.8247.9-26.93-39.01.3425.2-26.923473Таблица 3.5. Присоединённые многочлены Лежандра , (cos )′и их производные ,(cos ), (cos )′,(cos )10cos − sin 1sin cos 0(3 cos 2 + 1) /4−3 sin 2/213 sin(2)/23 cos 223 (1 − cos 2) /23 sin 20(5 cos 3 + 3 cos ) /8−3 (5 sin 3 + sin ) /813 (5 sin 3 + sin ) /83 (cos + 15 cos 3) /8215 (cos − cos 3) /415 (3 sin 3 − sin ) /4315 (3 sin − sin 3) /445 (cos − cos 3) /40(35 cos 4 + 20 cos 2 + 9) /64−5 (7 sin 4 + 2 sin 2) /1615 (7 sin 4 + 2 sin 2) /165 (cos 2 + 7 cos 4) /4215 (3 + 4 cos 2 − 7 cos 4) /1615 (7 sin 4 − 2 sin 2) /43105 (2 sin 2 − sin 4) /8105 (cos 2 − cos 4) /24105 (3 − 4 cos 2 + cos 4) /8105 (2 sin 2 − sin 4) /2234Представим (3.8) в виде системы дифференциальных уравнений первогопорядка⎧r⎪⎪= v,⎨v⎪⎪=−v × ∇.⎩0 (3.9)Индукция магнитного поля B выражается через потенциал : B = −∇ .Из (3.7) следует, что компоненты вектора B в сферической системе координат74выражаются рядами = −)︂+2 ∑︁∞ (︂∑︁=1∞ (︂∑︁( cos + ℎ sin ) (cos ),=0)︂+2 ∑︁ (cos )( cos + ℎ sin ), = −=0=1(︂)︂∞+2∑︁ ∑︁ (cos ) = .( sin − ℎcos)sin=1=0(3.10)Систему (3.9) удобно представить в следующем удобном для численногоинтегрирования виде (см.

[14, 98])⎧⎪⎪= ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=,⎨ sin 2 + 2⎪⎪⎪=+,⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 ctg ⎪⎪=−+,⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ctg ⎪⎩ = − − ,(3.11)где = − , = − , = − .3Положим 0 = /. Перейдём в (3.11) к безразмерным переменнымˆ = , ˆ = ,ˆ = , 000ˆ = , ˆ = , ˆ = , ˆ =,=.(3.12)75В новых переменных (3.12) уравнения (3.11) принимают вид⎧ˆ⎪⎪= ˆ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪ˆ⎪⎪=,⎪⎪⎪ˆ⎪⎪⎪ˆ⎪⎪=,⎨ˆ sin ˆ2 + ˆ2ˆ⎪⎪⎪= +,⎪⎪ˆ⎪⎪⎪⎪ˆ ˆ ˆ2 ctg ˆ⎪⎪= −+,⎪⎪ˆˆ⎪⎪⎪⎪ˆˆ ˆˆ ˆ ctg ⎪⎩ = − − ,ˆˆгде(3.13)ˆ − ˆ ˆ , ˆ ˆ − ˆ ˆ , ˆ − ˆ ˆ ,ˆ = ˆ ˆ = ˆ = ˆ 22 = ()/− безразмерный коэффициент.При построении областей высыпания будем использовать геомагнитныекоординаты ( , ), связанные с географическими (, ) формулами перехода⎧⎪⎪ = arccos (− cos cos 0 − sin sin 0 cos( − 0 )) ,⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪arcsin (sin 0 sin( − 0 )/ sin ) ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪если − sin 0 cos + cos 0 sin cos( − 0 ) > 0;⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ − arcsin (sin 0 sin( − 0 )/ sin ) , если⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨− sin 0 cos + cos 0 sin cos( − 0 ) < 0⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪и sin sin( − 0 )/ sin > 0;⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪− − arcsin (sin 0 sin( − 0 )/ sin ) , если⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪− sin 0 cos + cos 0 sin cos( − 0 ) < 0⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ и sin sin( − )/ sin < 0,⎩0где 0 = −69∘ , 0 = 11.5∘ .В дальнейшем будем обозначать магнитную долготу точки высыпания ,магнитную широту точки высыпания , магнитную широту источника 0 ,магнитную долготу источника 0 .

