Диссертация (1149675), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

В данной главе полностью решена задача 3. Результатыглавы также представлены в публикациях [10, 11, 29–31, 68, 104, 112, 113]. Работы [11, 68] выполнены автором самостоятельно. В исследованиях, отраженных в[10, 29, 30], автор принимал активное участие в обсуждении результатов.

В работах [31, 104] автором выполнена основная часть исследования, посвященнаяразработке программных средств. В материалах [112, 113] автором выполненыразделы, описывающие применение матричного интегрирования для решениязадач анализа динамики частиц.755 Прецессия спина в электростатическомнакопительном кольцеИсследование спин-орбитального движения частиц в электростатическом накопительном кольце является одним из методов измерения ЭДМ. Такой подходтребует [63, 99] необходимости моделирования длительной многооборотной динамики, а также изучения специфических свойств, присущих электростатическим полям. В данной главе проводится анализ электростатического накопительного кольца, целью функционирования которого является обеспечение какможно меньшей скорости прецессии вектора спина.

С точки зрения системного анализа, здесь можно выделить ряд подсистем, причем спиновая динамиказависит не столько от характеристик отдельных линз, сколько от их взаимногорасположения. Приводится постановка задачи оптимизации структуры кольца сцелью улучшения характеристик его функционирования. Несмотря на то, что всевычислительные эксперименты проведены для протона на некоторой модельнойструктуре (см.

приложение D), результаты данной главы могут быть расширенына общий случай (другие частицы и структуры накопительных колец). Для расчетов использовалась разработанная и описанная в главе 4 среда моделирования.5.1 Особенности динамики в электростатических поляхВ магнитном поле частица движется с постоянной по модулю скоростью, чтоочевидным образом следует из уравнения Ньютона – Лоренца: сила, действующая на частицу, всегда перпендикулярна вектору скорости. В электростатическом поле частица движется ускоренно, в соответствии с законом сохраненияполной энергии.

Однако до влета в поле и после вылета из него энергия ча-76стицы должна сохраниться (см. рис. 5.1). В работах [76, 77] данное свойстворассмотрено с точки зрения сохранения гамильтониана. Однако такой подход, вотличие от представленного в следующих параграфах, не предоставляет качественно новых сведений о характере спин-орбитального движения частиц.+VV0V = constW’ = - П’V0-VРис. 5.1. Движение частицы в электростатическом поле5.1.1 Сохранение полной энергии движущейся частицыУравнения спин-орбитальной динамики заряженных частиц во внешних электромагнитных полях, выведенные в главе 2, описывают движение частицы внутри поля с учетом закона сохранения энергии (2.12)W ′ = −qu′ (x, y, s) = q(Ex x′ + Ey y ′ + Es ).Будем считать, что частица влетает в электро-xграница полястатическое поле из области нулевого потенциалаu(x, y, z) ≡ 0 и вылетает также в него.

Тогда скорости частицы до влета и после вылета из полядолжны быть одинаковыми в силу закона сохра-W0W1u(x, y, z)zнения полной энергии. Рассмотрим момент влетачастицы в поле с потенциалом u(x, y, z) (рис. 5.2).Рис. 5.2. Изменение кинетическойОказавшись внутри электростатического поля, ча- энергии частицыстица вынуждена затормозиться (ускориться) в со-ответсвии с приобретенной (потерянной) потенциальной энергиейW1 = W0 − qu(x, y, z).(5.1)77Такой мгновенный скачок кинетической энергии соответствует перпендикулярному краевому полю. В реальных полях частица последовательно пролетает вселинии уровней потенциала от u0 = 0 до u(x, y, z), непрерывно изменяя своюпотенциальную энергии.Подобное краевое поле (его отсутствие) влияет только на изменение кинетической энергии частицы.

Раскладывая потенциал u в ряд Тейлора u(x, y, 0) =u0 + u1 x + u2 y + u11 x2 + u12 xy + . . . , можно записатьx  0  1    y   0  0         t   0  0 = +     px   0   0         py   0   0    Wqu0u10 0 0 0 0  x0  1 0 0 0 0   y0   0 1 0 0 0  t0   + ... . 0 0 1 0 0 px,0   0 0 0 1 0 py,0  u2 0 0 0 1W05.1.2 Влияние мультипольных составляющихРассмотрим теперь движение частицы в электростатическом поле в терминахпостоянной кинетической энергии. Ограничимся рассмотрением орбитальногодвижения в радиальной плоскости. Для вертикальных составляющих движенияи спиновых осцилляций выкладки аналогичны.Учитывая только члены порядка малости x′2 в уравнениях движения (2.4) ипредполагая Es = Bs = 0, можно записатьqh2sx ≈m0 γv′′()Ex− By .v(5.2)В электростатическом поле γ и v изменяются в соответствие с законом (5.1),который можно представить в форме γ = γ0 − qu/(m0 c2 ).

Отсюда следует()111qu(qu)21=≈1++.γγ0 1 − qu/(m0 γ0 c2 ) γ0m0 γ0 c2 (m0 γ0 c2 )2(5.3)78Получим теперь подобное разложения для 1/v 2 . Введя относительную скорость β = v/c и воспользовавшись соотношением, связывающим фактор Лоренца и скорость частицы, запишем закон сохранения энергии в виде (1 − β 2 )−0.5 =(1 − β02 )−1 − (qu)/(m0 c2 ), из которого после несложных преобразований получимвыражение для√1 − β2 ≈1≈1 + β02 /2 + 3β04 /8 − qu/(m0 c2 )() ()2β02 β04qu3qu≈1−−+1 − β02 − β04 +.228m0 c4m0 c2Возводя это соотношение в квадрат и приводя подобные слагаемые, имеем()()2qu3(qu)32 − 3β02 − β04 −v 2 ≈ v02 −3 − 3β02 − β04 ,2m04(m0 c)4()111 + k1 u + (k12 + k2)u2 ,≈22vv0()()где k1 = 2 − 3β02 − 43 β04 , k2 = 3 − 3β02 − 43 β04 .

