Диссертация (1149675), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Выбор языка MATLAB обусловлен тем,что он специально разрабатывался для численных матричных вычислений. Вэтом случае исследователи при проведении вычислений на персональном компьютере могут использовать либо среду MATLAB [79], либо ее бесплатный аналог FreeMat [57].
При необходимости использования высокопроизводительныхсистем и параллельных технологий за основу может быть взят код, сгенерированный на языке программирования C++ или FORTRAN. При его дальнейшейкомпиляции полученный исполняемый файл может быть запущен на подходящей платформе и под управлением необходимой операционной системы.4.3 Валидация программного обеспеченияДля проверки корректности работы построенной среды использовались сравнение результатов численного анализа спин-орбитальной динамики с другимипрограммами (COSY Infinity и OptiM), а также сопоставление с экспериментальными данными по выводу поляризованного пучка на ускорителе COSY (см.приложение С), расположенном в научно-исследовательском центре Юлих.4.3.1 Сравнительные расчеты на сторонних программахСравнение результатов численных расчетов с COSY InfinityCOSY Infinity в настоящее время является единственной программой общего пользования, позволяющей осуществлять численное моделирование спинорбитального взаимодействия заряженных частиц.
Несмотря на ряд спорныхрешений, применяемых в этой программе (например, незамкнутая референсорбита в общем случае, и, как следствие, невозможность исследования ошибокзадания управляющих полей на динамику частиц), COSY Infinity зарекомендовала себя как средство, результаты расчетов на котором полностью совпадаютс аналитическими выкладками. Последние проводились в таких приближениях68как отсутствие краевых полей и идеальные внешние поля физических элементов, когда референс-орбита остается всегда замкнутой, исходя из физическихсоображений. В этом случае применение для расчетов COSY Infinity становитсяоправданным.Численный метод интегрирования дифференциальных уравнений в COSYInfinity, так же как и вышеописанный матричный подход, является методом, построенным на основе отображений в виде разложения в ряд Тейлора до заданного порядка нелинейности.
Однако для оценки элементов отображения (в случаес COSY Infinity используется тензорный формализм) применяется дифференциальная алгебра. Фазовые координаты, описанные в данной работе, полностьюсоответствуют математической модели в COSY Infinity, что делает возможнымсравнение результатов вычислений на разных программах в численном виде.а)б)Рис. 4.8. Орбитальное движение (a) и спиновая динамика (б) частицыРезультаты расчета сравнивались: визуально — спин-орбитальная динамика(рис. 4.8) и численно — скорости вращения спина.
Последняя величина являетсяинтегральной и усредненной, что делает ее менее зависимой от возможных ошибок округления и несоответствия математических моделей, заложенных в разныепрограммы. Последовательность тестовых сценариев приведена в табл. 4.1. Значения в таблице соответствуют времени (в секундах), за которое вектор спиначастицы повернется на 2π радиана. Начальные значение всех фазовых координат69частицы равны нулю, если не указаны явно, а координата Ss = 1. Рассматриваются электростатические элементы.Таблица 4.1. Скорость вращения спина (c)Тестовый случайCOSY InfinityРазработанный методЦилиндрический дефлекторδT = 1 · 10−45749.45749.0δT = 3 · 10−4635.6635.5∆x = 0.0031184.31184.3Цилиндрический дефлектор × 16δT = 1 · 10−45705.15704.6−4δT = 3 · 10633.9633.8∆x = 0.0031188.51188.5Кольцо из дефлектор и квадруполейδT = 1 · 10−40.20080.0704δT = 3 · 10−4∆x = 0.0032072.3Кольцо из дефлектор и квадруполей с0.20080.07042072.3RF полемδT = 1 · 10−4δT = 3 · 10−44415.3491.74438.2492.9Цилиндрический дефлектор.
В данном случае изучается поле отдельного цилиндрического конденсатора. Подобное соответствие имеет место и длядругих элементов, таких как свободный промежуток, квадруполи, секступоли,соленоид, а также для магнитных элементов.Цилиндрический дефлектор × 16. Накопительное кольцо строится из сериипоследовательно примыкающих друг к другу конденсаторов. Референс-частицав таком случае движется по окружности постоянного радиуса. После построения отображения для отдельного конденсатора матрицы конкатенируются 16раз для получения суммирующей нелинейной матрицы перехода, отвечающейдинамике всего кольца.
Следует отметить, что в этом случае происходит потеряточности. Так, например, при объединении двух отображений 2-го порядка нелинейности результирующее отображение имеет элементы 4-го порядка, которыенеобходимо отбрасывать. И COSY Infinity, и разработанная программа показалиодинаковую тенденцию изменения спиновой динамики, связанную с ошибкамиокругления при заданном порядке нелинейности.70Кольцо из дефлектор и квадруполей. Взято тестовое кольцо (см. приложение D), состоящее из цилиндрических конденсаторов и квадруполей, находящихся между ними и осуществляющих фокусировку частиц.Кольцо из дефлектор и квадруполей с RF полем. К предыдущему примеру добавлено RF поле, приводящее к колебанию энергии частиц относительнореференс-частицы и, соответственно, к уменьшению вращения спина.Рис.
4.9. Бета-функция и дисперсия в MODE (верхний график) и OptiM (нижний график)Сравнение результатов численных расчетов с OptiMПрограмма OptiM предназначена для анализа структуры накопительных колец и линейных ускорителей. Позволяет быстро строить бета-функции, дисперсии, вычислять частоты колебаний, исследовать структуру на резонансные явления.
Хотя эта программа также позволяет проводить численное моделирование нелинейной динамики (на основе пошагового интегрирования), основнымее применением остается анализ структуры накопительного кольца на основевизуального отображения интересующих параметров.71Для построения бета-функции и дисперсии OptiM использует линейное приближение. В MODE для этих целей используются алгоритмы, описанные в разделе 2.2.2. Визуальное сравнение результатов вычисления характеристик пучкаприведено на рис. 4.9 для некоторой произвольной FODO1 структуры.Программа OptiM для вычисления бета-функции и дисперсии использует пошаговое интегрирование движения частицы.
Значения координат выводятся накаждом шаге интегрирования. Среда MODE использует матричное отображениеи, как следствие, сохраняет результаты только между элементами. В виду данных особенностей алгоритмической реализации графики функций на рис. 4.9несколько отличаются, хотя и совпадают в узловых точках.4.3.2 Сопоставление с экспериментальными даннымиВ данном подпараграфе приведено сопоставление результатов расчета с числовыми данными эксперимента по выводу пучка в горизонтальной плоскости иизмерению частоты вращения вектора спина (см.
приложение E). Вывод пучкачастиц на мишень осуществляется отклоняющим магнитным полем, абсолютноезначение магнитной индукции которого растет со временем. Частота вращенияспина в магнитном накопительном кольце постоянна и равна γG (см. главу 1, параграф 1.1.2). Отклоняющее магнитное поле влияет на вращение вектора спина,изменяя его частоту.
В предположении, что угол поворота референс-частицы вотклоняющем поле B равен ϕref можно оценить угол вращения спина за оборотв кольце как ϕspin = (1 + γG)ϕref + 2πγG. Здесь ϕref есть некоторая монотонно возрастающая функция ϕref (B) от аргумента B. Из этих оценок ясно, что сростом отклоняющей компоненты поля следует ожидать и роста частоты вращения вектора спина. Данное положение проверялось в результате проведенияэксперимента и нашло свое отражение в ходе проведения численных расчетов.Следует отметить, что при всей простоте постановки задачи, проведение вычислительного эксперимента является нетривиальным. Во-первых, в качестве1структура накопительного кольца, основанная на переменной фокусировке с помощью квадрупольных линз72отклоняющего выступает нестатическое поле, изменяющееся со временем.
Вовторых, отклоняющие магниты имеют особенность, когда референс-орбита несоответствует опорной кривой (см. рис. 4.10). Частица, влетающая в магнит, начинает отклоняться по окружности, в то время как измерения производятся врамках декартовой системы координат.
Это требование сделало невозможным,например, использования для расчетов программу COSY Infinity, в которой непредусмотрено решения подобного рода задач.Рис. 4.10. Схема кольца при выводе пучка на мишеньИспользование разработанной среды MODE позволяет решить сразу два указанных вопроса. Нестатическое поле моделируется путем построения параметризованного матричного отображения, где сила отклоняющей компоненты магнитного поля вводится как дополнительная переменная.
Требование соответствия референс-орбиты и опорной кривой в разработанной среде отсутствует,а задание отклоняющих магнитов в среде MODE происходит простым описанием магнитного поля:curvature = 0;// êðèâèçíà îïîðíîé êðèâîévariable_list = "x|y|t|px|py|dK|Sx|Sy|Ss|L|dB";field_length = 0.01;// äëèíà ïîëÿPolynomial Bx(x, y, s) {Polynomial By(x, y, s){return null;}// ïåðåìåííûå73lex1 = 0.01;Brho = 3.235571723422074;Phi1 = -3.897854639294000e-04;Bex1 = Phi1*Brho/lex1;return Bex1*(1+Polynomial("dB"));}Polynomial Bs(x, y, s){return null;}Polynomial Ex(x, y, s){return null;}Polynomial Ey(x, y, s){return null;}Polynomial Es(x, y, s){return null;}Polynomial u(x, y, s) {return null;}После построения модели накопительного кольца (вычисление нелинейногоматричного отображения в программе MODE) численный эксперимент проводился в среде MATLAB, где с течение времени отклоняющая компонента поляувеличивалась в соответствии с настройками, установленными при проведенииэксперимента.
Результаты моделирования представлены на рис. 4.11 и демонстрируют хорошее совпадение с экспериментальными данными.Рис. 4.11. Сравнение экспериментальных данных (синий цвет) и результатов численного моделирования (красный)74Заключение к главе. В главе приведено описание построенной интегрированной среды моделирования спин-орбитального взаимодействия заряженных частиц. Приведена валидация программного обеспечения путем сравнения результатов расчетов на других программах численного моделирования. Корректностьработы программы также продемонстрирована при сопоставлении с экспериментальными данными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
