Автореферат (1149674), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Результаты моделирования представлены на рис. 3 и демонстрируют хорошее соответствие с экспериментальным данным.Рис. 3. Сравнение с экспериментом3 Экспериментпроведен в Институте ядерной физики (Научно-исследовательский центрЮлих, Германия, август-сентябрь 2013 г.) на ускорителе COSY.11В пятой главе проведен анализ электростатического накопительного кольца, целью функционирования которого является обеспечение как можно меньшей скорости прецессии вектора спина в горизонтальной плоскости. С точкизрения системного анализа, здесьможно выделить ряд подсистем.
Вдиссертации рассматривается кольРис. 4. Схема накопительного кольцацо, состоящее из цилиндрическихконденсаторов, квадрупольных и секступольных линз и свободных промежутков. Следует отметить, что электростатический ускоритель обладает ярко выраженным свойством эмерджентности4 . Спиновая динамика зависитне столько от характеристик отдельных линз, сколько от их взаимного расположения. Также приведена постановка задачи оптимизации структуры сцелью улучшения характеристик ее функционирования.Основной проблемой при исследовании электростатических полей является необходимость учета изменения модуля скорости частицы при еедвижении.
Следует также иметь в виду, что в целом за оборот в накопительном кольце скорость частицы не изменяется в силу закона сохранения полной энергии. Данное соотношение можно записать в виде γ =γ0 − qu/(m0 c2 ), где под γ понимается фактор Лоренца, а u соответствуетскалярному потенциалу электростатического поля. Из этого соотношенияследуют выражения для()1111qu(qu)2=·≈1++γγ0 1 − qu/(m0 γ0 c2 )γ0m0 γ0 c2(m0 γ0 c2 )2)()(2 −1222, где k1 = 2 − 3β02 − 34 β04 , k2 =и( v ≈2 v0 3 1 4+) k1 u + (k1 + k2 )u3 − 3β0 − 4 β0 , β0 = v0 /c.
Используя данные формулы легко записать,например, уравнение движения частицы в горизонтальной плоскости с непостоянной по модулю скоростью v ̸= const()qh2sExx′′ ≈− Bym0 γvvв терминах постоянной скорости v0()qh2sExqh2sB̃y (v0 ).x′′ ≈(1 + K1 u + K2 u2 ) − By =m0 γv0 v0m0 γv04 Термин из теории систем, обозначает наличие у системы свойств, не присущих составляющим ее элементам.12Построенный математический аппарат позволяет отказаться от рассмотрения ускоренного движения частицы.
Динамику частиц в электростатическом поле можно описать движением в магнитном с точностью до преобразования временной координаты.Перейдем далее к формулировке задачи оптимизации. Важным моментом при проведения численного анализа является изучение аберраций данного вращения и способов их подавления. Разброс в энергии и отклоненииот орбиты для частиц в пучке приводит к некогерентной динамики вектора спина, что способствует «затуханию» ЭДМ сигнала. Кроме того, надинамику спин-орбитального движения сказывается наличие краевых полей, которые изменяют равновесную частицу и, как следствие, нарушаютусловие замороженного спина.
При данных предположениях, задача оптимизации может быть записана в видеF(W, E0 , {Vi }) = x2 + (px /p0 )2 + Sx2 + A({Vi }, δW, ∆x, ∆y)2 → min,где x, y – координаты частицы в горизонтальной и вертикальной плоскостях, под W понимается энергия частицы, E0 задает отклоняющую компоненту поворотных конденсаторов, под {Vi } подразумевается набор параметров квадрупольных линз, A — скорость роста спиновых аберраций.Заметим, что в соответствии с принципом динамического программирования данная оптимизационная задача может быть решена последовательным разбиением на подзадачи.
Во-первых, следует найти нулевую равновесную частицу для некоторого значения краевого поля, т.е. решить оптимизационную задачу F1 (W, E0 ) = x2 + (px /p0 )2 + Sx2 → min. После этогонеобходимо подобрать такие параметры системы, которые минимизируютфункцию F2 ({Vi }) = A({Vi }, δW, ∆x, ∆y)2 .Для решения первой подзадачи и, в частности, моделирования краевогополя используется разложение скалярного потенциала u в степенной рядu(x, z) =∞∑k=0(−1)kU12k+1 (z) 2k+1x,(2k)!который описывается своей отклоняющей компонентой U1 , заданной напродольной оси z.
Изменение поля вне границ элемента описывается некоторой функцией k(z) (см. рис. 5). В работе используется функция Энге−1k(z) = (1 + exp(a0 + a1 z + . . . + an z n )) .При исследовании краевого поля важно в зависимости от его длиныподобрать такие значения отклоняющей компоненты и новой энергии, которые приводили бы к сохранению стационарного орбитального и замороженного спинового состояний. В таблице 2 представлены результаты моделирования краевых полей. Зависимость искомых параметров от длины поляносит непрерывный характер и для произвольного (ограниченного аперту-13xk(z)полеевое0еполполеконденсаторавоекра0.05екра1z0−0.0500.020.040.060.080.1б)а)Рис. 5. Моделирование кравеого поля: a) схематическое представление функцииk(s), б) пример распределения потенциала.рой элемента) краевого поля удается найти новые значения отклоняющейкомпоненты и кинетической энергии, сохраняющие фазовые координатычастицы в целом за пролет отклоняющего дефлектора.Таблица 2.
