Диссертация (1149802), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждалисьна следующих конференциях и семинарах: IVESC-2014 (International VacuumElectron Sources Conference, 2014, Санкт-Петербург); BDO-2014 (Beam Dynamicsand Optimization, 2014, Санкт-Петербург); LINAC14 (27th Linear AcceleratorConference, 2014, Женева); ВСПУ-2014 (XII Всероссийское совещание по проблемам управления, 2014, Москва); XI Международный семинар по проблемам ускорителей заряженных частиц памяти В.
П. Саранцева (2015, Алушта);SCP-2015 (III International conference stability and control processes, 2015, СанктПетербург).Публикации.Основные положения диссертации изложены в 15 опубликованных в печатиработах [19, 21, 22, 26, 27, 38, 52–60], из них 4 статьи в рецензируемых журналах,входящих в перечень ВАК [55–58]. Работы [19,22,26,27,38,52,53] опубликованыв изданиях, индексируемых в Scopus.Личный вклад автора. Все положения, выносимые на защиту, полученылично автором.Структура диссертационной работы.13Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 130 страниц, среди них 5 таблиц и 59 рисунков.Список литературы включает 109 наименований.14Глава 1Методы моделирования динамики пучковзаряженных частиц1.1 Система уравнений ВласоваРассмотрим расчетную область Ω = Ω ∪ Γ, где Γ — граница расчетной области.
Потоком частиц в дальнейшем будем называть множество частиц одноготипа, эмиттируемых в расчетную область Ω с одной непрерывной поверхностиили кривой старта (эмиттера). Массу, массу покоя и заряд частиц в потоке с номером α будем обозначать далее как mα , m0α и qα соответственно. Рассмотриммодели описания динамики пучка заряженных частиц, который может состоятьиз нескольких потоков частиц разного типа.Пусть nα (t, x, y, z, px , py , pz ) = nα (t, r, p) — функция распределения плотности частиц в потоке с номером α = 1 . . .
Nα в пространстве координат r и импульсов p. Эти функции удовлетворяют уравнению Власова [61–63]dnα∂nα ∂nα∂nα=+v+Fα = 0.dt∂t∂r∂p(1.2)Здесь Fα = qα (E + [vB]) — сила Лоренца; E — напряженность электрическогополя; B — индукция магнитного поля; v — скорость.Уравнение Власова является математической моделью, описывающей динамику пучка взаимодействующих заряженных частиц или плазмы с учётом дальнодействующих кулоновских сил. Компоненты электромагнитного поля опреде-15ляются из уравнений МаксвеллаdivE = ρ/ε,divB = 0,∂B,∂t1 ∂ErotB = 2+ µj.c ∂trotE = −(1.3)Здесь ε и µ — диэлектрическая и магнитная проницаемости материала среды;ρ и j — объемная плотность пространвенного заряда и вектор плотности тока,определяемые через фазовую плотность частиц∑ ∫ρ(t, r) =qα nα (t, r, p)dp,(1.4)αj(t, r) =∑∫qαvnα (t, r, p)dp.(1.5)αЭлектромагнитное поле в системе уравнений (1.2), (1.3) является самосогласованным.
Для решения уравнения Власова (1.2) необходимо определить распределения компонент электромагнитного поля из уравнений Максвелла (1.3), которые, в свою очередь, зависят от решения уравнения Власова (1.2) согласно (1.4),(1.5). В общем случае, система уравнений Власова-Максвелла является нелинейной, при этом полное её аналитическое исследование невозможно [61,62,64–67].В связи с этим, интенсивное развитие получили различные численные методырешения уравнения Власова — методы частиц, конечно-разностные методы, метод конечных элементов.1.2 Модели частицДля численного решения системы уравнений Власова (1.2)–(1.5) применяются три типа вычислительных алгоритмов — эйлеровы алгоритмы, лагранжевы исмешанные, эйлерово-лагранжевы алгоритмы.16В подходе Эйлера ведется наблюдение за изменением характеристик моделируемой среды в фиксированных точках пространства, например в узлах неподвижной расчетной (эйлеровой) сетки.
К данной группе методов, например относятся методы конечных разностней и конечных элементов [34,68,69]. Однако,широкого распространения в задачах моделирования динамики пучков и плазмыданные методы не получили, причиной чего стало большое количество недостатков данных методов, например большой требуемый объем вычислений, рекуррентные явления, неточность работы для областей с большими градиентамифункции распределения.Более широкое распространение при практических расчетах получил подходЛагранжа, при котором необходимо следить за движением различных выбранных частиц, и смешанный подход.
Примерами применения данных подходовк исследованию динамики пучков заряженных частиц и плазмы являются модели частиц [33, 35, 39]. Выделяют три основных типа вычислительных моделей частиц: модель частица-частица, частица-сетка и модель частица-частица —частица-сетка [33].Метод частица-частица является простейшим способом учета взаимодействия заряженных частиц с понятийной точки зрения. В таком случае пучокчастиц представляется в виде макрочастиц определенной формы, зависящей отразмерности задачи и свойств симметрии рассматриваемой системы.
