Диссертация (1149843), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Значит, является интегралом движения: = 2 = .(1.2)(1.2) означает, что релятивистская масса остаётся неизменной во всёвремя движения частицы. Следовательно, движение релятивистской частицы смассой покоя 0 можно рассматривать как движение нерелятивистской частицы массы с классической функцией Гамильтона(︃(︂)︂2 )︃1 2 + 2 +−.=2(1.3)Из (1.3) видно что, гамильтониан не зависит от координаты , поэтому˙ = −= 0.(1.4)17Таким образом, обобщённый импульс является интегралом движения.Представим его в виде =Γ,(1.5)Γ − постоянная размерности обратной длины.Нетрудно проверить, что в рассматриваемом случае суперпозиционногомагнитного поля векторный потенциал(︂)︂ 0 A=+e ,32(1.6)где 0 − проекция однородного магнитного поля на ось (см.
также [80]).В соответствии с (1.6) разложение индукции магнитного поля B = Aпо ортам цилиндрической системы координат e , e и ez имеет видB = B0 + Bd = 3 e /5 + ( (2 2 − 2 )/5 + 0 )ez ,(1.7)где B0 – индукция однородного магнитного поля, Bd – индукция поля магнитного диполя.Зная (1.6), гамильтониан (1.3) можно записать в виде=)︀1 (︀ 2 + 2 + ,2(1.8)где2 2 =22(︂Γ0 − 3− 2)︂2.(1.9)Гамильтониан (1.8) описывает движение частицы в ведущей плоскости.Такое движение эквивалентно движению в потенциальном поле с эффективнымпотенциалом (1.9). Уравнения движения частицы в указанном поле могут бытьзаписаны в виде⎧⎪⎪=−,⎨ ¨⎪⎪⎩ ¨=−.(1.10)18Эффективный потенциал не зависит от времени, поэтому полная энергия частицы в ведущей плоскости является интегралом движения:=)︀ (︀ 2˙ + ˙ 2 + = .2(1.11)Перейдём к безразмерным переменным, зависящим от штермеровской еди√︀ницы длины = ||/:˜ = ˜ , ˜ =, =.(1.12)Будем обозначать дифференцирование по ˜ штрихом.
Тогда в новых переменных (1.12) уравнения (1.10) примут вид⎧ ˜⎪⎪,⎨ ˜′′ = − ˜˜⎪⎪⎩ ˜′′ = − , ˜где новый эффективный потенциал(︂)︂23˜˜1Γ0−− 3 .˜ =2˜˜(1.13)(1.14)В переменных (1.12) интеграл (1.11) примет вид)︁1 (︁ ′ 21′ 2(˜ ) + (˜ ) + ˜ (˜, ˜) = .22(1.15)Далее в этой части главы будем опускать значок «∼».Как следует из (1.15), разрешённые области движения частицы определяются неравенством ˜ ≤ 1/2, которое может быть представлено в виде⃒⃒⃒⃒2⃒ − − ⃒ ≤ 1,⃒3⃒(1.16)3где = − Γ/2 − постоянная Штермера, = −0 /2 .Заметим, что уравнения (1.13) и (1.15) эквивалентны уравнениям движения точки единичной массы в эффективном потенциальном поле с потенциалом(1.14).19Будем в дальнейшем обозначать ∆(, ) разрешённую область движенияв меридиональной плоскости, задаваемую неравенством (1.16).Итак, в любой момент времени безразмерные координаты частицы должны удовлетворять неравенству (1.16), задающему область ∆(, ).
Точки, координаты которых не удовлетворяют (1.16), принадлежат запрещённой области∆(, ).Полагая = cos , где − геомагнитная широта, получим из (1.16), что⃒⃒⃒⃒cos2⃒ cos −⃒ ≤ 1.(1.17)−⃒2 cos ⃒Будем считать, что индукция однородного поля сонаправлена магнитномумоменту диполя, т. е. < 0. В дальнейшем ограничимся рассмотрением ранеене исследованного случая положительных значений постоянной Штермера (см.
