Автореферат (1149671), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

 ls ! 1  (l j  1) 1 .j12Предложена модификация алгоритма Бабаджанянца-Большакова решениядифференциальных уравнений методом рядов Тейлора. Она основана на новомалгоритме вычисления коэффициентов Тейлора и алгоритме сведения дифференциальных уравнений к полиномиальной форме, предложенном в разделе 2.4.В четвертой главе дано краткое описание программного комплекса AVM,написанного на языке Java SE с использованием JavaLink для связи с системойкомпьютерной алгебры Wolfram Mathematica. В нем реализованы предложенные вдиссертации алгоритмы.Программный комплекс символьных вычислений AVM позволяет: находить в символьной форме частные производные и коэффициенты Тейлорафункций многих переменных, находить в символьной форме частные производные и коэффициенты Тейлорарешений полных систем уравнений в частных производных первого порядкаи, в частности, систем обыкновенных дифференциальных уравнений, сводить полные системы уравнений в частных производных первого порядкаи, в частности, системы обыкновенных дифференциальных уравнений к полиномиальной форме.От функций и правых частей дифференциальных уравнений требуется: они должны быть заданы как конечные суперпозиции четырех действийарифметики и функций, включенных в библиотеку программы AVM; они должны быть выражениями, синтаксически корректными с точки зрениясистемы Wolfram Mathematica (для удобства заведения уравнений возможнаих запись в рамках системы Wolfram Mathematica с последующим копированием в программу AVM).Дополнительные замечания: пользователь может неограниченно пополнять библиотеку необходимыми емуфункциями (дифференциальными уравнениями, которым эти функции удовлетворяют) и заводить сколько угодно своих отдельных библиотек; кроме дифференциальных уравнений пользователь может задавать и началь-ные данные;13 функции (системы функций), начальные данные и правые части дифференци-альных уравнений (тех, что содержатся в задании пользователя и тех, что содержатся в библиотеке) могут зависеть от параметров, и эта зависимостьдолжна быть синтаксически корректна с точки зрения системы WolframMathematica.В пятой главе два раздела.

В разделе 5.1 приведены уравнения движения точки вцентральном ньютоновом поле и их общее решение для эллиптического случая:i   i r 3 ,3r  12   22   32 (или i  i , i   i r ),i  [1: 3]i  a( Ai 1  e2 sin E  Bi (cos E  e)) , r  a (1  e cos E ) ,i   a 1/2 (1  e cos E )1 ( Ai 1  e2 cos E  Bi sin E ), i  [1: 3]A1   sin  cos   cos  sin  cos i, B1  cos  cos   sin  sin  cos i,A2   sin  sin   cos  cos  cos i, B2  cos  sin   sin  cos  cos i,A3  cos  sin i, B3  sin  sin i,E  e sin E  M ,M  M 0  n(t  t0 ) , n  / a3 ,где a (большая полуось), e (эксцентриситет), M 0 (средняя аномалия в эпоху t0 ), (долгота восходящего узла), i (наклон),  (аргумент перицентра) – кеплеровскиеэлементы, а E (эксцентрическая аномалия), M (средняя аномалия) - функции времени t ; i , i  i - координаты и скорости точки (в относительной системе координат).В разделе 5.1.1 («Полная система для уравнения Кеплера») выписана полнаясистема для эксцентрической аномалии как функции эксцентриситета и среднейаномалии, а затем выведена другая полная система также для эксцентрическойаномалии, которая рассматривается уже как функция времени и трех кеплеровскихэлементов  полуоси, эксцентриситета и начального значения средней аномалии.В разделе 5.1.2 («Первая полная система для задачи двух тел») выведена полнаясистема для координат как функций времени t1  t и элементова угловые элементы,i,t2  a , t3  e , t4  M 0 ,считаются параметрами.

Если все величины1 , 2 , 3 , 4 ,  4i   i ( i  1,2,3 ), 8  (1  e 2 )1/2 , 9  (1  e 2 ) 1/ 2 (  i – координаты точки),рассматриваются как функции этих четырех аргументов, то при помощи программы AVM можно получить для них следующую полную систему:14 4i / t1   Bi  Ai t1 29  Bi 22 4  Ai 23 48 , 4  i / t2   Bi2 4  Ai348 , 4i / t1   Bi  Ai t1 29  Bi 22 4  Ai 23 48 , 4  i / t1  nt2 ( Bi24  Ai348 ) ,8 / t j  9 / t j  0, j  1, 2, 4 ; 8 / t3  t39 , 9 / t3  t393 , i  1,2,3 .Эти же формулы получены и вручную, и это послужило одним из элементовотладки программы AVM (разумеется для этой цели использовались и многиедругие примеры, рассмотренные выше).

В разделе 5.1.3 («Вторая полная системадля задачи двух тел») рассмотрена полная система уравнений для Ai , Bi как функций элементов , i, . Если кроме этих вспомогательных функций ввести ещечетыре функцииA4  sin  cos i, B4  cos  cos i, A5  sin , B5  cos  ,то искомая полная система запишется в виде:A1 /    A2 , A1 /    B1 , A1 / i  A3 A5 , B1 /    B2 , B1 /   A1 , B1 / i  B3 A5 ,A2 /   A1 , A2 /    B2 , A2 / i   A3 B5 , B2 /   B1 , B2 /   A2 , B2 / i   B3 B5 ,A3 /   0 , A3 /    B3 , A3 / i  B4 , B3 /   0 , B3 /   A3 , B3 / i  A4 ,A4 /   0 , A4 /   B4 , A3 / i   B3 , B4 /   0 , B4 /    A4 , B4 / i   A3 ,A5 /   B5 , A5 /   0 , A5 / i  0 , B5 /    A5 , B5 /   0 , B5 / i  0 .Эта система также была использована для отладки программы AVM, но важно,что результаты этого и двух предыдущих пунктов были занесены в библиотекуAVM и использованы для вывода «максимальной» полной системы для задачи двухтел.В разделе 5.1.4 («Максимальная полная система для задачи двух тел») рассмотрена максимальная полная полиномиальная система для эллиптической ньютоновской задачи двух тел, полученная при помощи программы AVM на основе результатов трех предыдущих разделов.

Мы рассмотрели шесть функций 1 ,  2 , 3 ,  4  1 ,5  2 , 6  3 семи аргументов t , a , e , M 0 ,  i ,  и, записав в библиотеку результаты разделов 5.1.1  5.1.3, при помощи программы AVM получили полную полиномиальную систему для функций 1 ,...,  23 , определяемых равенствами: 1  E , 2  sin E ,  3  cos E ,  4  (1  e cos E ) 1 ,  5  a 1/2 ,  6  (1  e 2 )1/ 2 ,  7  (1  e 2 ) 1/ 2 ,  8  1 ,  9   2 ,10   3, 11  1 , 12   2 , 13   3 , 14  A1 , 15  A2 , 16  A3 , 17 B1, 18  B2 , 19  B3 ,15 20  A4  sin  cos i,  21  B4 cos  cos i,  22  A5  sin  ,  23  B5  cos  .

Эта системаприводится на стр. 103-104 диссертации.В разделе 5.1.5 («Коэффициенты Тейлора для задачи двух тел») рассмотренышесть функций 1 ,  2 , 3 ,  4  1 , 5  2 ,  6  3 семи аргументов t , a , e , M 0 ,  i ,  .Записав в библиотеку результаты разделов 5.1.1  5.1.3 и воспользовавшись программой AVM, мы получили коэффициенты разложения Тейлора этих функций повсем семи аргументам.

В Приложении 1 к диссертации представлены в качествепримера коэффициенты до второго порядка.В разделе 5.2 два раздела: 5.2.1 («Возмущенное движение планет в координатах») и 5.2.2 («Возмущенное движение в оскулирующих элементах»).В разделе 5.2.1 уравнения задачи N тел (в относительных декартовых координатах) приводятся к полиномиальной форме при помощи программы AVM. Эти жеуравнения можно получить и вручную, поэтому этот результат также послужилотладочным материалом для программы.В разделе 5.2.2 рассмотрено движение двух материальных точек P1 , P2 (это могутбыть, например, Юпитер и Сатурн) в системе координат P01 2 3 , центр которойсовмещен с третьей точкой P0 (Солнцем), имеющей «большую массу» m0 по сравнению с массамиm1 , m 2остальных двух точек. При отсутствии одной из точек P1 , P2 ,предполагаем, что другая из них будет двигаться по (своему) эллипсу и это движение будет определяться своими элементами a j , e j , M 0, j ,  j , i j ,  j ; j  1, 2 в общемрешении: i j  a j ( Ai , j 1  e 2j sin E j  Bi j (cos E j  e j )) , rj  a j (1  e j cos E j ) ,i j   j a j 1/2 (1  e j cos E j ) 1 ( Ai j 1  e 2j cos E j  Bi j sin E j ), i  [1: 3] ,A1j   sin  j cos  j  cos  j sin  j cos i j , B1j  cos  j cos  j  sin  j sin  j cos i j ,A2j   sin  j sin  j  cos  j cos  j cos i j , B2j  cos  j sin  j  sin  j cos  j cos i j ,A3j  cos  j sin i j , B3j  sin  j sin i j ,E j  e j sin E j  M j , M j  M 0j  n j (t  t0 ) , n j   j / a 3j .Если использовать метод (Эйлера-Лагранжа) вариации произвольных постоянных, то есть если считать вышеприведенные формулы заменой декартовых пере-16менных i j ,i j на новые переменные a j , e j , M 0, j ,  j , i j ,  j , то эти последние (называемые оскулирующими эллиптическими элементами Эйлера) удовлетворяют следующей системе из двенадцати обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлера:de jda j2 Ri,dtn j a j M 0jdi jctg (i j )dtn jad jdt2jR j1  e  je j n j a 2j e je j n j a 2j M 0jnja2jctg (i j )1  e  j2jR jn j a 2j 1  e2j i j,1  e2j R jcosec (i j ) R j2j1  e 2j R jdt1  e 2j R je j n j a 2j  jd j,dtdM 0 jdt,cosec (i j ) R jnja2j1  e i j2j,22 R j 1  e j R j,n j a j a j e j n j a 2j e jj  1,2 ,где3R1  k 2 m2 ( r1,2 ) 1  ( r2 ) 3  k 1 k1 k2r1,2 3 k 1 (k1  k2 )2,3R2  k 2 m1 ( r1,2 ) 1  ( r1 ) 3  k 1 k1 k2,1/2.При помощи программы AVM, эта система была сведена к полиномиальнойсистеме из 68 уравнений.

Результаты представлены в Приложении 2. При помощиэтой же программы можно получать и другие результаты для задачи трех тел,например, коэффициенты Тейлора ее решения, выраженные через само решение.В заключении описаны полученные в диссертации результаты, рассмотреныперспективы их использования и намечены задачи по их совершенствованию иразвитию.ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ1. Предложен метод построения моделей возмущенного движения материальнойточки в центральном поле, основанный на новом решении уравнений в вариациях.2.

Характеристики

Список файлов диссертации