Напримерк такой группе моделей относятся модель плоских листов, дисковые и кольцевые модели [12, 70–72]. Частицы могут обладать нулевым объемом (напримермодель тонких дисков), или иметь конечный объем (напрмиер модель толстыхдисков). Использование частиц нулевого размера приводит к завышению влияния ближних взаимодействий, или короткодействующих сил.
В то время какдля частиц конечного объема сила взаимодействия при их сближении сначалавозрастает, а затем, при проникновении частиц друг в друга снижается до нуля,что означает снижение влияния ближних взаимодействий. Схематично сравнение силы взаимодействия частиц конечного и нулевого размеров представлено17на рис. 1.2.
Существенным недостатком данного метода является его высокаявычислительная сложность — O(N 2 ), где N — число модельных частиц. Однако,в ряде случаев (например кольца или набор дисков в полой металлической трубе), с помощью данного метода удается получить аналитические выражения длякулоновского поля пучка взаимодействующих частиц. Данные модели нашлисвое применение в задачах оптимизации динамики пучков в линейных ускорителях заряженных частиц [10, 11, 19, 26, 27, 73]. Метод частица-частица являетсялагранжевым алгоритмом.В методе частица-сетка заряженная среда моделируетсяFусредненными по некоторомуСила КулонаСила взаимодействиячастиц конечного размераправилу значениями плотностей заряда и тока в узлах эйлеровой сетки, получаемых израсчетов траекторий макроча-012345r/∆r 6стиц.
Распределения электромагнитных полей вычисляют-Риcунок 1.2: Взаимодействие частиц. Здесь r — ся в узлах сетки с помощьюрасстояние между частицами, ∆r — размеррешения уравнения Пуассоначастицыили полной системы уравнений Максвелла. Сила вычис-ляется значительно быстрее, чем в методе частица-частица. Ситуация в данномслучае будет аналогична случаю, представленному на рис. 1.2. Однако для систем с преобладающими дальнодействующими силами, этот недостаток не вносит существенных ошибок в расчеты. Дополнительно, модели частиц позволяютестественным образом учесть многие физические эффекты, такие как эмиссияи поглощение частиц, их рассеяние или отражение, возникающие при изучении источников заряженных частиц или ускорителей. Таким образом, методычастица-сетка относятся к смешанным эйлерово-лагранжевым подходам.
К та-18кой группе методов относятся метод частиц в ячейках и итерационный методрешения стационарных задач.Смешанный метод частица-частица — частица-сетка может применяться принеобходимости учета ближних взаимодействий, при этом сохраняя простоту вычисления дальнего взаимодействия в методе частица-сетка. Действующая междучастицами сила расщепляется на две части — быстроменяющаяся близкодействующая часть, отличная от нуля только на нескольких межчастичных расстояниях и медленноменяющаяся дальнодействующая часть, достаточно гладкая дляточного представления на расчетной сетке.
Метод частица-частица используетсядля нахождения близкодействующей силы для каждой частицы, а метод частицасетка используется для вычисления суммарной дальнодействующей составляющей силы.1.3 Макрочастицы в моделях частица-сеткаМатематическая формулировка методов частиц выводится из предположенияо представлении функции распределения для каждого потока частиц виде суммыnα (t, r, p) =∑nαi (t, r, p).(1.6)iКаждая функция nαi представляет собой функцию распределения плотностимакрочастицы, совокупности из Npαi физических частиц, близких друг к другув фазовом пространстве. В общем случае, функции nαi представляются в видеnαi (t, r, p) = Npαi Sr (r, rαi (t))Sp (p, pαi (t)).(1.7)Здесь Sr (r, rαi (t)) и Sp (p, pαi (t)) — функции распределения распределения плотности в макрочастице по координатам и импульсам (функции формы), а rαi (t)и pαi (t) — координаты, определяющие положения макрочастиц в фазовом пространстве.
Функции формы симметричные, положительно определенные и дляних выполняется условие нормировки19∫S(x, y)dx = 1.(1.8)xВ стандартных методах частиц функция Sp (p, pαi (t)) берется в виде дельтафункции ДиракаSp (p, pαi (t)) = δ(p − pαi (t)).(1.9)Такой выбор означает, что в состав макрочастицы входят физические частицы содинаковой скорость. Выбор функции Sr (r, rαi (t)) также в виде дельта-функцииприведет к модели частиц нулевого размера.
Однако, такой выбор не используется на практике, поскольку он порождает возникновение значительных нефизических шумов в решении и флуктуаций плотности.Подставив уравнения (1.6)–(1.9) в уравнение Власова и рассмотрев уравнения сохранения его первых трех моментов, можно получить уравненияdNαi= 0,dtdrαipαi=,dtγαi m0αdpαi= qα (Eαi + [vαi × Bαi ]) ,dt ∫Eαi =∫Bαi =(1.10)(1.11)(1.12)E(r, t)Sr (r, rαi )dr,(1.13)B(r, t)Sr (r, rαi )dr.(1.14)Уравнение (1.10) означает постоянство во времени числа физических частиц,входящих в состав макрочастицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
