Автореферат (1149671), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Выписаны уравнения первого приближения для возмущений x j  x j  x 0j (неоднородные уравнения в вариациях): x j   (r 0 ) x j  x 0j s  (r 0 ) / r 0  g j ( x 0 , t ) ,  ( r )  d  / dr ,ns   xk0 xk .k 1Решение этих уравнений связано с известными сложностями, хотя фундаментальная матрица принципиально может быть найдена согласно теореме Пуанкаре.К сожалению, главная трудность состоит не в построении фундаментальнойматрицы, а в переходе от решения однородной системы уравнений в вариациях кнеоднородной системе.

Сложность состоит в необходимости интегрированиядроби, в числителе которой стоит определитель ( n  1 ) - го порядка, а в знаменателе – определитель n - го порядка, причем элементы определителей сложнымобразом зависят от элементов фундаментальной матрицы и возмущающих функцийg j . В небесной механике для случая n  3 и центрального силового поля Ньютонаэти сложности преодолеваются специальными приёмами, разработанными Брауэром, Энке, Хиллом и другими учеными. Предложенный в диссертации процессрешения уравнений в вариациях для произвольного центрального поля и произвольного n в значитальной мере отличается от упомянутых приемов. Он заключается в том, что:а) выводится линейное уравнение второго порядка относительно величины s :8tn  n 0000000s   4 ( r )  r  ( r )  s  2   x j  x j   (r ) s     x j g j ( x , t )  2  x 0j g j ( x 0 , t ) dt ; j 1t t0 j 1 t0б) подстановка s в неоднородные уравнения в вариациях приводит к тому, что этасистема расщепляется на n отдельных линейных уравнений для величин  x j сизвестными правыми частями:  x j   (r 0 ) x j  g j ( x 0 , t )  x 0j s  ( r 0 ) / r 0 , j  1,..., n;в) показано, что функции вида    1 1   2 2   3 3 удовлетворяют выписанномувыше однородному уравнению для s .

Здесь  j  0.5(r 0 )2 / a j , а a j – любая изпостоянных интегрирования в общем решении невозмущенных уравнений. Этопозволяет найти решение неоднородных уравнений в вариациях.В пункте 1.4.2 приведена новая схема построения приближенной математической модели движения материальной точки в центральных полях. Для реализацииэтой схемы, кроме упомянутого метода решения уравнений в вариациях, требуетсявычисление в символьной форме частных производных высшего порядка длясложных функций многих переменных, в терминах которых записаны уравнениядинамики. Соответствующие алгоритмы предлагаются в главе 2, а программы – вглаве 4.Вторая глава составляет теоретическую и алгоритмическую основу методикипостроения математических моделей динамики, рассмотренных в диссертации.Вразделе 2.1 введены в рассмотрение классы функций и дифференциальных уравнений, на которые ориентированы все алгоритмы и другие инструменты, предложенныевдиссертации.Еслипринять,чтоx  ( x1 ,..., xm )  C m , t  (t1 ,..., t s )  C s,  ( 1 ,...,   )  C  , f i j  C , то полную систему дифференциальных уравнений (т.е.систему уравнений в частных производных первого порядка, разрешенных относительно производных) можно записать в виде (при s  1 это система ОДУ) :xi / t j  fi j ( x1 ,.., xm ,  ) , i  [1: m] , j  [1: s ] .Эту систему называют полиномиальной, если все f i j – полиномы поx1 ,..., xm.Классом функций m ,(  , m  [1: ) ) называется множество скалярных функцийпеременнойx  ( x1 ,..., x m ) ,каждую из которых можно получить изx1 ,..., x m, исполь-9зуя конечное число операций , , , / и конечное число функций  1 ,...,  l    и ихконечных суперпозиций, гдеx  ( x1 ,..., x ) ,– класс скалярных функций переменнойудовлетворяющих полиномиальным системам.В остальных разделах второй главы предлагается ряд новых инструментовсимвольных вычислений, которые используются во всех остальных главах диссертации.

Среди этих инструментов назовем алгоритмы символьных вычислений,предлагаемые в разделах 2.3, 2.4, 2.5 («Основы метода дополнительных переменных», «Алгоритм символьного дифференцирования функций» и «Алгоритмсведения полных систем к полиномиальной форме»), но центральным из инструментов является включенная в программу AVM (см. главу 4) библиотека. Онаподробно описана в разделе 2.2, содержит имена функций и дифференциальныесистемы, которым эти функции удовлетворяют. Главная ценность библиотекизаключается в следущем: она позволяет реализовывать предлагаемые в диссертации символьные алгоритмы на основе единой идеи метода дополнительных переменных; так как пользователь может пополнять библиотеку новыми функциями иуравнениями (возникшими, например, в ходе новой научной работы), упомянутые алгоритмы он сможет применять к функциям и уравнениям, не включенным в системы компьютерной алгебры «Wolfram Mathematica», «Maple» ит.п.В то же время, все допустимые в упомянутых выше алгоритмах функции и дифференциальные уравнения, включенные в эти системы, легко включаются и в библиотеку программы AVM и могут там корректироваться и обобщаться.

