Автореферат (1149718), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ðåçóëüòàòû ïî àññèìïòîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ ðåøåíèÿ ïðèíàäëåæàò äèññåðòàíòó.  ðàáîòå [3*] âòîðîìó ñîàâòîðó ïðèíàäëåæèò ïîñòàíîâêà çàäà÷, ïåðâîìó ñîàâòîðó ïðèíàäëåæàò ðåçóëüòàòû ïî èññëåäîâàíèþ óñòîé÷èâîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèìâîëîâîïåðàòîðîâ. Âñå ðåçóëüòàòû ïî óñòîé÷èâîñòè âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâà ïðèíàäëåæàò äèññåðòàíòó.Îáúåì è ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè. Äèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ñîñòîèòèç ââåäåíèÿ, ÷åòûðåõ ãëàâ, ðàçáèòûõ íà ðàçäåëû (âñåãî 15 ðàçäåëîâ), çàêëþ÷åíèÿ, ñïèñêà ëèòåðàòóðû, âêëþ÷àþùåãî 53 íàèìåíîâàíèé. Ðàáîòà èçëîæåíàíà 88 ñòðàíèöàõ ìàøèíîïèñíîãî òåêñòà è ñîäåðæèò 4 ðèñóíêà.ÎÑÍÎÂÍÎÅ ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÐÀÁÎÒÛ ïåðâîé ãëàâå ïðèâîäÿòñÿ íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ïðîöåññå ìèêðî-âîëíîâîãî íàãðåâà.
Îïèñûâàþòñÿ ïðèìåíåíèÿ ìèêðîâîëíîâîãî íàãðåâà ìàòåðèàëà â ïðîìûøëåííîñòè è â ìåäèöèíå. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ìåäèöèíñêîìó âîïðîñó. Âûâîäèòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü (íà÷àëüíî-êðàåâàÿçàäà÷à), îïèñûâàþùàÿ ìèêðîâîëíîâûé íàãðåâ ìàòåðèàëà. Ýòà ìîäåëü ñâîäèòñÿ ê îäíîìåðíîé ìîäåëè ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé ïðè îïðåäåëåííûõïðåäïîëîæåíèÿõ.Âî âòîðîé ãëàâå ïðèâîäèòñÿ ïîíÿòèå ïðîöåññà, âïåðâûå ïðåäëîæåí-íîå â ðàáîòå C.M. Dafermos ([4]), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì êîöèêëà,ââîäèòñÿ ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè äëÿ ïðîöåññà. ðàçäåëå 2.1 ïðèâîäÿòñÿ èçâåñòíûå ýëåìåíòû òåîðèè ïðîöåññîâ, ïîíÿòèåóñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè äëÿ ïðîöåññà è òåîðåìà îäîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ óñòîé÷èâîñòè.Ïóñòü (N , ρN ) - ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ââåä¼ì ïîíÿòèå ïðîöåññàíà N :Îïðåäåëåíèå 1.ãäåψ : D → N íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì íà N ,D = {(t, s, u)|(t, s, u) ∈ R+ × R × N }, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèåñâîéñòâà:Îòîáðàæåíèå71.
