Автореферат (1149807)
Текст из файла
ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÏîëóÿíîâ Ñåðãåé Âèêòîðîâè÷Ìîäåëèðîâàíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåéàïïðîêñèìàöèè ñïëàéíàìè â ðàçëè÷íûõ íîðìàõÑïåöèàëüíîñòü 01.01.07 Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêàÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÑàíêò-Ïåòåðáóðã 2016Ðàáîòà âûïîëíåíà íà êàôåäðå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðÁÓÐÎÂÀ Èðèíà Ãåðàñèìîâíà.Îôèöèàëüíûå îïïîíåíòû: äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðÂÀÃÅÐ Áîðèñ Ãåîðãèåâè÷ (Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèéãîñóäàðñòâåííûé àðõèòåêòóðíî-ñòðîèòåëüíûé óíèâåðñèòåò), ïðîôåññîð êàôåäðû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè;äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðËÓÖÅÍÊÎ Ìèõàèë Ìèõàéëîâè÷ (Ïåòåðáóðãñêèéãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ïóòåé ñîîáùåíèé Èìïåðàòîðà Àëåêñàíäðà I), ïðîôåññîð êàôåäðû ¾Ìàòåìàòèêà è ìîäåëèðîâàíèå¿.Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ýëåêòðîòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò ¾ËÝÒÈ¿ èì.
Â.È. Óëüÿíîâà(Ëåíèíà).Çàùèòà ñîñòîèòñÿ ¾¿2016 ã. â÷àñîâ íà çàñåäàíèè äèñ-ñåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 212.232.49 íà áàçå Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïî àäðåñó: 199004, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 10-ÿ ëèíèÿ, ä. 33, àóä. 74.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â Íàó÷íîé áèáëèîòåêå èì. Ì. Ãîðüêîãî Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïî àäðåñó: 199034,Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Óíèâåðñèòåòñêàÿ íàá., 7/9 è íà ñàéòå:https://disser.spbu.ru/les/disser2/disser/6wtqdY7JP6.pdfÀâòîðåôåðàò ðàçîñëàí ¾¿2016 ã.Ó÷¼íûé ñåêðåòàðüäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòàäîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê×óðèí Þ.Â.Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü ðàáîòûÑïëàéíû øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõçàäà÷.
Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïåðâûì óïîìèíàíèåì î ñïëàéíå êàê î ãëàäêîé, êóñî÷íîçàäàííîé ôóíêöèè, ÿâëÿåòñÿ ñòàòüÿ Èñààêà ؼíáåðãà 1946 ãîäà, â êîòîðîé áûëââåä¼í òåðìèí B-ñïëàéí.  50-õ 70-õ ãîäàõ ïðîèñõîäèëî áóðíîå ðàçâèòèå òåîðèè ñïëàéíîâîé èíòåðïîëÿöèè. Ðàáîòàÿ â àâòîìîáèëüíîé ïðîìûøëåííîñòè çíà÷èòåëüíûé âêëàä âíåñëè Ïîëü äå Êàñòåëüæî, ðàçðàáîòàâøèé âî âðåìÿ ðàáîòû âÑèòðîåí â 1959 ãîäó àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ è äåëåíèÿ êðèâîé Áåçüå, Ïüåð Áåçüå,ðàáîòàâøèé â Ðåíî, Ãàðåòò Áèðêãîôô, Êàðë äå Áîð è Ïîë Ãàðàáåäèàí â Äæåíåðàë Ìîòîðñ. Âñåì èçâåñòíû ìîíîãðàôèè Àëáåðãà Äæ., Íèëñîíà Ý., Óîëøà Äæ.,Çàâüÿëîâà Þ.Ñ., Êâàñîâà Á.È., Ìèðîøíè÷åíêî Â.Ë., Ñòå÷êèíà Ñ.Á., ÑóááîòèíàÞ.Í.
Áîëüøîé âêëàä âíåñëè Ìèõëèí Ñ.Ã., Ìàëîçåìîâ Â.Í., Äåìüÿíîâè÷ Þ.Ê.è äðóãèå ìàòåìàòèêè. Êâàñîâûì Á.È. ðàññìîòðåíà èçîãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïîëÿöèÿ è àïïðîêñèìàöèÿ, ñîõðàíÿþùàÿ ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà ôîðìû èñõîäíûõêðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé.Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ïîëèíîìèàëüíûå ñïëàéíû ïðåäëîæåíû ïðîôåññîðîì Ìîñêîâñêîãî àâèàöèîííîãî èíñòèòóòà Êèðååâûì Â.È. Ïðåäëîæåííûå èìïàðàáîëè÷åñêèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû îêàçàëèñü óäîáíûì ñðåäñòâîì äëÿ ñãëàæèâàíèÿ äàííûõ, ïîëó÷åííûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóòåì.Ïðåäñòàâèëîñü öåëåñîîáðàçíûì ïîñòðîèòü è èññëåäîâàòü ñâîéñòâà èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè, à òàêæå ïîñòðîèòüòðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñïëàéíû ñ òàêèìè æå ñâîéñòâàìè.Öåëè è çàäà÷è äèññåðòàöèîííîé ðàáîòûÖåëüþ äàííîé äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâûõ àïïðîêñèìàöèé ôóíêöèé îäíîé è äâóõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèé, ñîñòàâëåíèå è îòëàäêà ïðîãðàìì íà ÿçûêå MAPLE äëÿ ïîëó÷åíèÿðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, è âèçóàëèçàöèè ïîëó÷åííûõ ïðèáëèæåíèé.3 äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ðåøàëèñü ñëåäóþùèå çàäà÷è:1.
Ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ ëîêàëüíûõ èíòåðïîëÿöèîííûõ íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìûõ öåíòðàëüíûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ àïïðîêñèìàöèþ ïÿòîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.2. Ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ ëîêàëüíûõ èíòåðïîëÿöèîííûõ íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìûõ ëåâîñòîðîííèõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ, îáåñïå÷èâàþùèõàïïðîêñèìàöèþ ïÿòîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.3. Ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé ñ ïðèìåíåíèåì áàçèñíûõ ñïëàéíîâ ïÿòîãî ïîðÿäêàïåðâîé âûñîòû, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèéñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.4.
Ïîñòðîåíèå è èññëåäîâàíèå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ñ ïðèìåíåíèåì ïîñòðîåííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.5. Ñîñòàâëåíèå ïðîãðàìì è ïðîâåäåíèå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, à òàêæåâèçóàëèçàöèè ïðèáëèæåíèé è ïîãðåøíîñòåé ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé îäíîéïåðåìåííîé.6. Ïîñòðîåíèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ, ðàçðûâíûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé ñïëàéíàìè äâóõ ïåðåìåííûõ,à òàêæå íåïðåðûâíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðèáëèæåíèé ñïëàéíàìè äâóõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé, ïðîâåäåíèå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ñðàâíåíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðàêòè÷åñêèõ ïîãðåøíîñòåé ïðèáëèæåíèé.7. Ïîñòðîåíèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé öåíòðàëüíûìè è ëåâîñòîðîííèìè ïîëèíîìèàëüíûìè è òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ñïëàéíàìè äâóõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïðîâåäåíèå÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ñðàâíåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèé, ðàçðàáîòêà ïðîãðàìì äëÿ âèçóàëèçàöèè ðåçóëüòàòîâ.4Ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó1.
Ëåâîñòîðîííèå è öåíòðàëüíûå ïîëèíîìèàëüíûå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå áàçèñíûå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû ïåðâîé âûñîòû, îáåñïå÷èâàþùèå ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ïÿòîãî ïîðÿäêà è ñîõðàíÿþùèå êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîñòðàíñòâà (ïëîùàäè è îáúåìû). Ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ñòðîÿòñÿ îòäåëüíî íà êàæäîì ñåòî÷íîì èíòåðâàëå. Äëÿïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåíèé èñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè è å¼ ïåðâîéïðîèçâîäíîé â óçëàõ ñåòêè, à òàêæå çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ îò ôóíêöèè ïîñåòî÷íûì èíòåðâàëàì.2. Òåîðåìû îá îöåíêàõ ïîãðåøíîñòåé ñïëàéíîâûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé èèõ ïåðâûõ äâóõ ïðîèçâîäíûõ íà îòäåëüíîì ñåòî÷íîì ïðîìåæóòêå è íàâñåì ïðîìåæóòêå [a, b].3.
Ïðèìåíåíèå ïîñòðîåííûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ ïÿòîãîïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ.4. Äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ïðèáëèæåíèÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè ïÿòîãî ïîðÿäêà ïåðâîé âûñîòû è îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ.5. Áàçèñíûå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ, îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ. Ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ íåïðåðûâíîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ íà îñíîâå ýòèõ áàçèñíûõñïëàéíîâ, îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ.6. Ïðèáëèæåíèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ïîëèíîìèàëüíûìè è òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ñïëàéíàìè ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà ðàáîòå ïîñòðîåíû ëîêàëüíûå ïîëèíîìèàëüíûå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå áàçèñíûå ñïëàéíû, òàêèå, ÷òî èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ è ïîñòðîåííîå ïðèáëèæåíèå äàþò îäèíàêîâûå êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîñòðàíñòâà (ïëîùàäè è îáúåìû).
Àïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèé ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè çíà5÷åíèé ôóíêöèè, åå ïðîèçâîäíûõ â óçëàõ ñåòêè, èíòåãðàëàì ïî ñåòî÷íûì èíòåðâàëàì è ïðåäëàãàåìûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ. Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè èìååò ïÿòûé ïîðÿäîê.Ëè÷íûé âêëàä àâòîðàËè÷íûé âêëàä àâòîðà ñîñòîèò â âûïîëíåíèè èññëåäîâàíèé, èçëîæåííûõ âäèññåðòàöèîííîé ðàáîòå, ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ ïîñòðåíèÿ ïðåäëîæåííûõ àïïðîêñèìàöèé, ïðîâåäåíèè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, à òàêæå â îôîðìëåíèè ðåçóëüòàòîâ â âèäå ñòàòåé è íàó÷íûõ äîêëàäîâ.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü äàííîé ðàáîòå ïðåäëàãàþòñÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìàöèé ôóíêöèé îäíîé è äâóõ ïåðåìåííûõ. Âïåðâûå òàêîéïîäõîä áûë ïðåäëîæåí Êèðååâûì Â.È.
Äàííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ïîëó÷àåìûìàïïðîêñèìàöèÿì óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ êîíñåðâàòèâíîñòè, òî åñòü ñîõðàíÿòüèíòåãðàëüíûå ñâîéñòâà àïïðîêñèìèðóåìûõ ôóíêöèé, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîâûøàòüêà÷åñòâî àïïðîêñèìàöèè ïðè ìîäåëèðîâàíèè òåõíè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé çà ñ÷¼òñîõðàíåíèÿ ðàâåíñòâ ïëîùàäåé è îáú¼ìîâ.Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé, ïîñòðîåíèÿ ïîâåðõíîñòåé, îáðàáîòêè ÷èñëîâûõ ïîòîêîâ.Äîêëàäû è ïóáëèêàöèè ïî òåìå äèññåðòàöèîíííîé ðàáîòûÍà òåìó äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû âûïîëíåíû ïóáëèêàöèè: [1, 2, 3, 4, 5, 6], èçíèõ [1, 2, 3] â èçäàíèÿõ, èíäåêñèðóåìûõ â ðåôåðàòèâíûõ áàçàõ Scopus è Webof Science, à òàêæå íà òåìó äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû îïóáëèêîâàí äîêëàä [7].Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ïÿòè ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ, áèáëèîãðàôèè èïðèëîæåíèÿ. Îáùèé îáúåì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 106 ñòðàíèö.  òåêñòå ðàáîòû ñîäåðæèòñÿ 16 òàáëèö è 55 ðèñóíêîâ.
 áèáëèîãðàôèè ðàáîòû ñîäåðæèòñÿ113 íàèìåíîâàíèé.  ïðèëîæåíèè ïðèâåä¼í 1 ëèñòèíã ïðîãðàììû.6Îñíîâíîå ñîäåðæàíèåÂïåðâîé ãëàâåðàññìàòðèâàåòñÿ ïîñòðîåíèå íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóå-ìûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äàííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ, çíà÷åíèéôóíêöèè è å¼ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé â óçëàõ ñåòêè, à òàêæå çíà÷åíèé èíòåãðàëîâîò ýòîé ôóíêöèè ïî ñåòî÷íûì èíòåðâàëàì.Ðàññìîòðèì ïðîìåæóòîê [a, b], ãäå a è b âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Âîçüì¼ì íàòóðàëüíîå ÷èñëî n è ïîñòðîèì ñåòêó óçëîâ {xj } ñ øàãîì h =(b−a)n .Ïóñòü â óçëàõñåòêè {xj } çàäàíû çíà÷åíèÿ ôóíêöèè u, u ∈ C 5 [a, b], è åå ïåðâîé ïðîèçâîäíîé,à òàêæå èçâåñòíû çíà÷åíèÿR xk+1xku(t)dt.
Ðàññìîòðèì íà êàæäîì [xk , xk+1 ] ïðè-áëèæåíèå äëÿ u(x) â âèäå:ue(x) = u(xk )ωk,0 (x) + u(xk+1 )ωk+1,0 (x)++ u0 (xk )ωk,1 (x) + u0 (xk+1 )ωk+1,1 (x) +Z!xk+1u(t)dtωk<1> (x), (1)xkãäå ωk,0 (x), ωk+1,0 (x), ωk,1 (x), ωk+1,1 (x), ωk<1> (x), supp ωk,α = [xk−1 , xk+1 ], α = 0, 1,supp ωk<1> = [xk , xk+1 ], îïðåäåëÿåì èç óñëîâèéue(x) = u(x) ïðè u(x) = xi , i = 0, 1, 2, 3, 4.Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì ôîðìóëû áàçèñíûõ ñïëàéíîâ ïðè x ∈[xk , xk+1 ]:ωk,0 (x) = (5x + h − 5xk )(−3x + h + 3xk )(xk + h − x)2 /h4 ,ωk+1,0 (x) = −(−xk + x)2 (−3x + 3xk + 2h)(−5x + 5xk + 6h)/h4 ,ωk<1> (x) = 30(−xk + x)2 (xk + h − x)2 /h5 ,ωk,1 (x) = (−xk + x)(2h − 5x + 5xk )(xk + h − x)2 /(2h3 ),ωk+1,1 (x) = (−xk + x)2 (−5x + 3h + 5xk )(xk + h − x)/(2h3 ).Àïïðîêñèìàöèè âèäà (1) áóäåì íàçûâàòü öåíòðàëüíûìè.Äîêàçàíà ëåììà îá îöåíêå ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè, à òàêæå å¼ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîäíûõ.Ëåììà 1.Ïóñòü ôóíêöèÿ u ∈ C (5)[xk , xk+1].
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
