Диссертация (1149808), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . , n − 1, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ öåíòðàëüíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ, ïîëó÷àåìûõ ïî ôîðìóëå (2), ãäå áàçèñíûå ñïëàéíû îïðåäåëÿëèñü èç óñëîâèé (3).Ïîëàãàÿsupp ωk,α = [xk−1 , xk+1 ], α = 0, 1, supp ωk<1> = [xk , xk+1 ], x = xk + th,ñ ó÷åòîì (2)(3) áûëè ïîëó÷åíû ôîðìóëû áàçèñíûõ ñïëàéíîâ (14)(16).Òàêæå äëÿt ∈ [0, 1]áûëè ïîëó÷åíû ôîðìóëû (17)(26) è äîêàçàíî ñëåäóþ-ùåå óòâåðæäåíèå (ëåììà 1, çàìå÷àíèå 1.2):Ïóñòü ôóíêöèÿu ∈ C (5) [xk , xk+1 ], uk40îïðåäåëÿåòñÿ èç (2), (14)(16), (17)(26).
Òîãäà|u(x) − uek (x)| ≤ h5 K0 ku(5) k[xk ,xk+1 ] , x ∈ [xk , xk+1 ], K0 = 0.02,(66)|u0 (x) − ue0k (x)| ≤ h4 K1 ku(5) k[xk ,xk+1 ] , x ∈ [xk , xk+1 ], K1 = 0.125.(67)Cðàâíèì ïðèáëèæåíèÿ ëåâîñòîðîííèìè è öåíòðàëüíûìè ñïëàéíàìè.Ðèñóíêè 16, 17 ïîêàçûâàþò ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèé ôóíêöèè Ðóíãå25x2 )1/(1+è å¼ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííûõ öåíòðàëüíûõ è ëåâî-ñòîðîííèõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ ïÿòîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ïåðâîé âûñîòû íà èíòåðâàëå [-1,1] íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå ñ øàãîìh = 0.1.Ðèñóíêè 18, 19 ïîêàçûâàþò ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèé ôóíêöèè Ðóíãå è å¼ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííûõ öåíòðàëüíûõ è ëåâîñòîðîííèõèíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ ïÿòîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ïåðâîéâûñîòû íà èíòåðâàëå [-1,1] íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå ñ øàãîìh = 0.01.
Äëÿ âû÷èñ-ëåíèé áûëè ñîñòàâëåíû ïðîãðàììû íà ÿçûêå Maple, âû÷èñëåíèÿ ïðîâåäåíû ñòî÷íîñòüþ Digits=15.41Ðèñ. 16: Ãðàôèêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè Ðóíãå1/(1 + 25x2 )ëå-âîñòîðîííèìè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè (ñëåâà), öåíòðàëüíûìèèíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè (ñïðàâà) íà[−1, 1] (h = 0.1)Ðèñ. 17: Ãðàôèêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè Ðóíãå1/(1 + 25x2 )ëåâîñòîðîííèìè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè (ñëå-âà), öåíòðàëüíûìè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè (ñïðàâà) íà(h= 0.1)42[−1, 1]Ðèñ. 18: Ãðàôèêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè Ðóíãå1/(1 + 25x2 )ëå-âîñòîðîííèìè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè (ñëåâà), öåíòðàëüíûìèèíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè (ñïðàâà) íà[−1, 1] (h = 0.01)Ðèñ.