[29]).Границы области (1.17) определяются уравнениями2422 ++= 0, cos cos2 4222 ++= 0,3 − cos cos2 3 +(1.18)(1.19)где = −2 > 0 (см. [72]).В уравнении (1.18) все коэффициенты при степенях положительны. Указанное уравнение не имеет вещественных положительных корней и, следовательно, не может задавать границу области (1.17).
Таким образом, в рассматриваемом случае граница области ∆(, ) задаётся вещественными положительными корнями уравнения (1.19), существующими при условии неположительности дискриминанта :(︃(︂)︂3(︂)︂2 )︃164112=−+ 4 −+9 cos6 3339(︂)︂821+ 3−+≤ 0.3 cos3 92(1.20)20При условии (1.20) уравнение (1.19) имеет два положительных корня√︂√︂ + 41 = 2 − cos,2 = 2 − cos ,(1.21)3333где угол определяется соотношением√3 3cos = − √︀;2 −3(︂)︂(︂)︂41248=−,=1+−. cos2 33 cos3 272 cos3 Полагая cos3 = , запишем (1.20) в виде + + 2 ≤ 0,(1.22)где)︂3)︂2 )︃(︂(︂4112+ 4 −,−3339(︂)︂82= 3 −,391 = 2.16=9(︃Значения должны удовлетворять условию0 ≤ ≤ 1.(1.23)Анализ показывает, что не все пары значений (, ) (а значит, не все тройки коэффициентов (, , )) имеют физический смысл, т.
е. соответствуюткаким-либо начальным данным. Это объясняется тем, что область ∆(, ) всегда содержит точку, в которой частица находится при = 0, следовательно,∆(, ) ̸= ∅. При выполнении системы неравенств⎧⎨ 2 > 4,√︀⎩ 2 − 4 > .(1.24)21пара (, ) соответствует некоторым начальным данным, а решение (1.22) вобласти (1.23) существует и может быть записано в виде0 ≤ ≤ (2 , 1),где 2 =(︀√(1.25))︀ 2 − 4 − /2.Как видно из (1.25), качественный вид области ∆(, ) зависит от значения корня 2 .В случае 2 < 1 решение (1.22) в области (1.23) имеет вид 0 ≤ ≤ 2 .
Притаких значениях граница области ∆(, ) существует для значений магнитнойшироты(︁ ]︁ [︁√√ )︁33 ∈ − , − arccos 2 ∪ arccos 2 ,.22(1.26)Из (1.26) следует, что область ∆(, ) при 2 < 1 состоит из двух компонент, границы каждой из которых не пересекают плоскость магнитного экватора. Каждому значению широты (1.26) соответствуют значения 1 и 2 , задаваемые формулами (1.21). Качественный вид разрешённой области в рассматриваемом случае показан на Рис. 1.1 а, для которого = 2.46, = 0.1, 2 = 0.803,√arccos 3 2 = 22.64∘ , ( = 0) = 160.29 > 0.При 2 ≥ 1 решение (1.22) в области (1.23) имеет вид 0 ≤ ≤ 1; границаобласти ∆(, ) существует для любых значений магнитной широты .
Если2 = 1, то область ∆(, ) состоит из одной компоненты, две части которой соединяются друг с другом в плоскости магнитного экватора. Качественный вид∆(, ) в этом случае показан на Рис. 1.2 б, для которого = 2.45023, = 0.1,( = 0) = 0. Наконец, при 2 > 1 область ∆(, ) является однокомпонентной, что видно из Рис. 1.1 в, соответствующего значениям параметров = 2.3, = 0.1, ( = 0) = −2.2 · 103 < 0.22а)б)в)Рис. 1.1. Разрешённые области ∆(, ) и запрещённые области ∆(, ) в координатном пространстве при = 0.1: а) = 2.46, б) = 2.45023, в) = 2.3.231.2.Области разрешённых начальных импульсовКак известно, дифференциальные уравнения динамики заряженной ча-стицы неразрешимы в квадратурах даже для простейшей дипольной моделимагнитного поля Земли. В то же время интегралы энергии и обобщённого углового момента частицы, справедливые, как показано в [39,72,80], и для магнитного поля, представляющего собой суперпозицию дипольного и однородного магнитных полей, позволяют получить важные сведения об особенностях распространения заряженных частиц.
С использованием этой информации удалось,в частности, объяснить основные эффекты, связанные с вторжением заряженных частиц солнечных и галактических космических лучей в геомагнитное поле(жёсткости геомагнитного обрезания, восточно-западную асимметрию и др.).В работах [18,35] с использованием метода Штермера были получены аналитические выражения для областей разрешённых импульсов заряженных частиц в произвольных точках дипольного поля при заданном положении точечного источника частиц. Во второй части настоящей главы исследованы свойствасечения области разрешённых начальных импульсов для суперпозиции дипольного и однородного магнитных полей в случаях, когда индукция магнитногополя параллельна или антипараллельна магнитному моменту диполя, а такжеразработан алгоритм численного построения указанных сечений, показано егоприменение на конкретных примерах.Пусть в начальный момент времени рассматриваемая заряженная частицанаходится в точке с расстоянием до начала координат 0 , долготой 0 , широтой0 сферической системы координат.
Также пусть задано положение прицельнойточки со сферическими координатами , , . Поставим задачу определитьимпульсы p, при которых возможные траектории заряженной частицы, выходящие из точки R0 , проходят через прицельную точку Rc .Пусть − угол, который образует вектор начальной скорости v0 с ор-24том e местной системы координат. Тогда из (1.5) и определений обобщённогоимпульса и постоянной интегрирования следует, что1(︂)︂1cos2 0=˜0 cos 0 cos −+ ˜02 cos2 0 ,2˜0(1.27)где ˜0 − начальное значение радиальной координаты, измеренной в штермеровских единицах длины.Определим функцию (˜, , , ):(︂)︂2cos 2(˜, , , ) = 1 −− ˜ cos +.˜2˜ cos (1.28)Из (1.16) и (1.28) следует, что неравенство (˜, , , ) ≥ 0 определяетобласти ∆(, ).Вычислим значение функции (˜, , , ) в прицельной точке:(˜, , , ) = 1 − 2 ,(1.29)где(︂ = cos )︂(︂)︂cos 01cos 02− ˜ +˜0 cos −+ ˜0 cos 0 , (1.30)˜ cos ˜0˜ 2˜ − значение координаты прицельной точки, измеренной в штермеровских единицах длины.Определим постоянную как отношение индукции однородного магнитного поля к удвоенному значению индукции на магнитном экваторе 2 :=30 0=,22(1.31)где − радиус Земли.
Очевидно, что = ( / )3 .Запишем штермеровскую единицу длины в виде =√ ,где =√︁ .Перейдём к размерным координатам , 0 :−1−1 = ˜ , 0 = ˜0 .1(1.32)Все дальнейшие рассуждения в настоящей главе приведены для () < 0. Случай () < 0 получа-ется заменой в последующих формулах на − , все качественные выводы при этом остаются в силе.25Из (1.30) и (1.32) следует, что2= (︂(︂)︂)︂cos2 0 2 02 cos2 00 cos 0 cos cos −+ 3− cos +.0 cos cos cos (1.33)Выражение (1.33) можно представить в виде12 ( − ) + cos ,(︁)︁(︁cos2 0 2 cos 2где = − 0 cos , = cos −(1.34)=02 cos2 0 cos )︁, =0 cos 0 cos .Поскольку зависит только от абсолютного значения импульса p и угла между векторами p и e , то область разрешённых начальных импульсовΦ (R0 , Rc , ) в импульсном пространстве обладает симметрией относительнооси e . Будем рассматривать сечение Σ (R0 , Rc , ) области Φ (R0 , Rc , ) плоскостью, содержащей орты e и er .С учётом (1.34) неравенство для областей ∆(, ) можно представить ввиде⃒⃒⃒ 1⃒⃒⃒ ≤ 1.(−)+cos⃒ 2⃒(1.35)Неравенство (1.35) задаёт области, границами которых являются кривыевторого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