Библиотекаможет содержать (постепенно пополняясь) сотни и тысячи функций, а точнее ихимен и дифференциальных систем, которым эти функции удовлетворяют. Библиотека и все алгоритмы второй главы ориентированы на применение к дифференциальным уравнениям с правыми частями, принадлежащими классам m .В третьей главе рассмотрен алгоритм пошагового интегрирования дифференциальных уравнений методом рядов Тейлора. Очевидными преимуществамиметода рядов Тейлора решения задачи Коши для системы обыкновенных диффе-10ренциальных уравнений по сравнению с другими пошаговыми методами можносчитать возможность создания для него сравнительно простых и эффективныхалгоритмов выбора порядка и шага, а также то, что на каждом шаге этим методомполучают не очередное табличное значение решения, а представление его сзаданной точностью полиномом на всем промежутке между узловыми значениямиаргумента.

Этот метод редко применялся из-за сложности расчета производныхрешения второго и более высоких порядков. В настоящее время отношение кметоду рядов Тейлора изменилось: опубликованы сотни посвященных ему работ,особенно работ, так или иначе связанных со сложными математическими моделями динамики, например, работы Л.К.Бабаджанянца, В.А.

Брумберга, Н.А. Чернышевой, М. Берца (Berz, M.), И. Чанга (Chang, Y.), С. Пруэтта (Pruett, C.D.), Г.Паркера (Parker, G.), Н. Недялкова (Nedialkov, N.), А. Джорба (Jorba, A.) и многиедругие. Большая часть этих работ так или иначе связана или с алгоритмами автоматического дифференцирования, или с возможностью сведения обыкновенныхдифференциальных уравнений этих моделей к полиномиальной форме, то есть сидеей метода дополнительных переменных, которая восходит к работам АнриПуанкаре. Основными задачами, которые необходимо решить при реализацииметода рядов Тейлора, являются:а) автоматический выбор величины начального шага и порядка метода;б) автоматический выбор очередных величин шага и порядка;в) автоматическое (лучше – символьное) вычисление коэффициентов ряда Тейлора.Отвечающие за точность результата способы решения задач а), б) в большинстве работ основаны на сходных идеях и имеют общие черты и детали, а вот задачав), отвечающая во многом за затраты машинного времени, решается в них невсегда на основе одних и тех же идей: для нахождения коэффициентов Тейлораиспользуют метод неопределенных коэффициентов, метод последовательныхприближений Пикара, численные методы и, чаще всего, метод аналитическогодифференцирования.В разделе 3.1 рассмотрены вопросы реализации метода рядов Тейлора дляполиномиальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В разделе113.2 предложен новый алгоритм нахождения коэффициентов Тейлора для решениясистем, правые части которых принадлежат классам m .Полная система дифференциальных уравнений в частных производных первогопорядка записывается в виде:xi / t j  f i j ( x,  ) , i  [1: m] , j  [1: s] ,x  ( x1 ,..., xm )  C m , t  (t1 ,..., ts )  C s ,   (1 ,...,  )  C  , fi j  C .Введем обозначения:xi ,l  xi ,l1 ,...,ls  l1 ...ls xi1ls , ci ,l  ci ,l1 ,...,ls   l1 ! ...  ls !  xi ,l1 ,...,ls (коэффициенты Тейлора),l1t1 ...tsl  (l1 ,..., ls ) , e1  (1,0,...,0),..., es  (0,...,0,0,1) ,y1  f1  f11 ,..., ys  f s  f1s ,..., ym( s 1)1  f m( s 1)1  f m1 ,..., yms  f ms  fms , r / s   1,  r / s   r / s   ( f r  fi j )   r  (i  1)  s  j; i   ,r/s,r/sr/syr  fr ( x) , r  [1: N ], N  ms , yr ,  yr ,1 ,..., m 1 ... m yr1 m , d r ,  d r ,1 ,..., m   1 ! ...  m !  yr ,1 ,..., m ,1x1 ...xm  (1 ,..., m ) , e1  (1,0,...,0),..., em  (0,...,0,0,1) .К системе функций yr применяется алгоритм символьного дифференцирования,предложенный в разделе 2.5, и находятся дополнительные переменные,xmk ,k  [1: d ] , их первые производные xm  k ,e j и функции yr в форме полиномов по x1 ,..., xmd :xmk  X mk ( x1 ,..., xmd ) , xmk ,e j  X mk , j ( x1 ,..., xmd ) , yr  Yr ( x1 ,..., xmd ) .Далее вычисляются xi ,l и ci ,l с учетом того, что xi ,0,...0  ci ,0,...0  xi ,xi ,e j  ci ,e j  f i j,(согласно принятым выше обозначениям, f i j есть одна из yr  fi j , где i, j однозначно определяются по r , s ), а далее, предполагая, что производные xi ,l представлены уже в виде полиномов xi ,l  X i ,l ( x1 ,..., xm  d ) , получаем:xi ,l e j  X i ,l  e j ( x1 ,..., xm d ) ci ,l  e j  bl  e j X i ,l  e jX i ,lx jdk 1X i ,lxm k xm k ,e j , i  [1: m] , j [1: s] ,, bl  e  bl  (l j  1) 1   l1 ! ...

Характеристики

Список файлов диссертации