Влияние краевого поляДлина поля, м0.0000.0010.0100.050Энергия, МэВ232.79-0.00004%-0.00013%-0.0003%-170-0.001%-0.01%-0.05%Отклоняющаякомпонента кВ/см2−7Отклонение (δpx )1.32 10Отклонение (∆x)2.42 10−71.81 10−72.45 10−7−75.39 10−72.61 10−72.90 10−73.60 10Решение второй оптимизационной подзадачи заключается в подборе таких параметров структуры накопительного кольца, которые минимизируютспиновые аберрации, возникающие из-за наличия секступольных составляющих поля. В виду того, что в электростатике низшие порядки поля отражены в более высоких порядках действующей на частицу силы, становитсяочевидным, что минимизацию секступольных аберраций можно проводитьи с помощью квадрупольных полей F2 (Vf , Vd ) = Sx (δW )2 + Sx (∆x)2 +Sx (∆y)2 → min, где под Vf , Vd понимаются фокусирующие и дефокусирующие поля квадрупольных линз, Sx (δW ) — скорость вращения вектораспина частицы в зависимости от отклонения по энергии, Sx (∆x), Sx (∆y) —в зависимости от отклонений в горизонтальной и вертикальной плоскостях.Данная формулировка задачи говорит о том, что при построении структурынакопительного кольца следует учитывать не только магическую энергиюи устойчивость движения, но и проводить квадрупольную минимизациюаберраций.
На рис. 6 показано, как оптимизация квадруполей при сохранении устойчивости движения может привести к уменьшению скоростивращения спина.14а)б)Рис. 6. Скорость некогерентного вращения спина: a) произвольная FODO структура,б) FODO структура с квадрупольной оптимизациейВ работе также проведен анализ динамики накопительного кольца сучетом секступольных полей. Рассмотрены этапы декомпозиции системыуправляющих элементов, синтеза единого матричного отображения и оптимизации структуры. В главе приведены результаты численных экспериментов, посвященных анализу влияния ошибок задания поля на динамикуспина в горизонтальной и вертикальной плоскостях.В заключении представлены результаты работы, к которым относятся новые математические модели спин-орбитальной динамики, реализациячисленного нелинейного матричного интегрирования и его верификация намодельных задачах, проблемно-ориентированная среда моделирования, результаты численных экспериментов, методика оптимизации спиновых аберраций в электростатических полях.
Также приведены краткие выводы иуказаны направления дальнейшего развития исследования.Основные положения, выносимые на защиту1. Математическая модель спин-орбитального взаимодействия заряженныхчастиц, учитывающая как требование симплектичности, так и выполнение закона сохранения энергии.2. Параллельный численный метод интегрирования систем ОДУ, основанный на нелинейном матричном представлении решения.3. Проблемно-ориентированная интегрированная среда компьютерного моделирования спин-орбитальной динамики, поддержки принятия решений при проектировании и оптимизации накопительных колец.4. Методы структурно-параметрического анализа электростатического накопительного кольца и алгоритм оптимизации спиновых аберраций.15Публикации по теме диссертациив изданиях, рекомендованных ВАК1. Иванов А.
Н. Интегрированная среда моделирования спин-орбитального движения заряженных частиц // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10:прикладная математика, информатика, процессы управления, вып. 2. —2014. — C. 50–61.2. Иванов А. Н., Кузнецов П.М. Идентификация динамических систем наоснове нелинейного матричного преобразования Ли // Вестник УГАТУ.— 2014. — Т. 18. — No 2(63). — C. 251–256.3. Зюзин Д. В. Моделирование динамики протонов в электростатическихнакопительных кольцах / Д.
В. Зюзин, Ю. В. Сеничев, С. Н. Андрианов,А. Н. Иванов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: прикладная математика, информатика, процессы управления, вып. 1. — 2014. — C. 51–62.в изданиях, индексируемых в базах данных Scopus4. D. Eversmann, et al. New Method for a Continuous Determination of theSpin Tune in Storage Rings and Implications for Precision Experiments //Physical Review Letters.
— 2015. — 115, 094801.— P. 1–6.5. Ivanov A. MODE software for nonlinear spin-orbit dynamics simulation inelectromagnetic fields // Proc. of 20 Intern. Workshop on BDO. — 2014.6. Ivanov A. Comparison of Matrix Formalism and step-by-step integrationfor the long-term dynamics simulation in electrostatic fields // Proc.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