19: Ãðàôèêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè Ðóíãå1/(1 + 25x2 )ëåâîñòîðîííèìè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè (ñëå-âà), öåíòðàëüíûìè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè (ñïðàâà) íà(h= 0.01)43[−1, 1] òàáëèöàõ 6, 7 äëÿh = 0.1, h = 0.01, ñîîòâåòñòâåííî, ïðåäñòàâëåíû ïîãðåø-íîñòè ïðèáëèæåíèé íåêîòîðûõ ôóíêöèé è èõ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîìîùüþëåâîñòîðîííèõ (46), (56)(65) è öåíòðàëüíûõ (2), (14)(16), (17)(26) èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ.Èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:eL = max |u − Ue |, Rf1 L = max |u0 − Ue0 |R[−1,1][−1,1] äëÿ ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿôóíêèè è å¼ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ëåâîñòîðîííèìè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìèñïëàéíàìè;eC = max |u − Ue |, Rf1 C = max |u0 − Ue0 |R[−1,1][−1,1] äëÿ ïîãðåøíîñòè ïðè-áëèæåíèÿ ôóíêèè è å¼ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé öåíòðàëüíûìè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè.Òàáëèöà 6: ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèé íåêîòîðûõ ôóíêöèé è èõïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîìîùüþ ëåâîñòîðîííèõ è öåíòðàëüíûõèíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ,Nou(x)1sin(3x) cos(5x)tg(x)cos(2x)1(1 + 25x2 )234eCRh = 0.1e1CReLRe1LR0.12 · 10−4 0.81 · 10−3 0.11 · 10−3 0.37 · 10−20.16 · 10−5 0.11 · 10−3 0.18 · 10−4 0.62 · 10−30.24 · 10−7 0.17 · 10−5 0.22 · 10−6 0.75 · 10−50.21 · 10−3 0.14 · 10−1 0.14 · 10−2 0.50 · 10−1Òàáëèöà 7: ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèé íåêîòîðûõ ôóíêöèé è èõïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîìîùüþ ëåâîñòîðîííèõ è öåíòðàëüíûõèíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ,No1234u(x)eCRsin(3x) cos(5x) 0.12 · 10−9tg(x)0.24 · 10−10cos(2x)0.35 · 10−1210.23 · 10−82(1 + 25x )h = 0.01e1CReLRe1LR0.85 · 10−7 0.11 · 10−8 0.38 · 10−60.17 · 10−7 0.23 · 10−9 0.79 · 10−70.17 · 10−9 0.22 · 10−11 0.75 · 10−90.16 · 10−5440.21 · 10−70.74 · 10−53.3Äèñêðåòíûé âàðèàíò ïîëèíîìèàëüíûõ ëåâîñòîðîííèõèíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâÀíàëîãè÷íî ñ ðàçäåëîì 1.4 ðàññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ íåêîòîðîé àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé ýêñïåðèìåíòàëüíûé çàêîíðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðåäëàãàåìûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ñïëàéíîâ.
Âîñïîëüçóåìñÿ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ(38) è ôîðìóëàìè ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (39)(44).Òàáëèöà 8 ïîêàçûâàåò òåîðåòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòèöèè è å¼ ïåðâîé ïðîèçâîäíîéeLRìè ñïëàéíàìè èe1T LReT LRïðèáëèæåíèÿ ôóíê-ëåâîñòîðîííèìè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíû- ôàêòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè èe1LR å¼ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé â ñëó÷àå, åñëè èçâåñòíû òîëüêî çíà÷åíèÿ ôóíêöèèu(xk ), k = 0, .
. . , n, x ∈ [−1, 1], h = 0.1.Òàáëèöà 8: Òåîðåòè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèéè èõ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ è ôàêòè÷åñêèå îøèáêè ïðèáëèæåíèÿôóíêöèé è èõ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ,eT LRNou(x)1sin(3x) cos(5x)tg(x)cos(2x)1(1 + 25x2 )234h = 0.1.e1T LReLRe1LR0.36 · 10−20.100.22 · 10−3 0.73 · 10−20.76 · 10−3 0.22 · 10−1 0.32 · 10−4 0.10 · 10−20.70 · 10−5 0.20 · 10−3 0.49 · 10−6 0.16 · 10−40.69 · 10−11.980.12 · 10−2 0.45 · 10−1Íà ðèñ. 20 ñëåâà ïðåäñòàâëåíû ãèñòîãðàììà, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èàïïðîêñèìàöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿf0 = √íà ïðîìåæóòêå[−2, 2],x21e− 2σ2 ,2πσãäåσ = 0.5,à ñïðàâà ãèñòîãðàììà, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ è àï-f = (f1 + f2 )/2, ãäåi = 1, 2, σ1 = 0.5, σ2 = 0.8, α1 = −0.8, α2 = 1, ïîëèíîìèíà ïðîìåæóòêå [−2, 3].ïðîêñèìàöèÿ ïëîòíîñòè äâóõìîäàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿfi =2√ 1 e−(x−αi )2πσi/2σi2,àëüíûìè ñïëàéíàìèÍà ðèñ. 21 ïîêàçàíû ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèé45Ðèñ.
20: Ãèñòîãðàììà, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ è àïïðîêñèìàöèÿ ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿf0(ñëåâà),f(ñïðàâà).Ðèñ. 21: Ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèé(ñïðàâà).46f0(ñëåâà),f4Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû äâóõïåðåìåííûõ4.1Ìîäåëèðîâàíèå ïðèáëèæåíèÿÏóñòünèmn ≥ 2, m ≥ 1. Ïóñòü a, b, c, dïðÿìîóãîëüíóþ îáëàñòü Ω̄ = Ω ∪ Γ, ãäå- íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òàêèå ÷òîäåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.
Ðàññìîòðèì-Ω = {(x, y)|a < x < b, c < y < d}Γ ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé Ω. Ââåä¼ì a = x0 < x1 < . . . < xn+1 = b, c = y0 < y1 <. . . < ym+1 = d, è ñåòêó ïðÿìûõ íà Ω̄, êîòîðàÿ äåëèò îáëàñòü Ω̄ íà ïðÿìîóãîëüíèêè Ω̄j,k = Ωj,k ∪ Γj,k ,èΩj,k = {(x, y)|x ∈ (xj , xj+1 ), y ∈ (yk , yk+1 )} ,Ωj,k , j = 0, . . . , n, k = 0, . . . , m, hj = xj+1 − xj , hk = yk+1 − yk .Îáîçíà÷èì u(xj , yk ) êàê uj,k . Êàæäîìó ìàëîìó ïðÿìîóãîëüíèêó ïîñòàâèì âñîîòâåòñòâèå äàííûå: (xj , yk , uj,k ), j = 0, 1, . . . , n + 1, k = 0, 1, .
. . , m + 1. Ïðåä-Γj,k- ýòî ãðàíèöàïîëîæèì, ÷òî èçâåñòíû çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ:<0>Ij,k=ZZu(x, y)dxdy,Ω̄j,k<−1>Ij,k=ZZu(x, y)dxdy.Ω̄j−1,kÁóäåì ìîäåëèðîâàòü ïðèáëèæåíèåũ(x, y)êu(x, y)â ÿ÷åéêåΩ̄j,kâ âèäå:ũ(x, y) = uj,k W1 (x, y) + uj+1,k W2 (x, y) + uj,k+1 W3 (x, y)+<0><−1>+ uj+1,k+1 W4 (x, y) + Ij,kW5 (x, y) + Ij,kW6 (x, y),ãäå áàçèñíûå ñïëàéíûWi (x, y)(68)ïîëó÷àþòñÿ èç óñëîâèé:ũ(x, y) = u(x, y)äëÿu(x, y) = 1, x, y, xy, x2 , y 2 .47(69)Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðàu(x, y) = u(xj , yk ) + (x − xj )u0x (xj , yk ) + (y − yk )u0y (xj , yk )+1+(x − xj )2 u00xx (xj , yk ) + 2(x − xj )(y − yk )u00xy (xj , yk )+2!+(y − yk )2 u00yy (xj , yk ) + r,r=12000(x − xj )2 u000xxx (s) + 3(x − xj ) (y − yk )uxxy (s)+3!3 000+3(x − xj )(y − yk )2 u000(s)+(y−y)u(s),kxyyyyys = (xj + τ (xj+1 − xj ), y + k + τ (yk+1 − yk )), τ ∈ [0, 1],ïîëó÷àåìWi (x, y)èç ñèñòåìû óðàâíåíèé:W1 (x, y) + W2 (x, y) + W3 (x, y) + W4 (x, y)+<0><−1>+ Ij,kW5 (x, y) + Ij,kW6 (x, y) = 1,ZZhj W2 (x, y) + hj W4 (x, y) +Ω̄j,k(x − xj )dxdyW5 (x, y)ZZ+(x − xj )dxdyW6 (x, y) = x − xj ,Ω̄j−1,kZZ(y − yk )dxdyW5 (x, y)+Ω̄j,kZZ+(y − yk )dxdyW6 (x, y) = y − yk ,hk W3 (x, y) + hk W4 (x, y) +Ω̄j−1,kh2j W2 (x, y)+h2j W4 (x, y)ZZ+(x − xj )2 dxdyW5 (x, y)+Ω̄j,kZZ+(x − xj )2 dxdyW6 (x, y) = (x − xj )2 ,Ω̄j−1,k48ZZhj hk W3 (x, y) + hj hk W4 (x, y) +(x − xj )(y − yk )dxdyW5 (x, y)+Ω̄j,kZZ+(x − xj )(y − yk )dxdyW6 (x, y)(x − xj )(y − yk ),Ω̄j−1,kh2k W3 (x, y)+h2k W4 (x, y)ZZ+(y − yk )2 dxdyW5 (x, y)+Ω̄j,kZZ+(y − yk )2 dxdyW6 (x, y) = (y − yk )2 .Ω̄j−1,kÎïðåäåëèòåëü ñèñòåìû:D = − 61 h6j h6k .Äëÿx, y ∈ Ωj,kïîëó÷àåì èç ñèñòåìûâûðàæåíèÿ äëÿ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ:W1 (x, y) = −1(−4h2j y 2 − 4h2j h2k k 2 + 6hk yh2j − 6h2k kh2j +222hk hj+ xhj h2k − jh2j h2k + x2 h2k + j 2 h2j h2k + 8h2j hk yk − 2hj hk xy + 2hj h2k xk++ 2h2j hk jy − 2h2j h2k jk − 2xjhj h2k − 2h2j h2k ),W2 (x, y) =1(xhj h2k − jh2j h2k + x2 h2k − 2xjhj h2k +2h2k h2j+ j 2 h2j h2k − 2hj hk xy + 2hj h2k xk + 2h2j hk jy − 2h2j h2k jk + 2h2j y 2 −− 4h2j hk yk + 2h2j h2k k 2 − 2hk yh2j + 2h2k kh2j ),W3 (x, y) = −1(x2 h2k − 2xjhj h2k + j 2 h2j h2k − 4h2j y 2 +222hk hj+ 8h2j hk yk − 4h2j h2k k 2 − xhj h2k + jh2j h2k + 2hk yh2j − 2kh2j h2k ++ 2hj hk xy − 2hj h2k xk − 2h2j jy + 2h2j h2k jk),W4 (x, y) =1(x2 h2k − 2xjhj h2k + j 2 h2j h2k + 2h2j y 2 −222hj hk− 4h2j hk yk + 2h2j h2k k 2 − 2hk yh2j + 2kh2j h2k − −xhj h2k + jh2j h2k ++ 2hj hk xy − 2hj h2k xk − 2h2j hk jy + 2h2j h2k jk),49W5 (x, y) = −1(5h2j y 2 + 5h2j h2k k 2 − 10h2j hk yk − 2xjhj h2k −33hj hk− 5hk yh2j + 5h2j h2k k + x2 h2k + j 2 h2j h2k − xhj h2k + jh2j h2k ),W6 (x, y) =1(−h2j y 233hj hk− h2j h2k k 2 + 2h2j hk yk − 2xjhj h2k ++ hk yh2j − kh2j h2k + x2 h2k + j 2 h2j h2k − xhj h2k + jh2j h2k ).Åñëè ïîëîæèòühk = hj = h, x = xj + th, y = yk + t1 h, t, t1 ∈ [0, 1],òîãäàïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ôîðìóëû:W1 (xj + th, yk + t1 h) = − (1/2)t2 + 2t21 − 3t1 − (1/2)t + tt1 + 1,W2 (xj + th, yk + t1 h) = − tt1 + t21 − t1 + (1/2)t2 + (1/2)t,W3 (xj + th, yk + t1 h) = − tt1 + 2t21 − t1 + (1/2)t2 + (1/2)t,W4 (xj + th, yk + t1 h) =tt1 + t21 − t1 + (1/2)t2 − (1/2)t,W5 (xj + th, yk + t1 h) = − (1/h2 )(5t21 − 5t1 + t2 − t),W6 (xj + th, yk + t1 h) =(1/h2 )(−t21 + t1 + t2 − t).Íà ðèñóíêå 22 ïîêàçàíû áàçèñíûå ôóíêöèèW2 (x, y)(ñïðàâà).