ψ 0 (s, ·) = IN - òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå íà N äëÿ âñåõ s ∈ R.002.ψ t+t (s, u) = ψ t (t0 + s, ψ t (s, u)) äëÿ âñåõ (s, u) ∈ R × N , t, t0 ∈ R+ .Ââåä¼ì ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå äëÿ ïðîöåññà:Îïðåäåëåíèå 2.(ψ, (N , ρN )) íàçûâàåòñÿ (α, β, t0 , T 0 , ρN , p)0-óñòîé÷èâûì, ãäå 0 < α ≤ β, t0 > 0, T ≥ 0 - ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà, p ∈ N ,0tåñëè èç óñëîâèÿ ρN (p, ψ (s, us )) < α ñëåäóåò, ÷òî ρN (p, ψ (s, us )) < β äëÿ0âñåõ t ∈ [t0 , t0 + T ), s, us ∈ R × N .Ïðîöåññ ñëó÷àå, åñëè N ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì, âìåñòî ïîíÿòèÿ(α, β, t0 , T 0 , ρN , p)-óñòîé÷èâîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå (α, β, t0 , T 0 , k·kN )óñòîé÷èâîñòè. ðàçäåëå 2.2 ïðèâîäÿòñÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè â îäíîìåðíîé çàäà÷å íàãðåâà ñ ïîìîùüþ îöåíêèðàçíûõ íîðì ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ. ðàçäåëå 2.3 ïðèâîäÿòñÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè â îäíîìåðíîé çàäà÷å íàãðåâà ñ ïîìîùüþ îöåíêèôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç ïàðàáîëè÷åñêîãî è ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèé â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà è òåïëîïðîâîäíîñòè:wtt − wxx + σ(θ)wt = 0,x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),(1)θt − θxx = σ(θ)wt 2 ,x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ),(2)w(0, t) = 0, w(1, t) = 0,t ∈ (0, T ),(3)θ(0, t) = θ(1, t) = 0,t ∈ (0, T ),(4)θ(x, 0) = θ0 (x),x ∈ (0, 1),(5)w(x, 0) = w0 (x), wt (x, 0) = w1 (x),x ∈ (0, 1),(6)ãäå θ - òåìïåðàòóðà, w - èíòåãðàë ïî âðåìåíè îò íåíóëåâîé êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, σ - ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü, êîòîðàÿ çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû, T > 0, θ0 , w0 , w1 - çàäàííûå ôóíêöèè.Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå v(x, t) := wt (x, t).
Òîãäà çàäà÷à (1) − (6) èìååò ñëàáîå ðåøåíèå (w(x, t), v(x, t), θ(x, t)) â ïðîñòðàíñòâå Z := (C([0, T ]; L2 (0, 1)))2 ×(L2 (0, T ; H1 (0, 1)) ∩ C([0, T ]; L2 (0, 1))) ([6]). Îïðåäåëèì íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî Y := H01 (0, 1) × L2 (0, 1) × L2 (0, 1) ñ íîðìîék(w, v, θ)k2Y = kwx k2L2 (0,1) + kvk2L2 (0,1) + kθk2L2 (0,1) ,(7)8ãäå (w, v, θ) ∈ Y .
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y(t) = y(t, t0 , y0 ) = (w(·, t), v(·, t), θ(·, t))êàê ðåøåíèå çàäà÷è (1) − (6) â ïðîñòðàíñòâå Y ñ íîðìîé (7), ãäå âìåñòî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè 0 áåðåòñÿ ïðîèçâîëüíîå 0 ≤ t0 < T òàêîå, ÷òîy(t0 , t0 , y0 ) = (w0 , w1 , θ0 ), ãäå w(·, t), v(·, t), θ(·, t) ∈ Y è óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå(1) − (6) â ñëàáîì ñìûñëå.Îòìåòèì, ÷òî íà ïðîòÿæåíèè âñåé ðàáîòû âî âñåõ ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, â îáîçíà÷åíèè êîòîðûõ âñòðå÷àåòñÿ ñèìâîë H , îí áóäåò çàìåí¼ííà H, ÷òîáû îòäåëèòü èõ îò íàïðÿæ¼ííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ H .Ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó îá óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè äëÿ ñèñòåìû (1) − (6), êîòîðàÿ äîêàçûâàåòñÿ â äàííîì ðàçäåëå:Òåîðåìà 1.α≤βÏóñòüJ := [t0 , t0 + T 0 ) ⊂ (0, T )- âðåìåííîé èíòåðâàë,0 <- ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, è ñóùåñòâóþò äèôôåðåíöèðóåìûé ïî ÔðåøåôóíêöèîíàëΦ:Y →Rè èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿg :J →Ròàêèå, ÷òîñëåäóþùèå óñëîâèÿ âûïîëíåíû:äëÿ ï.â.t ∈ J,è ïðîèçâîëüíûõdΦ(y(t)) < g(t)dtôóíêöèé y(·) ∈ Z, òàêèõ,(8)÷òîα ≤ ky(t)kY ≤β;Ztg(τ )dτ ≤ss, t ∈ J, s < t.Òîãäà çàäà÷à (1) − (6)miny∈Y :kykY =βΦ(y) −maxΦ(y)y∈Y :kykY =α(9)äëÿ ëþáûõáóäåò(α, β, t0 , T 0 , k · kY )-óñòîé÷èâà.Äëÿ çàäà÷è (1) − (6) îïðåäåëÿåòñÿ êîíêðåòíûé âèä ôóíêöèîíàëà Φ èôóíêöèè g , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû 1. ðàçäåëå 2.4 äîêàçàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîìïðîìåæóòêå âðåìåíè äëÿ òðåõìåðíîé çàäà÷å íàãðåâà.Ïóñòü Ω ⊂ R3 - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ, êîòîðàÿÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé è îäíîñâÿçíîé.
