Диссертация (1149802), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Уравнения (1.11)-(1.14) представляют собойуравнения движения макрочастицы. Подставив уравнения (1.6), (1.7), (1.9) вуравнения (1.4), (1.5), получим выражения для вычисления плотности пространственного заряда и плотности тока с использованием макрочастицρ(t, r) =∑∑αiqαi Sr (r, rαi (t)),(1.15)20j(t, r) =∑∑αvαi qαi Sr (r, rαi (t)) =∑jα (t, r).(1.16)αiЗдесь qαi = qα Npαi — заряд i-й макрочастицы в потоке с номером α, jα — плотность тока отдельно взятого потока с номером α.1.4 Постановка задачи моделирования потоков заряженныхчастиц в электростатическом приближенииС учетом вышесказанного, рассмотрим постановку задачи расчета самосогласованных стационарных электромагнитных полей и динамики стационарныхпотоков макрочастиц.Рассмотрим расчетную область Ω = Ω ∪ Γ, где Γ = Γ1 ∪ Γ2 — граница расчетной области.
Предположение о том, что электрическое поле в рассматриваемойсистеме является безвихревым, позволяет свести систему уравнений Максвелла(1.3) к уравнениям Ампера и Пуассона для вычисления индукции магнитногополя B, электрического потенциала U и напряженности электрического поля E.rotB(r, t) = µj(r, t),∆U (r, t) = −ρ(r, t),ε(1.17)приr ∈ Ω,E(r, t) = −gradU (r, t),(1.18)(1.19)с граничными условиямиU (r, t) = g(r),приr ∈ Γ1 ,(1.20)∂U (r, t)= 0, при r ∈ Γ2 .∂nЗдесь g(r) — некоторая функция, описывающая потенциалы электродов в рассматриваемой задаче, n — вектор нормали к границе Γ2 . Плотность простран-21ственного заряда ρ(r, t) и плотность тока j(r, t) определяется с помощью уравнений (1.15) и (1.16) соответственно.В дальнейшем всюду приведенные импульсы частиц будем обозначать pp = vγ/c,√где γ = 1 + p2 — фактор Лоренца; c — скорость света.
Введем независимуюпеременную τ = ct. Тогда уравнения движения макрочастиц (1.11), (1.12) запишем в видеdpαiqα=(Eαi (r, t) + [vαi × Bαi (r, t)]) ,dτm0α c2pαdrαi= i,dτγαiс начальными условиямиrαi (0) ∈ Γeα ,pαi (0) =p0αi (0).(1.21)(1.22)Здесь i = 1 . . . Niα — номера частиц в потоке с номером α, α = 1 . . . Nα ; p0αi (0)— начальные импульсы частиц; m0α — масса покоя частиц в потоке с номером√α; γ = 1 + r2 — фактор Лоренца; Γeα — поверхность эмиссии потока частиц сномером α; Eαi и Hαi вычисляются с помощью уравнений (1.13) и (1.14) соответственно.При этом плотность тока частиц на эмиттере каждого потока является некоторой функцией распределения и также зависит от начальной скорости частиц∫jα (r, t) = jemα (r, v, t)dv, при r ∈ Γeα .(1.23)Здесь jemα (r, v, t) — распределение тока эмиссии на поверхности Γeα в моментвремени t.
Зависимость jemα от v будет считаться заданной (например, распределение Максвелла по скоростям). В дальнейшем в обозначениях мы будем ис∫пользовать распределение модуля плотности тока jemα (r, t) = jemα (r, v, t)dvвдоль эмиттера.22В случае, когда ток эмиссии для потока с некоторым номером α задан (например, определяется свойствами катода), jemα (r, t) не зависит от времени иявляется некоторой известной функцией j emα (r)jemα (r, t) = j emα (r).(1.24)В случае, когда ток ограничен пространственным зарядом, функция jemα (r, t)подлежит определению из условия равенства нулю нормальной компоненты напряженности электрического поля En на эмиттереEn (r, t) = 0,приr ∈ Γeα .(1.25)На практике, при выполнении численных расчетов, выполнение непрерывного условия (4.8) сведем к набору дискретных условий, каждое из которыхбудет представлять среднее значение En (r) на отдельном участке эмиттера Γpeα ,∪p = 1 .
. . Nαp , Γpe = Γe . Кроме того, достаточно строгое выполнение услоpвия (4.8) при численных расчетах невозможно в силу неустойчивого характерастационарного состояния пучка. Малые изменения в начальных данных пучкаприводят к существенным изменениям распределения электрического поля, чтоможет привести к возникновению замедляющего поля на эмиттере, запираниютраекторий и расходимости решения. Соответственно, значение En (r) на эмиттере должно быть ускоряющим, но достаточно малым, так, чтобы малое изменение тока эмиссии уже приводило к изменению знака En (r).
Таким образом,представим задачу выполения условия (4.8) для каждого потока с номером α,эмиссия которого ограничена пространственным зарядом как задачу минимизации вектор-функции0 Eav (Γeα ) ... Nj Eav (Γeα ) → 0. ... NpEav (Γeα )(1.26)23NЗдесь Eav (Γeαj ) — среднее значение нормальной компоненты электрического поNля на кривой Γeαj . Введем два непересекающихся множества номеров потоков:αlim и αconst , αlim ∪ αconst = 1 .
. . Nα .Требуется найти решение задачи (1.17)-(1.23) с выполнением условия (1.24)для всех номеров потоков частиц α, таких что α ∈ αconst и условия (1.26) длявсех номеров потоков частиц α, таких что α ∈ αlim . Под решением задачи будемпонимать распределение электростатического и магнитного полей, траекториичастиц и плотности токов эмиссии для номеров потоков α ∈ αlim .