Отметим, что = , = /2 − .76С помощью метода, изложенного в первой части настоящей главы, путёмчисленного интегрирования системы уравнений (3.13) были построены областивысыпания электронов на поверхность Земли для трёх представляющих практический интерес положений инжектора:1. на геостационарной орбите в точке пересечения магнитного и географического экваторов;2. на поверхности Земли в точке пересечения магнитного и географическогоэкваторов;3. на поверхности Земли в точке с геомагнитными координатами 0 = 25∘ ,0 = 0∘ .Вычисления проводились для кинетических энергий 7, 15, 30 и 45 ГэВ.Число испытаний в серии принималось равным 1 000 000.Рассмотрим сначала вид областей высыпания в случае положения инжектора на геостационарной орбите в точке пересечения магнитного и географического экваторов.

На Рис. 3.4 − 3.7 представлены соответствующие областидля четырёх указанных значений и двух моделей геомагнитного поля, соответствующих = 1 (первая дипольная гармоника, рисунки с литерой а)) и = 4 (сумма первых четырёх гармоник, рисунки с литерой б)). В соответствиис результатами расчётов для данного положения инжектора пересечение траектории электрона со сферой радиуса возможно для значений углов и из промежутков [ , ] = [120∘ , 180∘ ] и [ , ] = [−180∘ , 180∘ ).77а)б)Рис. 3.4.

Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на геостационарной орбите в точке пересечения географического и геомагнитного экваторов при = 7 ГэВ: а) = 1, б) = 4.а)б)Рис. 3.5. Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на геостационарной орбите в точке пересечения географического и геомагнитного экваторов при = 15 ГэВ: а) = 1, б) = 4.78а)б)Рис. 3.6.

Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на геостационарной орбите в точке пересечения географического и геомагнитного экваторов при = 30 ГэВ: а) = 1, б) = 4.а)б)Рис. 3.7. Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на геостационарной орбите в точке пересечения географического и геомагнитного экваторов при = 45 ГэВ: а) = 1, б) = 4.79а)б)Рис. 3.8.

Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на поверхности Земли в точке c нулевой магнитной широтойи нулевой магнитной долготой при = 7 ГэВ: а) = 1, б) = 4.а)б)Рис. 3.9. Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на поверхности Земли в точке c нулевой магнитной широтойи нулевой магнитной долготой при = 15 ГэВ: а) = 1, б) = 4.80а)б)Рис. 3.10.

Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на поверхности Земли в точке c нулевой магнитной широтойи нулевой магнитной долготой при = 30 ГэВ: а) = 1, б) = 4.а)б)Рис. 3.11. Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на поверхности Земли в точке c нулевой магнитной широтойи нулевой магнитной долготой при = 45 ГэВ: а) = 1, б) = 4.81а)б)Рис. 3.12. Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на поверхности Земли в точке c магнитной широтой 25∘ инулевой магнитной долготой при = 7 ГэВ: а) = 1, б) = 4.а)б)Рис. 3.13.

Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на поверхности Земли в точке c магнитной широтой 25∘ инулевой магнитной долготой при = 15 ГэВ: а) = 1, б) = 4.82а)б)Рис. 3.14. Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на поверхности Земли в точке c магнитной широтой 25∘ инулевой магнитной долготой при = 30 ГэВ: а) = 1, б) = 4.а)б)Рис. 3.15. Области высыпания электронов на земную поверхность в случае положения инжектора на поверхности Земли в точке c магнитной широтой 25∘ инулевой магнитной долготой при = 45 ГэВ: а) = 1, б) = 4.83При = 1 и = 7 ГэВ (Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации