Диссертация (1149675), страница 15
Текст из файла (страница 15)
При каждом пролете элемента ча-−50246Nстица испытывает одно и то же воздей-8104x 10Рис. 5.15. Динамика спина при наличииствие, однако конкретное распределение случайной ошибки задания вертикальногополя: красный цвет – σ(E ) = 0, η = 10−15 ,поля неизвестно. Ко второму типу ошибок зеленый – σ(E ) = 1·10−6 ,yη = 10−15 , синийy−6–σ(Ey ) = 1 · 10 , η = 0 (Sy – вертикальотносится, например, неустойчивость напряжения на обкладках дефлектора.ная компонента спина, N – число оборотовв кольце)Подобного рода ошибки приводят к вращению спина в вертикальной плоскости.
При этом если указанная частота соизмерима с частотой вращения спина,вызванной наличием ЭДМ частиц, то по измеренным данным нельзя сделатьвывод о наличии либо отсутствии ЭДМ.а)б)Рис. 5.16. Плотности распределения частоты вертикального вращения вектора спина: a) стационарная компонента поля 3σ(Ey ) = 10, б) временная ошибка 3σ(Ey ) = 10, δEy = 10−4На рисунках 5.16 и 5.17 представлены плотности распределения частотывращения вектора спина в вертикальной плоскости в зависимости от случайных ошибок. Для набора статистических данных случайное распределение ошибок разыгрывалось 100 раз, численное моделирование осуществлялось в течение 100000 оборотов.
Допустимая стационарная ошибка в задании вертикальной компоненты поля Ey = 10 В/м обеспечивает возможность измерения ЭДМ.96При ошибке в 100 В/м измерение ЭДМ не представляется возможным. В обоихслучаях дополнительная временная случайная ошибка δEy = 10−4 увеличиваетразброс возможных значений частоты вращения вектора спина в 2 раза.а)б)Рис. 5.17. Плотности распределения частоты вертикального вращения вектора спина: a) стационарная компонента поля σEy = 100, б) временная ошибка δEy = 10−4Случайные ошибки горизонтального поляОшибки в задании горизонтального поля, по аналогии с краевыми эффектами, изменяют магическую энергию частицы. В табл. 5.2 представлены результаты численного моделирования модельного электростатического кольца, в котором напряжение на обкладках дефлекторов имеет случайную ошибку, распределенную по нормальному закону в пределах интервала 3σ.Таблица 5.2.
Влияние краевого поляОшибка поля, 3σ00,000010,000050,00010Изменение магическойэнергии δW00,0000160,0000550,00011210−1010−1010−1010−10Порядок спиновыхаберрацийРезультаты экспериментов показывают, что при физически реализуемом уровнеконтроля точности напряжения δV = 1 · 10−4 магическая энергия частицы изменяется в таких же порядках, а спиновые аберрации (в пределах, указанных впараграфе 5.2.1) сохраняют свой порядок.97Встречные пучкиПри моделировании встречных пучков в электростатических полях, имеющих возмущенную вертикальную компоненту, также важно оценить наведеннуючастоту вращения спина.
Будем предполагать, что ошибки в задании вертикального поля распределены по нормальному закону Ey ∈ N (0, σ). Тогда для частотывращения ω(Ey ) вектора спина можно привести следующие положения.1. ω(Ey ) ∈/ N.2. < ω(Ey ) ≯= 0, несмотря на то, что < Ey >= 0.3. ωCW ̸= ωCCW .Здесь под оператором < · > понимается среднее значение случайной величины. Все указанные соотношения являются свойствами нелинейности спинорбитальной динамики.
Однако третье неравенство ставит под сомнение возможность использования встречных пучков для компенсации ошибок в вертикальном поле. Поясним этот пункт более подробно. Для этого рассмотрим тримодельных кольца, соответствующих движению частиц по и против часовойстрелки, а также против часовой стрелки в зеркально отраженных вертикальныхполях (см. рис. 5.18). Будем предполагать, что вертикальное поле в дефлекторахприсутствует в виду их случайных поворотов в диапазоне 3σ = 10−6 рад.a)б)Рис. 5.18. Движение частиц по и против часовой стрелки: a) случайные ошибки поля, б) зеркально отраженные случайные ошибки.98Для частиц, движущихся в данных накопительных кольцах с нулевыми начальными координатами получим наведенную частоту вращения спинаωCW = −1, 224 · 10−14 , ωCCW = 1, 419 · 10−15 , ω CCW = 1, 224 · 10−14 .Таким образом, некоммутативность спин-орбитальной динамики относительно последовательности прохождения управляющих полей приводит к различиюв частотах вращения спина при движении по и против часовой стрелки на порядок.
Другим важным свойством является зависимость частоты вращения откоординат частиц (см. рис. 5.19). Такая зависимость отсутствует в отдельномдефлекторе, однако появляется при наличии фокусирующих элементов, связывающих движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Для оценкиэтой зависимости рассмотрим ансамбль частиц, распределенных по нормальному закону в вертикальной плоскости в диапазоне 3 мм.Рис.
5.19. Зависимость частоты вращения спины от координаты частицыВектор спин равновесной частицы вращается с частотой ω = 1, 82 · 10−17 ,что намного меньше частоты, вызванной наличием ЭДМ ωEDM = 4, 69 · 10−15 .Для пучка при тех же значениях вертикального поля наведенная частота ω =4, 25 · 10−11 ≫ ωEDM .
Учитывая случайный характер распределения вертикального поля в кольце, минимизация данного рода аберраций не представляетсявозможным и требуется обеспечить разброс ошибок для поворотов элементовна урвне 3σ ≪ 10−6 рад.99Заключение к главе. Результаты исследования, приведенные в данной главе,отражены в работах [48, 66, 69] и представляют собой методологию моделирования краевого поля и представления движения заряженных частиц в электростатическом поле в терминах постоянной скорости.
В практическом плане результаты применены для оптимизации структуры накопительного кольца с цельюминимизации аберраций спина и целиком решают задачу 4. Кроме того, указананеобходимость дальнейшего исследования и уточнения возможности компенсации вертикальных аберраций путем запуска встречных пучков. По результатамисследования, проведенного в данной главе, следует отметить, что электростатический ускоритель обладает ярко выраженным свойством эмерджентности.
Спиновая динамика зависит не столько от характеристик отдельных линз, сколько отих взаимного расположения в кольце. При этом анализ ускорителя, как системы,проводится последовательно в соответствии с этапами декомпозиции, синтезаединого матричного отображения и дальнейшей оптимизации структуры.100ЗаключениеПрименение численных методов построения отображений для задач моделирования нелинейной динамики приводит к существенным преимуществам посравнению с использованием классических алгоритмов интегрирования. Производительность таких методов позволяет, например, проводить многопараметрическую оптимизацию систем управления в режиме реального времени.В диссертационном исследовании построена численная реализация нелинейного матричного интегрирования.
Отображение представляет собой наборчисловых матриц и может быть построено для произвольной нелинейной системы ОДУ, допускающих разложение решения в степенной ряд. Теоретическаязначимость работы состоит в унификации численного метода решения нелинейных систем ОДУ. Практические результаты, помимо ускорительной физики, могут быть перенесены и на другие области науки и технологий, такие как теориянелинейной фильтрации сигналов, решение уравнений в частных производных,моделирование эволюционных процессов. Построенные методы и модели проверены на тестовых задачах, результаты численного моделирования сравнивалиськак со сторонними решениями, так и с экспериментальными данными.Разработанные математические модели и численный метод реализованы ввиде интегрированной среды моделирования спин-орбитальной динамики.
Предлагаемый набор инструментов носит достаточно общий характер и может бытьприменен для широкого круга задач ускорительной физики. На основе построенного численного метода проведено исследование нерешенных на настоящиймомент проблем спин-орбитальной динамики заряженных частиц в электростатических полях, где возникают специфические требования и ограничения, такиекак симплектичность и сохранение энергии.101Значительная часть исследования посвящена вопросам системного анализаэлектростатического накопительного кольца. Произведена его декомпозиция наподсистемы, исследованы их связи. Синтез модели осуществляется на основепостроения нелинейного матричного отображения. Это позволяет достичь высокой производительности и эффективности при проведении численного анализаспин-орбитальной динамики.
Также формализована задача оптимизации спиновых аберраций и представлено ее решение. Проведение вычислительного эксперимента в разработанной проблемно-ориентированной среде моделированияпозволило достичь новых результатов, касающихся квадрупольной оптимизацииспиновый аберраций в накопительном кольце.Дальнейшее развитие исследования может вестись как в теоретическом,так и практическом направлениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
