Диссертация (1149843), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если обозначить через r радиус-вектор текущего положения частицы, тоr = a + c,3(2.2)Для релятивистских частиц будем, не умаляя общности, считать, что = 0 , где 0 – масса покоя, – лоренц-фактор46где a − вектор, проведённый из центра вращения (ведущего центра) в точку, вкоторой находится частица; c − текущее положение ведущего центра.При выполнении условий (2.1) движение частицы сохранит вид (2.2), но,в отличие от движения в однородном поле, величины a и c медленно меняютсясо временем: a = a(), c = c(), а ведущий центр может двигаться поперёкмагнитного поля, перемещаясь с одной силовой линии на другую.Скорость частицы v будет состоять из двух частей: скорости вращения wи скорости дрейфа u:v=r a c=+= w + u.(2.3)С помощью метода усреднения [8] из точного уравнения движения частицы могут быть получены уравнения динамики ведущего центра (см.
[9, 31, 36]):⎧u⎪⎪⎪⎨ b = Fb − b∇,(︃(︃)︃)︃2(2.4)222‖uB‖⊥⎪⎪u⊥ = F − 1 + 2 ∇ − ×+(B)⊥ ,⎪⎩ 2 2 где b = B/, величины с индексами ⊥ обозначают проекцию на плоскость = , движущуюся вместе с частицей (будем называть такую плоскостьведущей), = 2⊥ /2 − эквивалентный магнитный момент частицы, которыйпри выполнении условий (2.1) является приближённым интегралом движения(см. [5]).При этом продольное движение ведущего центра описывается первымуравнением (2.4), а поперечное − вторым уравнением (2.4).В [36] уравнения (2.4) выведены в предположении, что ̸= 0. В суперпозиционном поле в отличие от дипольного существуют точки, удовлетворяющиеусловию = 0.
В связи с этим возникает вопрос о корректности уравнений (2.4)в суперпозиционном поле. Вернёмся к данному вопросу, когда будем проводитьисследование уравнения силовых линий поля.Поскольку в рассматриваемом случае учитывается воздействие на частицу только сил магнитной природы, F = 0. Также равно нулю и последнее47слагаемое в правой части второго уравнения (2.4) (вследствие безвихревогохарактера поля). Кроме того, будем во втором уравнении (2.4) пренебрегатьслагаемыми, содержащими производную u⊥ / (вследствие малости ⊥ посравнению с ).Пусть (, , ) − сферическая система координат, где −расстояние доцентра Земли, − магнитная широта, − магнитная долгота.
Тогда из (2.4)следует, что u⊥ имеет одну отличную от 0 азимутальную составляющую :(︂)︂ 2 = cos =− 2+ 2‖ (∇)⊥ .(2.5)2Угол будем отсчитывать в направлении дрейфа частицы. Поскольку врассматриваемом случае проекция u⊥ на ведущую плоскость равна 0, в этойплоскости ведущий центр в процессе движения остаётся на фиксированной силовой линии. Как и в случае дипольного поля, ведущий центр колеблется междудвумя зеркальными точками“, причём функция () является периодической.”Будем рассматривать участок траектории, на котором / > 0, а затем используем соотношение ( /2 + ) = −(), 0 < < /2, где - период функции().Пусть в начальный момент времени частица находится на магнитном экваторе ( = 0) и обладает скоростью v, направленной под углом к направлению местного магнитного поля.
Тогда начальные значения и ‖ равнысоответственно 0 = sin и ‖0 = cos . Учитывая, что в магнитостатическомполе модуль скорости остаётся постоянным и используя сохранение магнитного момента , можно показать (см. [5]), что текущее значение продольнойкомпоненты скорости дрейфа√︂2( − )‖ =,(2.6)где = / sin2 − значение индукции в «зеркальной» точке, где происходит отражение частицы от магнитного зеркала, – значение индукциисуперпозиционного поля при = 0.48Введём безразмерную индукцию , связанную с индукцией и экваториальным параметром , равным расстоянию от начала координат до точкипересечения местной силовой линии с экваториальной плоскостью, посредствомформулы = /3 ,(2.7)где – дипольный магнитный момент.Аналогично (2.7) запишем : = /3 = (2‖ + 2 )/2,(2.8)где − значение функции в точке, где происходит отражение от магнитного зеркала.Скорость движения вдоль силовых линий поля равна√︃(︂ )︂√︀2222 + =+ 2.‖ =(2.9)Функцию (, ) найдём из уравнения силовых линий, которое удобнопредставить в виде (см.
[39])3 + /( cos2 ) − 1/ = 0,(2.10)3где = (1 − 3 )/ , = / , = −0 /2 , 0 – индукция однородногополя.Определим, какое значение соответствует точке с радиус-вектором r.Положим в (2.10) = , = 0 и решим кубическое уравнение3 + / − 1/ = 0.(2.11)Физический смысл имеют только положительные корни уравнения (2.11).В зависимости от знаков = 1/(42 ) + 3 /(273 ) и возможны четыре случая(см.
рис. силовых линий в [17].1. Если > 0 и > 0 (замкнутые кривые), то по формуле Кардано получаем, что единственный положительный корень −49√︂ =312+√︁√︂142+3273+312−√︁142+3273 .Остальные два корня являются комплексными.2. Если < 0 и > 0 (разомкнутые силовые линии), то уравнение (2.11)имеет один положительный корень, определяющийся по формуле√︀ = 2 −/(3) cos(/3),где угол удовлетворяет условию√︀cos = −27/ 3 /2.3. Если ≥ 0 и < 0 (разомкнутые силовые линии, не пересекающие экваториальную плоскость), то уравнение (2.11) не имеет положительныхкорней. В этом случае один корень вещественный и отрицательный, адва другие комплексные.4. Если < 0 и < 0 (кривые, пересекающие экваториальную плоскость), тосуществуют два положительных корня 1 и 2 , выражения для которыхимеют вид√︀1 = 2 −/(3) cos(/3),√︀2 = 2 −/(3) cos(/3 + 4/3),√︀где cos = − −27/ 3 /2.Таким образом, в случаях 1 и 2 параметр определён единственным образом, в случае 3 уравнение для определения не имеет положительных корней, ав случае 4 одному значению соответствуют 2 значения .
Замкнутой силовой√︀линии соответствует меньшее значение , равное 2 = 2 −/(3) cos(/3 +4/3); силовой линии, уходящей на бесконечность (разомкнутой) − большее√︀значение 1 = 2 −/(3) cos(/3) (см. [17]).50Ограничимся движением ведущего центра вдоль замкнутых силовых поверхностей. С математической точки зрения это значит, что если уравнение(2.11) при заданном будет иметь два корня, то из них следует выбрать наименьший.Установим теперь, для каких точек поля = 0.
Равенство (1.7) показы√︁вает, что указанное условие выполнено, когда ̃︀ = 0 и ̃︀ = 3 1 либо ̃︀ = 0√︁1и ̃︀ = 3 − 2(координаты с «волнами» измерены в штермеровских единицахдлины). Первый случай возможен только тогда, когда силовая линия является полуокружностью. Второй случай соответствует значению , при которомпроисходит переход от замкнутых диполеподобных силовых линий к разомкнутым.
Действительно, из равенства = 0 следует, что соответствующее значение√︀постоянной = 3 3 −/4. После подстановки в формулу для 1 п. 4 получим√︁11 = 3 − 2. Таким образом, для движений ведущего центра вдоль замкнутыхсиловых поверхностей условие ̸= 0 оказывается выполненным.В дальнейшем в этой части главы для характеристики суперпозиционногополя будем использовать безразмерный параметр , определённый следующимобразом:0 3=.2Модуль вектора B равен√︃ (︂)︂2(︂)︂21122 = 4 3 − 3 sin ++cos2 ,3 3(2.12)(2.13)где – экваториальный параметр местной силовой линии.Безразмерная индукция равна√︁(ˆ, , ) = 4 (1 − ˆ3 )2 sin2 + (1 + 2ˆ3 )2 cos2 ,где ˆ = / (см.
также [5], с. 13, [17]).Постоянную можно записать в следующем виде: = (1 − )/ .(2.14)51Решение кубического уравнения (2.10), в котором и выражены через, зависит от знака соответствующего ему дискриминанта, пропорциональноговеличине1(1 − )3= 2+.427 3 cos6 Будем представлять решение уравнения (2.10) в виде = 1 (, ) .(2.15)Если > 0, то√︂√︂√√1131 (, ) =+ + 3− ;22(2.16)если же < 0, то√︃−1 + 41 (, ) = 2cos,3 cos2 3где cos =12√︁27 3 cos6 (−1)3 ,(2.17)sin > 0.Производную / представим в виде= 2 (, ) .(2.18)При > 0(1 − )3 tg − 12 (, ) = 227 3 cos6 (︃(︂√1+ 2)︂− 23(︂−√1− 2)︂− 32 )︃; (2.19)при < 0√︃2 (, ) = 2√︃ − 1 tg + 4cos−3 cos 33( − 1) + 4sin,334 ( − 1) − 27 cos6 √︁ 3 6cos 1где, как и ранее, cos = 2 27(−1)3 , sin > 0.−3 sin 2−1(2.20)52С учётом (2.6) – (2.9), (2.15) и (2.18) получаем√︃12 (0 − )= √︀ 2.51 (, ) + 22 (, )(2.21)Отметим, что из (2.8) и определения штермеровской единицы длины следует, что2=|| √︃ .20(2.22)Перейдём теперь к преобразованию второго уравнения в (2.4).По формулам для градиента в сферической системе координат(︂(︂(︂)︂(︂)︂)︂ (︂)︂3 cos 41122(∇)⊥ = 4 4 24 − 3 sin − 2 + 3 cos 2 + 3 + 1 111)︂ (︂)︂)︂(︂11−4−.+2 sin2 1313(2.23)Запишем (∇)⊥ в виде(∇)⊥ = ^(∇)⊥ ,4(2.24)^⊥ , поперечный полю B, –где безразмерный градиент (∇)^⊥ =(∇)3 (, ),14 (, ) 2 (ˆ, , )(2.25)а функция 3 (, ) определяется выражением(︂(︂(︂)︂43 (, ) = 3 cos 4 − 3 sin2 −1(︂)︂)︂ (︂)︂(︂)︂ (︂)︂)︂111122− 2 + 3 cos 2 + 3 + 2 sin − 4−.111313Из (2.7) –(2.8), (2.15) и определения следует, что^⊥ ( − 2 )(∇)=.2 2 1 (, ) cos (2.26)53Из (2.21), (2.22) и (2.26) получаем выражение для производной√︀(︂ )︂2^(2 − )(∇)⊥ 12 (, ) + 22 (, )√︁= () ·,221 (, ) cos 1 − (2.27)где () − знак .
Не умаляя общности рассуждения будем считать, что(−) = 1.Наконец, интегрирование (2.27) даёт зависимость широты от долготы ведущего центра:∫︁ (︂ − 0 =0̃︀ =где Φ(︁)︁)︂2 1 − ^ ̃︀2 (∇)⊥ Φ√︁,21 cos 1 −(2.28)√︀12 (, ) + 22 (, ).На основе формулы (2.28) были построены графики зависимостей (, ),где(︁∫︁ 1 −() =020)︁^Φ̃︀(∇)⊥√︁.1 2 cos 1 − 0(2.29)Рассматривались только пространственно ограниченные движения, каковыми заведомо являются движения по замкнутым силовым линиям (2.10). Соответствующие графики представлены на Рис. 2.1–2.3 для значений = ±0.025(Рис. 2.1), = ±0.1 (Рис.
2.2) и = ±0.25 (Рис. 2.3).а)б)54Рис. 2.1. Графики зависимости величины (), пропорциональной долготе ведущего центра заряженной частицы при || = 0.025: а) = 0.025, б) =−0.025.а)б)Рис. 2.2. Графики зависимости величины (), пропорциональной долготе ведущего центра заряженной частицы при || = 0.1: а) = 0.1, б) = −0.1.55а)б)Рис. 2.3. Графики зависимости величины (), пропорциональной долготе ведущего центра заряженной частицы при || = 0.25: а) = 0.25, б) = −0.25.На каждом из графиков представлены 5 кривых, соответствующихследующим значениям угла между v0 и Bmin : 15∘ , 30∘ , 45∘ , 60∘ , 75∘ . Каквидно из рисунков, при возрастании максимальное значение () убывает.2.2.Условия применимости дрейфовых уравненийдвиженияВернёмся к условиям слабой неоднородности (2.1).
Иначе можно записатьих в виде⎧|(∇)⊥ |⎪⎨ ≪ 1, ⎪⎩≪ 1, (2.30)За условия применимости дрейфового приближения, как и в [30], примемнеравенства⎧⎨ |(∇)⊥ | 6 2 ,1⎩ |(∇) | 6 2 ,‖ ‖2(2.31)56где 2 и 2 − максимальные значения отношений |(∇)⊥ |/ и ‖ |(∇)‖ |/.Будем считать 12 и 22 такими же, как и для дипольного поля (для реальногогеомагнитного поля это предположение оправдано, поскольку основным является дипольное поле). По данным [18] 1 ≈ 0.46, 2 ≈ 0.66.Для преобразования неравенств (2.31) вычислим теперь (∇)⊥ и (∇)‖ .Если ̃︀ = / , то из (1.7) и (2.13) следует, что(︂)︂(︂)︂2 sin 1 cos 1 =− , = −+ 2 .33̃︀3̃︀3(2.32)Из (2.32) получим выражение для модуля магнитной индукции через ̃︀ и :√︃ (︂)︂2)︂2(︂√︁11 = 2 + 2 2 = 3 4 3 − sin2 ++ 2 cos2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