При этом,найденные решения могут быть как стационарными, не зависящими от времени, так и нестационарными. Наличие или отсутствие стационарных решенийцеликом зависит от параметров рассчитываемой задачи (геометрии, напряженийна электродах, размера области эмиссии и т. д.) и определяется практически врезультате проведения серий численных экспериментов.1.5 Дискретизация задачи на расчетной сетке. ВесовыефункцииПусть расчетная область Ω покрыта расчетной сеткой Ωh . Для решения уравнений (1.17)-(1.20) каким-либо методом на данной сетке, необходимо определять значения плотности пространственного заряда ρ и плотности тока j в узлахсетки. В качестве сеточных значений данных функций будем использовать ихусредненные значения по области ωg объема Vg , соответствующего объему сеточной ячейки вокруг узла сетки g, g = 1 .
. . Ng .1ρg (t) =Vg∫ρ(r, t)dr,ωg1jg (t) =Vg∫j(r, t)dr.ωg24Подставив сюда выражения (1.15), (1.16), получим∫1 ∑∑ρg (t) =qαi Sr (r, rαi (t))dr,Vg α iωg∫1 ∑∑jg (t) =vαi qαi Sr (r, rαi (t))dr.Vg α iωgНазовем весовой функцией S(rg , r) следующее выражение∫S(rg , r) =Sr (r, r(t))dr.(1.27)ωgЗдесь rg — вектор положения узла сетки с номером g. Тогда сеточные значенияплотностей заряда и тока запишутся в виде1 ∑∑qαi S(rg , rαi (t)),Vg α i(1.28)1 ∑∑vαi qαi S(rg , rαi (t)).Vg α i(1.29)ρg (t) =jg (t) =Для вычисления полей, действующих на макрочастицу (1.13), (1.14), воспользуемся в этих выражениях интерполяцией по ближайшему соседуE(r, t) = E(rg , t),где rg — ближайший к r сеточный узел, т.
е. r ∈ ωg . Тогда выражение (1.13)запишем в виде∫Eαi =E(rg , t)Sr (r, rαi )dr =∑g∫E(rg , t)Sr (r, rαi )dr,(1.30)ωgгде суммирование идет по всем узлам сетки. Подставив (1.27) в (1.30) и проводя аналогичные преобразования для выражения (1.14), получим выражения длявычисления действующего на макрочастицу поля∑Eαi =E(rg , t)S(rg , rαi (t)),g(1.31)25Bαi =∑B(rg , t)S(rg , rαi (t)).(1.32)g1.6 Концепция метода частиц в ячейкахВ настоящее время наиболее популярными методами типа частица-сетка длярешения задачи (1.17)-(1.23), (1.24), (1.26) являются метод частиц в ячейках иитерационный метод.Метод частиц в ячейках естественным образом моделирует процесс движения частиц в электромагнитных полях с учетом их собственного влияния другна друга.
Для этого необходимо выбрать шаг дискретизации по времени ∆t иинжектировать макрочастицы в расчетную область на каждом шаге, исходя издискретизации начальных условий (1.22), добавляя их к уже существующим частицам. При этом, каждой макрочастице должен быть приписан некоторый зарядqαi , определяемый по плотности тока эмиссии в некоторой малой окрестноститочки ее вылета и шагу ∆t. На каждом шаге решаются уравнения поля (1.17)(1.18) с учетом распределения пространственного заряда и токов, рассчитанныхс помощью (1.28) и (1.29), вычисляется сила, действующая на частицы (1.31),(1.32) и рассчитываются их новые положения и импульсы, исходя из уравнений движения макрочастиц (1.21).
Для потоков, эмиссия которых ограниченапространственным зарядом, на каждом шаге необходимо каким-либо образомопределять ток эмиссии исходя из условия (1.26). Так же, на каждом шаге длявсех частиц должны быть проведены проверки пересечения ими границ расчетной области и поглощенные частицы должны быть исключены из дальнейшегопроцесса расчета. Схема алгоритма метода частиц в ячейках представлена нарис. 1.3.Если характеристики источника обеспечивают достижение им стационарногорежима работы (например нет осциллирующих потоков, запирающих эмиссию),спустя некоторое время, потоки заряженных частиц естественным образом вой-26дут в стационарную стадию, при которой ток эмиссии, плотность заряда и токовбудут постоянными.
Одно из этих условий может служить критерием окончаниярасчета, например Iα (t + ∆t) − Iα (t) < εI ,Iα (t + ∆t)α = 1 . . . Nα ,(1.33)где Iα (t) — ток эмиссии потока с номером α в момент времени t, εI — некотораязаранее заданная точность. Иначе, если стационарный режим не достигается,критерием окончания может служить ограничение по временному итервалу.Риcунок 1.3: Схема метода частиц в ячейках271.7 Концепция итерационного методаКонцепция итерационного метода основана на том предположении, что задача (1.17)-(1.23), (1.24), (1.26) имеет стационарное решение, откуда следует недостаток этого метода — в случае отсутствия стационарных решений, его применение не даст никакого результата.Пусть ρg и jg — значения плотности заряда и плотности тока в узлах расчетной сетки, g = 1 .
. . Ng . Концепцию итерационного метода можно сформулировать используя следующее рассуждение: если задача (1.17)-(1.23), (1.24), (1.26)имеет стационарное решение, это означает, что ρh , jg не зависят от времени.При этом, поток частиц, проходящий в расчетной области, не вызывает изменения распределения плотности пространственного заряда в ней, что эквивалентноследующему уравнениюρg = f c (ρg ),g = 1 . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
