Диссертация (1149675), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

5.10. gf = 0.682, gd = - 0.886, Sext1 = 400, Sext2 = - 3515.2.2 Учет систематических ошибок задания поляВ данном разделе приводится анализ влияния систематических ошибок надинамику спина. Наличие вертикальной компоненты электростатического поля(Ey ) приводит к росту вертикальной компоненты вектора спина, что может ложно трактоваться как наличие ЭДМ у частиц. Следует отметить, что вертикальная89компонента присутствует не только в связи с возможными ошибками заданияполей (например, смещение квадруполей относительно центральной оси), но ив виду необходимости удержания пучка в пространстве (учет массы частиц).Рассмотрим эти два случая подробнее.Учет силы тяжестиЧастицы обладают массой и для их удержания требуется наличие дополнительного электрического поля, направленного против силы тяжести. Такая компонента поля, компенсируя ускорение свободного падения, не будет сказываться на орбитальное движение.

Однако ее наличие приведет к дополнительномувращению вектора спина, что напрямую следует из уравнений спиновой динамики (см. приложение A). Строго говоря, вращение спина, вызванное вертикальной компонентой поля, направлено в противоположную сторону от вращения, возникающего в результате действия ЭДМ. Более того, эффект от наличия вертикального поля на порядок больше по модулю. Так например, для рассматриваемого модельного кольца частота вращения вертикальной компонентыспина при наличии компенсирующего силу тяжести электрического поля равнаw(Ey ) ≈ 4, 68 · 10−14 . В то время как ЭДМ приводит к дополнительному вращению вектора спина с частотой wEDM ≈ −4, 69 · 10−15 .Для исключения влияния этой составляющей есть два подхода. Первый состоит в запуске встречных пучков в одном канале.

Пучки частиц, движущиеся пои против часовой стрелки имеют разный знак во влияния одной и той же компоненты Ey , что позволяет выделить ЭДМ от наведенного электрическим полем роста спина в вертикальной плоскости. Вертикальная компоненты спина в линейном случае будет описываться колебанием с частотой wEDM + w(Ey ). При запуске встречного пучка получим сигнал, изменяющийся с частотой wEDM − w(Ey ).Данное свойство вытекает из противоположной ориентации системы координатпри движении против часовой стрелки. Складывая и нормируя теперь оба сигнала получим частоту wEDM , по которой можно оценить величину ЭДМ.90Рис.

5.11. Схематическое представление кольца типа ”восьмерка”Как альтернатива встречным пучкам может быть использовано двойное кольцо в виде «восьмерки», схематическое изображение которого представлено нарис. 5.11. Для наглядности кольца изображены в разных плоскостях. Пучок попеременно движется сначала по часовой стрелке, затем против. Причем движениев кольце 2 соответствует кольцу 1 с точностью до противоположного направления вертикальной оси.

Таким образом, преобразование координат при переходеиз 1 во 2 кольцо, и обратно, опишется соотношениемx2x1−1 0 0 0 0 0 0 0 y  y   0 −1 0 0 0 0 0 0 2 1   t  t  0 0 1 0 0 0 0 0 2  1   p  p   0 0 0 −1 0 0 0 0 x,2  x,1    p  = A ◦  p  =  0 0 0 0 −1 0 0 0 y,2  y,1    W2  W1   0 0 0 0 0 1 0 0  Sx,2 Sx,1   0 0 0 0 0 0 −1 0  Sy,2 Sy,1   0 0 0 0 0 0 0 −1 Ss,2Ss,1000000000x1y 0 1 0  t1 p 0  x,1 p  .0  y,1 0  W1 Sx,1 0Sy,1 01Ss,1Покажем, что для компенсации влияния вертикального электростатическогополя и накопления ЭДМ-сигнала требуется установка дополнительного соленоида между кольцами. Рассмотрим сначала случай без солениода, когда в кольцах91присутствует дополнительная вертикальная составляющая Ey .

Допустим, что этакомпонента приводит к росту вертикальной составляющей вектора спина в кольце 1. Тогда в кольце 2 она будет приводить уже к уменьшению вертикальнойсоставляющей спина. Однако с учетом преобразования координат, осуществляемого при переходе между кольцами, вектор спина, по модулю, тем не менее,будет нарастать.

Рост вертикальной компоненты, возникающий из-за наличияЭДМ, будет компенсироваться в виду того, что он зависит от радиального поля Ex , которое имеет одно и то же направление в обоих кольцах. Соленоид влинейном приближении приводит к вращению вектора спина в плоскости x − yна угол, пропорциональный силе соленоида (см. уравнение 1.13). При поворотевектора на 2π радиан получим  SS−1 0 0S x x,0    x,0   Sy  = C ◦ Sy,0  =  0 −1 0 Sy,0  .  SsSs,00 0 1Ss,0Наличие соленоида между 1 и 2 кольцами вызовет дополнительную сменузнака вертикальных составляющих фазовых координат, что приведет к компенсации влияния Ey компоненты и одновременному росту вертикальной составляющей вектора спина, вызванному наличием ЭДМ.