Учитывая 5.3, окончательно(с точностью до второго порядка нелинейности по u) получим выражение длякоэффициента()()qu11(qu)2221+≈+1+ku+(k+k)u=121γv 2γ0 v02m0 γ0 c2 (m0 γ0 c2 )21=(1 + K1 u + K2 u2 ),2γ0 v0подстановка которого в соотношение (5.2) приведет к выражениюqh2s′′x ≈m0 γv0(Ex(1 + K1 u + K2 u2 ) − Byv0)qh2s=B̃y (v0 ).m0 γv0Последнее уравнение является результатом перехода от скалярного потенциала u(x, y, z) и ускоренного движения частицы в электростатическом поле(v = v(x, y, z), γ = γ(x, y, z)) к векторному магнитному полю B̃, в котором частица движется с постоянной по модулю скоростью v0 .

При этом орбитальноедвижение частицы остается таким же, как и в электростатическом поле.79Выведем значения мультпольных составляющих нового псевдомагнитного1поля для случая цилиндрического электростатического дефлектора, потенциал инапряженность в котором можно разложить в степенные ряды))((x2x3xx2u = −E0 x −+− .

. . , Ex = E0 1 − + 2 . . . .2R 3R2R RУчитывая в этих соотношения величины до порядка малости x2 получим()()E0xx2x2B̃y ≈1− + 21 − K1 E0 x + K1 E0= B0 + B1 x + B2 x2 ,v0R R2R()()(5.4)E0113B0 = − , B1 = B0 − + K1 B0 v0 , B2 = B0 − 2 + K1 E0.v0RR2RОрбитальное движение частицы в таком псевдомагнитном поле полностью совпадает с движением в электростатическом поле. На рис.

5.3 представлены фазовые пространства движения частицы в магнитном (синия линия), электростатическом (зеленая линия) и соответствующем ему псевдомагнитном поле (красныеточки). Однако следует различать мультипольные составляющие электрическогополя и псевдомагнитного.В последнем случае мультипольныекомпоненты соответствуют силе, действующей на частицу, определяющей спинорбитальную динамику. Получим общийвид этих мультипольных составляющих(до 2 порядка нелинейности) для горизонтального поля цилиндрического электростатического конденсатораu = −E0 x −Рис. 5.3.

Фазовое пространство движениячастицы в электромагнитных поляхE1 2 E2 3x − x,23Ex = E0 + E1 x + E2 x2 .1факт того, что при введении компонент магнитного поля вместо электрического следует также ввести поправки(в силу закона сохранения энергии) на время движения частицы внутри такого поля, не дает оснований говорить ополном соответствии движения заряженной частицы в электрических и магнитных полях80Подставляя эти формулы в выражениe 5.4 можно легко получить соотношения,описывающие псевдомагнитное поле электростатического дефлектора)(K1 E1 2 K1 E2 3E0 + E1 x + E2 x 2B̃y (v0 ) =1 − K1 E0 x −x −x ≈v023E0 E1 − K1 E022E2 − 3K1 E0 E1 2≈+x+x.v0v02v0Из этой формулы видно, что в электростатическом поле в силу выполнениязакона сохранения энергии мультипольные составляющие в силе, действующейна динамику частиц, перемешаны по отношению к мультипольным составляющим поля.

Иными словами, поле более низкого порядка будет вносить вклад всилу более высокого порядка. Так, секступольная составляющая силы (а следовательно и секступольные аберрации) ощущают воздействие как секступольного,так и квадрупольного и дипольного полей∂ B̃yE2 3K1 E0 E1+.=∂x2v02v0Причем следует отметить, что эти мультипольные компоненты оказывают вкладв общую секступольную компоненту силы одинакового порядка E2 ∼ K1 E0 E1 .5.1.3 Краевые поля рассеиванияПерпендикулярное краевое поле, описанное в подпараграфе 5.1.1, приводит к мгновенному скачку кинетической энергии частицы, который не изменяетостальных фазовых координат. Реальное краевое поле распространяется за пределы физических границ обкладок дефлектора, представляет собой нелинейноеплавно затухающее поле и оказывает влияние на спин-орбитальную динамикучастиц.

Ниже приведен математический аппарат моделирования краевых полейосесимметричных линз, заданных распределением потенциала на своей оси. Приэтом отклоняющая компонента поля плавно затухает (или нарастает) от нуля досвоего значения в идеальном поле. При моделировании таких электростатических полей, используют разложение потенциала в ряд Тейлора по простран-81ственным переменным. Условие удовлетворения такого разложения уравнениюЛапласа (1.2) приводит к общему виду распределения потенциала в декартовойсистеме координат [17]u(x, y, z) =∞ ∑∞∑(−1)k m!(x2 + y 2 )k4k k!(m + k)!m=0 k=0(×∗(2k)Um(z)+ Wm(2k) (z)m∑i=0∗∗m∑i=0гдеm∗ =m∗∗×(−1)i m!xm−2i y 2i +(2i)!(m − 2i)!(5.5))(−1)i m!xm−2i−1 y 2i+1 ,(2i + 1)!(m − 2i − 1)!m/2,(m − 1)/2,m/2 − 1,=0,(m − 1)/2,если m четное,если m нечетное,если m четное и m ̸= 0,если m = 0,если m нечетное,а функции Um и Wm зависят от координаты z (продольная составляющая).Поле цилиндрического дефлектора является планарным и не зависит от координаты y.

Характеристики

Список файлов диссертации