Диссертация (1149675), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Это условие u = u(x, z) заметно упрощает соотношение (5.5)( 2k)∞∑U0 (z) 2k U12k+1 (z) 2k+1k.u(x, z) =(−1)x +x(2k)!(2k)!k=0Здесь U0 = u(0, z) соответствует распределению потенциала на оси z, а U1 (z)задает отклоняющую компоненту поля, взятую с обратным знаком. Поле цилиндрического дефлектора также является антисимметричным (u(x, z) − u(0, z) =u(0, z)−u(−x, z)). Это означает, что только нечетные члены, содержащие x останутся в разложении потенциала∞2k+1∑(z) 2k+1k U1u(x, z) =(−1)x.(2k)!k=0(5.6)82Таким образом, выражение (5.6) описывает распределение электростатическогопланарного антисимметричного поля, задаваемого своей отклоняющей компонентой U1 (z) = ∂u∂x x=0 , взятой на оси z.xk(z)евоекра0еполполеконденсаторавоеполеекра10.05z0−0.0500.020.040.060.080.1б)а)Рис.

5.4. Моделирование краевого поля: a) схематическое представление функции k(s), б) примерраспределения потенциала.На оси поля дефлектора U1 (z) = −E0 = const. В краевом поле будем описывать затухание этой отклоняющей компоненты в соответствии с некоторой выбранной функцией k(z) : U1 (z) = −k(z)E0 . Задание конкретного вида функцииk(z) может носить экспериментальный характер, а при моделировании могутбыть использованы различные нелинейные приближения.В рамках данного исследования используется функция Энге, которая позво-10.9ляет гибко подбирать форму изгиба графи-0.80.7ка функции k(z), изменяя всего несколько0.60.5параметров. На рис.

5.4 приведено схема-0.40.3тическое представление этой функции, ваналитической записи принимающей видk(z) =1,1 + exp(a0 + a1 z + . . . + an z n )0.20.1000.010.020.030.04Рис. 5.5. Функция Энге для{0.01, 0.025, 0.05} (слева направо).0.05L=где коэффициенты ai задают вид кривой. Руководствуясь экспериментальнымиданными, приведенными в [53], по определению формы кривой k(z), можно положить a0 = −5.727, a1 = 11.460/L, где под L подразумевается длина краевогополя. Чем короче краевое поле, тем более локализовано его воздействие на ди-83намику движущейся частицы, и результат моделирования должен быть ближе кслучаю отсутствия краевого поля.

Следует также отметить, что если при влете вэлемент краевое поле описывается функцией k(z), то при вылете из него — функцией 1 − k(z). Численный анализ динамики частиц в краевых полях проводитсяв строгом соответствии с описанными в главе 2 уравнениями, в которые подставляются значения полей, приведенные в предыдущем параграфе.

Применениематричного подхода в интегрировании также не вызывает трудностей. Краевоеполе в этом случае рассматривается как отдельное отображение, которое послеконкатенации с «производящим» его полем образует искомое отображение.5.2 Оптимизация структуры кольцаКак отмечалось выше, идея замороженного спина приводит к понятию магической энергии, которая, в свою очередь, определяет энергию референс-частицы,при которой спин в горизонтальной плоскости не вращается относительно ееимпульса. Важным моментом при проведения численного анализа является изучение аберраций вращения спина и способов их подавления.5.2.1 Квадрупольная и секступольная минимизация аберрацийРазброс в энергиях или отклонении от орбиты приводит к некогерентномувращению спина частиц, что, в конченом итоге, приводит к затуханию ЭДМсигнала.

Кроме того, на динамику спин-орбитального движения сказывается наличие краевого поля, которое отклоняет частицу по пространственным переменным и, как следствие, нарушает условие замороженного спина. Таким образом,при моделировании краевого поля важно в зависимости от его длины подобратьтакие значения отклоняющей компоненты поля и новой энергии, которые приводили бы к сохранению стационарного орбитального и замороженного спиновогосостояний. Задача оптимизации может быть записана в формеF(W, E0 , {Vi }) = x2 + (px /p0 )2 + Sx2 + A({Vi }, δW, ∆x, ∆y)2 → min,84где под W понимается начальная энергия референс-частицы, E0 задает отклоняющую компоненту поворотных дефлекторов, под {Vi } подразумевается наборпараметров квадрупольных линз, A — скорость роста спиновых аберраций.Заметим, что в соответствии с принципом динамического программирования данная оптимизационная задача может быть решена последовательно разбиением на подзадачи. Во-первых, следует найти нулевую референс-частицудля некоторого значения краевого поля, т.е.

решить оптимизационную задачуF1 (W, E0 ) = x2 + (px /p0 )2 + Sx2 → min. После этого, необходимо найти параметры системы, которые минимизируют F2 ({Vi }) = A({Vi }, δW, ∆x, ∆y)2 → min.В результате проведения численного моделирование в разработанной средеMODE подтвержден факт того, что наличие краевого поля изменяет «магическую» энергию частицы. Зависимость носит непрерывный характер и для произвольного, ограниченного апертурой линзы, краевого поля удается найти новыезначения отклоняющей компоненты электрического поля и «магической» энергии, сохраняющие фазовые координаты частицы (x = 0, x′ = 0, y = 0, y ′ =0, Sx = 0, Sy = 0, Sz = 1) в целом за пролет отклоняющего дефлектора. Результаты численного моделирования приведены в таблице 5.1.Таблица 5.1.