Íà ðèñóíêåW4 (x, y)(ñïðàâà). Íà ðèñóíêåW6 (x, y)(ñïðàâà).W1 (x, y)(ñëåâà),W3 (x, y) (ñëåâà),24 ïîêàçàíû áàçèñíûå ôóíêöèè W5 (x, y) (ñëåâà),23 ïîêàçàíû áàçèñíûå ôóíêöèèÐèñ. 22: ÃðàôèêèW1 (x, y)(ñëåâà),50W2 (x, y)(ñïðàâà).Ðèñ. 23: ÃðàôèêèW3 (x, y)(ñëåâà),W4 (x, y)(ñïðàâà).Ðèñ. 24: ÃðàôèêèW5 (x, y)(ñëåâà),W6 (x, y)(ñïðàâà).51Òåîðåìà 2.Îáîçíà÷èì Ω̄h = {(x, y)|a + h ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. Ïóñòüôóíêöèÿ u(x, y) ∈ C 3 (Ω̄). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óñëîâèÿ (68) è (69) âûïîëíåíû,è hj = hk = h. Òîãäà äëÿ (x, y) ∈ Ω̄j,k ⊂ Ω̄h âåðíî, ÷òî:|ũ(x, y) − u(x, y)| ≤ h3 K||u000 ||C 3 (Ω̄) , K = 1.Äîêàçàòåëüñòâî.Ñëåäóåò èç ôîðìóëû ÒåéëîðànXξ β (β)f (z + ξ) =f (z) + ς,β!|β|=0Zς = (n + 1)1X ξβf (β) (z + tξ)(1 − t)n dt,β!0 |β|=n+1n = 2, z = (x, y), è âûïîëíåíû óñëîâèÿ |W1 | ≤ 1, |W2 | ≤ 1, |W3 | ≤ 1,|W4 | ≤ 1, |W5 | ≤ 0.15/h2 , |W6 | ≤ 0.25/h2 .ãäåΩ̄ = [−0.5, 0.4] × [−0.5, 0.4], h = 0.1.
 òàáëèöàõ 9, 10 ïðèâåäåíûïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèé maxj,k |ũ(sj,k )−u(sj,k )| äëÿ sj,k = (xj +0.05, yk +0.05)è sj,k = (xj + 0.05, yk ) ñîîòâåòñòâåííî.ÏîëîæèìÒàáëèöà 9u(x, y)maxj,k |ũ(sj,k ) − u(sj,k )|x2 y 2sin2 (x) cos2 (y)x4 y 4sin(3x + 3y)0.208344 · 10−50.247076 · 10−50.319319 · 10−50.502999 · 10−4Òàáëèöà 10u(x, y)maxj,k |ũ(sj,k ) − u(sj,k )|x2 y 2sin2 (x) cos2 (y)x4 y 4sin(3x + 3y)0.154167 · 10−30.913953 · 10−30.612051 · 10−40.112559 · 10−252Íà ðèñóíêå 25 ïîêàçàíî ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè1+ 0.08 sin(20x)(1 + 15x2 )(1 + 25x2 )ïðèx ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1], h = 0.2(ñëåâà) è ïîãðåøíîñòü ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ(ñïðàâà).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