Можно сформулировать следующие положения, относительно динамики спина в кольце типа «восьмерка»при наличии вертикальной компоненты поля. В случае отсутствия соленоидамежду кольцами наличие ЭДМ никак не фиксируется, вектор спина в вертикальной плоскости не вращается. При наличии соленоида вращение спина, вызванного вертикальной компонентой, компенсируется, а ЭДМ-сигнал накапливается.Таким образом, как в случае использования кольца «восьмерки», так и при применения встречных пучков становится возможным выделение влияния ЭДМ навращение спина от аналогичного вклада вертикального электрического поля.92Ошибки задания поляРассмотрим теперь влияние дополнительного вертикального поля, пренебрегая силой тяжести.

В этом случае, вертикальная компонента поля также будетоказывать воздействие на орбитальное движение. Частица начнет совершать колебания в фазовой плоскости y −py . Рассмотрим, как эти бетатронные колебанияскажутся на динамике спина. Для ясности будем рассматривать наличие вертикальной компоненты поля только лишь в дефлекторах.Для этой цели смоделируем в программе MODE цилиндрический дефлекторс дополнительным полем Ey , заданным параметрически. Как видно из результатов численного моделирования (см. рис. 5.12), такое поле не приводит к ростувертикальной составляющей спина, а вызывает его колебания относительно нуляс амплитудой, пропорциональной полю Ey .−102x 10Sy10−1−20200040006000800010000NРис.

5.12. Динамика спина при наличии вертикального поля (V /m): красный цвет – Ey = 0,зеленый – Ey = 5 · 10−4 , синий – Ey = 1 · 10−3 (Sy – вертикальная компонента спина, N – числооборотов в кольце)Следует отметить, что данные результаты верны для величин вертикальногополя порядка Ey = 0.001 В/м. Большие значения уже сказываются на динамикеспина. Характер их влияния исследован в следующих параграфах.Здесь и далее будем предполагать порядок ЭДМ на уровне η = 10−15 (см.приложение A). При таком значение круговая частота (за оборот в модельномкольце) вращения вектора спина равна приблизительно −4, 69 · 10−15 .

Как видноиз рис. 5.13 в случае наличия как ЭДМ, так и поля Ey вектор спина начинаетколебаться и отклоняться в вертикальной плоскости. Величина этого отклоненияв точности соответствует частоте вращения спина, вызванной наличием ЭДМ.93Рис. 5.13. Динамика спина при наличии вертикального поля (V /m) и ЭДМ: красный цвет –Ey = 0, η = 10−15 , зеленый – Ey = 1 · 10−3 , η = 10−15 , синий – Ey = 1 · 10−3 , , η = 0 (Sy –вертикальная компонента спина, N – число оборотов в кольце)5.2.3 Влияние случайных ошибок в управляющем полеВ данном разделе приводится анализ влияния случайных ошибок заданияэлектростатических полей на динамику спина.

При этом подразумевается, чтосистематические ошибки могут быть учтены одним из описанных выше способов. Также приведен пример по оценке допустимых значений случайных изменений компонент поля, при которых возможно оценить ЭДМ на основе данныхо величине вертикального отклонения вектора спина.Под ошибкой некоторой величины будем понимать нормированное отклонение значения (ξ) этой величины от своего номинального (ξ0 ) значения δξ =(ξ − ξ0 )/ξ0 . Также будем подразумевать случайную ошибку на интервале ∆ξкак случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием равным 0 и среднеквадратичным отклонением σ = ∆ξ/3.Вероятность попадания такой случайной величины в интервал ∆ξ = 3σ примерно равна 0.9973.

Случайные величины, выходящие за границы указанногодиапазона из рассмотрения отбрасываются.Для моделирования случайных величин использовалось преобразование Бокса – Мюллера, позволяющее по двум независимым равномерно распределеннымслучайным величинам ρ, ϕ ∈ (0, 1] вычислить две независимые нормально рас√√пределенные величины z0 = cos(2πϕ) −2 ln ρ, z1 = sin(2πϕ) −2 ln ρ.94Случайные ошибки вертикального поляКак и в предыдущем разделе, будем использовать построенное в программеMODE отображение, зависящее от величины Ey компоненты поля, которое присутствует в цилиндрических дефлекторах.

При этом будет считать, что величинаEy ∈ N (0, σ) и изменяется при каждом пролете частицей дефлекторов.Необходимость учета случайных ошибок вызвана тем фактом, что спинорбитальная динамка описывается нелинейными (относительно px , py ) уравнениями. Начальный разброс ошибок поля по нормальному закону приводит кразбросу частот вращения спина, который уже не удовлетворяет условиям нормального распределения в виду нелинейности отображения (см. рис. 5.14).а)б)Рис. 5.14. Плотности распределения случайных величин: a) вертикальная компонента поля Ey ,б) изменение вертикальной компоненты вектора спина Sy за один оборотДинамика спина в случае случайных вертикальных отклоняющих полей сходна с аналогичной при наличии постоянного поля (см.

рис. 5.13). Для оценки ЭДМ в выходном сигнале Sy предлагается измерять угол наклона графикак оси абсцисс. Коэффициент линейной регрессии при этом будет соответствовать частоте вращения спина. При вычислении угла наклона используется методнаименьших квадратов для нахождения коэффициентов линейной зависимостиSy = wEDM · n, где под n подразумевается номер оборота в накопительном кольце. Следует также различать случайные стационарные ошибки и ошибки, зависимые от времени.95К первому типу относится возникно-−101вение вертикальной компоненты поля, на-x 100элементов относительно оси или их по-Sy−1пример, в виду смещения управляющих−2−3−4ворота.

Характеристики

Список файлов диссертации