Ðàññìîòðèì çàäà÷óEt + σ(θ)E = ∇ × H,Ht + ∇ × E = 0,θt − 4θ = σ(θ)|E|2 ,ν × E(x, t) = 0, θ(x, t) = 0,x ∈ Ω, t ∈ (0, T ),x ∈ Ω, t ∈ (0, T ),x ∈ Ω, t ∈ (0, T ),x ∈ Γ, t ∈ (0, T ),(10)(11)(12)(13)9x ∈ Ω,θ(x, 0) = θ0 (x),E(x, 0) = E0 (x), H(x, 0) = H0 (x), x ∈ Ω,(14)(15)ãäå θ - òåìïåðàòóðà, E - íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, H - íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ, σ - ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü, êîòîðàÿ çàâèñèò îòòåìïåðàòóðû, θ0 , H0 , E0 , σ - çàäàííûå ôóíêöèè.Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî Y = H0 (rot, Ω) × H(rot, Ω) ∩ H0 (div 0, Ω) ×1H0 (Ω) ñ íîðìîék(E, H, θ)k2Y = kEkL2 (Ω)3 + kHkL2 (Ω)3 + kθkL2 (Ω) ,(16)ãäå (E, H, θ) ∈ Y .
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y(t) = y(t, t0 , y0 ) == (E(·, t), H(·, t), θ(·, t)) êàê ðåøåíèå çàäà÷è (10) − (15) ñ íîðìîé (16), ãäåâìåñòî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè 0 ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå t0 ≥ 0,ãäå (E(·, t), H(·, t), θ(·, t)) ∈ Y è óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå (10) − (15) â ñëàáîìñìûñëå. Òîãäà îòíîñèòåëüíî äàííîãî y ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîìïðîìåæóòêå âðåìåíè äëÿ òðåõìåðíîé çàäà÷è ìîæíî ïîíèìàòü êàê â îïðåäåëåíèè 2.Ââîäèì ôóíêöèîíàë Ëÿïóíîâà Φ(y) â âèäå1Φ(y(t)) = Φ(E, H, θ) =2Z1(kEk2 + kHk2 + aθ2 )dx,(17)0ãäå (E, H, θ) ∈ Y , a - íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà.Òåîðåìà 2.Ïóñòü çàäàíà âàðüèðóåìàÿ ôóíêöèÿcg(t) ≡ − α, t ∈ [0, T 0 )2(18)c := min{1, 2c2 , c3 }(19)ãäåσ1c2 := 1 − κ2 , c3 := −δ( 2κ+ 1), α - ïàðàìåòð èç îïðåäåëåíèÿ 2.
Ïðè ýòîìκ > 0 è δ - òàêèå ïàðàìåòðû, ÷òî âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ c2 > 0 è c3 > 0.Òîãäà ôóíêöèÿ Φ(y) èç (17) è g(t) èç (18) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû1 c t0 = 0, ÷òî îáåñïå÷èò óñòîé÷èâîñòü íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíècäëÿ òðåõìåðíîé çàäà÷è íàãðåâà (10)-(15). ðàçäåëå 2.5 ïðèâåäåíû ãðàôèêè ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ îäíîìåðíîé çàäà÷è ìèêðîâîëíîâîãî íàãðåâà êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì ìåòîäîì â MatLabè îïèñûâàåòñÿ ñâÿçü ýòèõ ãðàôèêîâ ñ òåîðåòè÷åñêèìè ðåçóëüòàòàìè.
Ãðàôèêèïîêàçàíû íà ðèñóíêàõ 1 è 2.10. Êîìïîíåíòà w(x, t) ðåøå-Ðèñ. 2. Êîìïîíåíòà θ(x, t) ðåøåíèÿíèÿ ñèñòåìû (10) − (15)ñèñòåìû (10) − (15)Ðèñ. 1 òðåòüåé ãëàâå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ìíîãîçíà÷íîãî ïðîöåññà, óñòîé÷è-âîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå äëÿ ìíîãîçíà÷íîãî ïðîöåññà, à òàêæå ïðèâîäÿòñÿ òåîðåìû, îïèñûâàþùèå ýòè ñâîéñòâà. ðàçäåëå 3.1 ïðèâîäÿòñÿ èçâåñòíûå ýëåìåíòû òåîðèè ëîêàëüíûõ ìíîãîçíà÷íûõ ïðîöåññîâ, ïîíÿòèå äâèæåíèÿ è ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëà Ëÿïóíîâàäëÿ ëîêàëüíîãî ìíîãîçíà÷íîãî ïðîöåññà.Ïóñòü (N , ρN ) - ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, 2N - ìíîæåñòâî âñåõíåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ N . Ââåä¼ì ïîíÿòèå ëîêàëüíîãî ìíîãîçíà÷íîãî ïðîöåññà íà N àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî â ðàáîòå [5].Îïðåäåëåíèå 3.ψ : D → 2N íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì ìíîãîD = {(t, s, u)|(s, u) ∈ R × N , t ∈ [0, b(s, u))},Îòîáðàæåíèåçíà÷íûì ïðîöåññîì íàN,ãäå[0, b(s, u)) - ìàêñèìàëüíûé ïðàâûé ïðîìåæóòîê ñóùåñòâîâàíèÿ îòîáðàtæåíèÿ ψ , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:1.
ψ 0 (s, ·) = IN - òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå íà N äëÿ âñåõ s ∈ R.002.ψ t+t (s, u) ⊂ ψ t (t0 + s, ψ t (s, u)) äëÿ âñåõ (s, u) ∈ R × N , ∀t0 ∈ [0, b(s, u)),0∀t ∈ [0, b(t0 , ψ t (s, u))), t + t0 < b(s, u).ãäåÒàêîé ëîêàëüíûé ìíîãîçíà÷íûé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ñòðîãèì, åñëè00ψ t+t (s, u) = ψ t (t0 , ψ t (s, u)).Îáîçíà÷èì J (s, us ) = {t ∈ R|t ∈ [0, b(s, us ))}, (s, us ) ∈ R × N .Îïðåäåëåíèå 4.(ψ, (N , ρN )) - ëîêàëüíûé ìíîãîçíà÷íûé ïðîöåññ.Çàôèêñèðóåì (s, us ) - òî÷êà â R×N . Ñåìåéñòâî îäíîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèéÏóñòüD(s, us ) := {t ∈ J (s, us ) → u(t) ∈ N },11ψ , êîòîðîå íà÷èíàåòñÿ â (s, us ), åñëè u(t) ∈ ψ t (s, u(s)),∀t ∈ J (s, us ) è u(s) = us . Êàæäîå òàêîå îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå íàçîâ¼ìðåàëèçàöèåé äâèæåíèÿ D(s, us ).íàçîâ¼ì äâèæåíèåìÂâåä¼ì ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëà Ëÿïóíîâà äëÿ ëîêàëüíîãî ìíîãîçíà÷íîãîïðîöåññà:Îïðåäåëåíèå 5.Ïóñòü(ψ, (N , ρN ))- ëîêàëüíûé ìíîãîçíà÷íûé ïðîöåññ.ÎòîáðàæåíèåΦ:R×N →Ríàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëîì Ëÿïóíîâà äëÿ ýòîãî ïðîöåññà, åñëè âûïîëíåíûñëåäóþùèå óñëîâèÿ:(i)Îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèéΦ(t, ·) : N → R, t ∈ Ríåïðåðûâíî;(ii) Äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãît∈RΦ̇(t, u) := lims→0+ sup 1s [Φ(t + s, ψ s (t, u)) − Φ(t, u)],ãäåt∈Rèu ∈ N. ðàçäåëå 3.2 ââîäÿòñÿ ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè è ïîíÿòèå íåóñòîé÷èâîñòè äëÿ ëîêàëüíîãî ìíîãîçíà÷íîãî ïðîöåññà.
Äàëåå ïðèâîäÿòñÿ äîñòàòî÷íûåóñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè, à òàê æå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íåóñòîé÷èâîñòè ëîêàëüíîãî ìíîãîçíà÷íîãî ïðîöåññà.Ââåä¼ì ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè äëÿëîêàëüíîãî ìíîãîçíà÷íîãî ïðîöåññà:Îïðåäåëåíèå 6.(ψ, (N , ρN )) íàçûâàåò0ñÿ (α, β, t0 , T , ρN , p)-óñòîé÷èâûì, ãäå 0 < α ≤ β, t0 > 0, T ≥ 0 - ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà, p ∈ N , åñëè äëÿ êàæäîé ðåàëèçàöèè u(·) ïðîèçâîëüíîãî äâèæå0íèÿ D(s, us ) = {t ∈ J (s, us ) → u(t) ∈ N }, s ≤ t0 , t0 + T ≤ b(s, us ), us ∈ N ,u(·) ∈ D(s, us ) ýòîãî ïðîöåññà èç óñëîâèÿ ρN (p, ut0 ) < α, ut0 = u(t0 ) ñëåäóåò,0÷òî ρN (p, u(t)) < β äëÿ âñåõ t ∈ [t0 , t0 + T ).Ëîêàëüíûé ìíîãîçíà÷íûé ïðîöåññ0Ââåä¼ì ïîíÿòèå íåóñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè äëÿëîêàëüíîãî ìíîãîçíà÷íîãî ïðîöåññà:12Îïðåäåëåíèå 7.(ψ, (N , ρN )) íàçûâàåò0ñÿ (α, β, t0 , T , ρN , p)-íåóñòîé÷èâûì, ãäå 0 < α ≤ β , t0 > 0, T ≥ 0 - ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà, p ∈ N , åñëè ñóùåñòâóåò äâèæåíèå D(s, us ), s ≤ t0 , t0 +T 0 ≤ b(s, us ), us ∈ N ýòîãî ïðîöåññà òàêîå, ÷òî ñóùåñòâóåò åãî ðåàëèçàöèÿu(·) ∈ D(s, us ), ρN (p, ut0 ) < α, ut0 = u(t0 ) è ìîìåíò âðåìåíè t1 ∈ (t0 , t0 + T 0 )òàêèå, ÷òî ρN (p, u(t1 )) = β .Ëîêàëüíûé ìíîãîçíà÷íûé ïðîöåññ0Ïðèâåäåì òåîðåìó î óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå ëîêàëüíîãîìíîãîçíà÷íîãî ïðîöåññà:Òåîðåìà 3.(ψ, (N , ρN )) - ëîêàëüíûé ìíîãîçíà÷íûé ïðîöåññ, J :=[t0 , t0 + T ) ⊂ J (s, us ) - âðåìåííîé èíòåðâàë, 0 < α ≤ β, s > 0 - ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, us ∈ N , p ∈ N , è ñóùåñòâóþò ôóíêöèîíàë ËÿïóíîâàΦ : J×N → R â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ (5) è èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ g : J → RÏóñòü0òàêèå, ÷òî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ âûïîëíåíû:(20)Φ̇(t, u(t)) < g(t)t ∈ J , è ïðîèçâîëüíûõ îòîáðàæåíèé u(t) ∈ C(t0 , t0 + T 0 ; N )α ≤ ρN (p, u(t)) ≤ β äëÿ ëþáîãî t ∈ J ;äëÿZòàêèõ, ÷òîtg(s)ds ≤säëÿ ëþáûõminu∈N :ρN (p,u)=βΦ(t, u(t)) −maxΦ(s, u(s))u∈N :ρN (p,u)=α(21)s, t ∈ J, s < t.Òîãäà ëîêàëüíûé ìíîãîçíà÷íûé ïðîöåññ(α, β, t0 , T 0 , ρN , p)-óñòîé÷èâûì.(ψ, (N , ρN ))áóäåò ðàçäåëå 3.3 ïîêàçûâàåòñÿ â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñóùåñòâîâàíèå ëîêàëüíûõ ìíîãîçíà÷íûõ ïðîöåññîâ äëÿ îäíîìåðíîé çàäà÷è íàãðåâà ñ îïåðàòîðîìýíòàëüïèè. ÷åòâ¼ðòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîíÿòèå ýâîëþöèîííîãî âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà. ðàçäåëå 4.1 îïèñûâàåòñÿ ñòðóêòóðà òàêîãî ýâîëþöèîííîãî âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