Влияние краевого поля на магическую энергиюДлина кравевого поля, м0.0000.0010.0100.050Магическая энергия, МэВ232.79-0.00004%-0.00013%-0.0003%Отклоняющая компонентаполя кВ/см2-170-0.001%-0.01%-0.05%Отклонение (∆px /p0 )1.32 10−71.81 10−73.60 10−75.39 10−7Отклонение (∆x)2.42 10−72.45 10−72.61 10−72.90 10−7Аберрации спина возникают из-за наличия секступольных составляющих,влияющих на спин-орбитальную динамику. В работах [105, 117, 118] предлагается минимизировать эти аберрации путем установки дополнительных секступолей в нужных местах накопительного кольца. Исследование, проведенное впервом параграфе данной главы позволяет уточнить эти результаты.

Так как вэлектростатическом поле более низкие порядки поля сказываются на более высо-85кие порядки действующей силы становится очевидным, что минимизацию секступольных аберраций можно проводить и с помощью квадруполей. Это означает, что при построении структуры накопительного кольца следует учитывать нетолько магическую энергию и устойчивость движения, но и проводить квадрупольную минимизацию аберраций. На рис. 5.6 показано, что оптимизация квадрупольных полей может привести к уменьшению скорости вращения спина на 3порядка.

Орбитальное движение при этом остается устойчивым. Данные результаты сопоставимы с полученными в [16, 106], однако открывают более гибкиевозможности в коррекции аберраций путем учета квадрупольного воздействия.а)б)Рис. 5.6. Скорость некогерентного вращения спина: a) произвольная FODO структура, б) FODOструктура с квадрупольной оптимизациейПри минимизации аберраций спина во всех трех плоскостях (учет отклонений по энергии и смещений частицы в горизонтальной и вертикальной плоскостях относительно референс-частицы) настройки только лишь квадрупольныхлинз становится недостаточно.

В данном случае следует вводить дополнительные элементы — секступоли двух семейств. Как было показано выше в даннойглаве, секступольные электростатические поля оказывают влияние на вращениеспина такого же порядка, что и квадрупольные.Сложность описания влияния секступолей на динамику спина в аналитической форме приводит к необходимости реализации численной процедуры перебора параметров. Здесь следует учитывать основное положение (в терминах работ [16, 106]) относительно динамики спина в секступольных полях. А именнотот факт, что уменьшения силы секступоля по абсолютному значению увели-86чивает аберрации вращения спина по энергии и отклонению в горизонтальнойплоскости и уменьшает в вертикальной.

Разная скорость роста аберраций и наличие трех независимых плоскостей приводят к необходимости использованиякак квадруполей, так и двух семейств секступолей. Ниже представлен возможный алгоритм поиска оптимальных параметров секступольных и квадрупольныхполей, минимизирующих аберрации спина.Алгоритм 2: поиска оптимальных параметровData: последовательность элементов в накопительном кольцеResult: gf, gd, Sext1, Sext2, гдеgf – сила фокусирующего квадруполя,gd – сила дефокусирующего квадруполя,Sext1 – сила фокусирующего секступоля,Sext2 – сила дефокусирующего секступоля1Поиск начального приближения (перебор Sext1 и Sext2)2Уменьшение аберраций спина посредством изменений Sext1 или Sext23Корректировка решения настройкой gf и gd4Возвращение на шаг 2Рассмотрим указанные шаги более подробно на примере модельного кольца,состоящего из цилиндрических дефлекторов, квадруполей и секступолей, обладающего характеристиками спиновых аберраций порядка 10−8 , что соответствует сотням миллионов оборотов пучка в кольце.

Описанная ниже процедурапозволяет увеличить это значение на 2 порядка. Начальное приближение должносоответствовать такой конфигурации полей, при которых ветви парабол, соответствующие спиновым аберрациям, направлены в одну и ту же сторону для случаязависимости по энергии и горизонтальным отклонениям, и в противоположную— в случае вертикальных отклонений (см.

рис. 5.7). Данную начальную точкунаходим с помощью варьирования сил секступолей Sext1 и Sext2. Далее в подписях к рисункам жирным шрифтом обозначены параметры, подвергающиесяизменению на иллюстрируемом шаге оптимизационного алгоритма.87Рис. 5.7. gf = 0.721, gd = - 0.886, Sext1 = 400, Sext2 = - 300На втором шаге уменьшаем силу отрицательного секступоля Sext2, прижимаятем самым ветви всех трех парабол к оси абсцисс. В некоторый момент времени, за счет разных сил влияние секступолей на первые две параболы, приходим к конфигурации, изображенной на рис. 5.8, когда дальнейшая минимизацияневозможна и уменьшение аберраций, зависящих от энергии, сопровождаетсяувеличением их в горизонтальной плоскости.Рис. 5.8. gf = 0.721, gd = - 0.886, Sext1 = 400, Sext2 = - 335На следующем шаге, сохраняя орбитальную устойчивость движения, возвращаем ветви второй параболы в отрицательную полуплоскость за счет настройкиквадрупольных полей.

Таким образом, последовательное применение описанныхшагов позволило улучшить начальное приближение по всем плоскостям.Итеративно продолжая алгоритм, придем к оптимальному значению (рис. 5.10),где аберрации спина имеют порядок 10−10 . Следует отметить, что на первом гра-88Рис. 5.9.

gf = 0.710, gd = - 0.886, Sext1 = 400, Sext2 = - 335фике зависимости скорости вращения спина от энергии появились точки перегиба. Это свидетельствует о начале влияния более высоких порядков в аберрациях спина и невозможности проведения дальнейшей оптимизации при помощисекступольных полей. Таким образом, можно заключить, что найден локальныйоптимум структуры накопительного кольца.Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации