Диссертация (1149645), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Получаем требуемое.8) Так какY  X  0 X  Y    ,тоP  Y  X  0  X  Y    0 .Поскольку при k = 1, 2,…Y  X  k    X  Y  ,то107Y  X  k  X  Y   Y  X  k  .Отсюдаk 0k 0 P Y  X  k X  Y  x k  P  Y  X  k  X  Y  P X  Y xk 1k PYX0XYPYXkXYxP  X  Y  k 11P Y  X  k  x k P  X  Y  k 1 1P Y  m  P  X  m  k  x k .P  X  Y  k 1 mk(3.12)Рассмотрим правую часть доказываемого равенства txf  t 1 g t   P  X  Y   1  tx t 1 1k 1 k 1  m fttxPYmt   P  X  Y    k 0  m 0  t 1 1k k  m    f  t  t x     P Y  m  t   P  X  Y    k 1  m 0  t 1     1j k k     P  X  j  t  t x     P Y  m  t m  P  X  Y    k 1  j 0   m 0t 1  1m k  PXmktx    P Y  m  t m      P  X  Y    k 1 mk  m 0  t 1   m1k  m PXmkxt     P Y  m  t m      P  X  Y    m1  k 1   m 0t 11081  mP  X  m  k  x k P Y  m  t m  P  X  Y   m1 k 1 t 1 1P Y  m  P  X  m  k  x k ,P  X  Y  k 1 mkчто совпадает с правой частью (3.12).9) Равенство непосредственно следует из свойства 8).Теорема 3.3 доказана.О п р е д е л е н и е 3.2.

Пусть Z – случайная величина, X n n1 , Yn n1 последовательности неотрицательных случайных величин. Последовательность Z n n0 , определенная формуламиZ0  Z ,Z n  Z n1  sg  Z n1 Ysg  Z0 ...sg  Zn1   sg  Z n1  X sg  Z0... sg  Zn 1 , n  0,где1sg  Z   0при Z  0,при Z  0,sg  Z   1  sg  Z  ,называется осциллирующим случайным блужданием, построенным по тройке Z , X n n 1, Yn n1 .Лемма 1 из [82] связывает распределение времениn  sg  Z0   sg  Z1   sg  Z n1  ,проведѐнного осциллирующим случайным блужданием на положительнойполуоси за первые n шагов, с распределением случайной величиныSn , k  Z 0  X 1  X nk  Y1  Yk109так, чтоP  n  k   P  S n , k  0 для всех n  0 , 0  k  n .

Поэтому для вычисления распределения τ n полезнаследующая теорема, сформулированная и доказанная автором.Т е о р е м а 3.4. Пусть в принятых выше обозначениях  X n n1 и Yn n1 – независящиедруготдругапоследовательностинезависимыходинаковораспределѐнных случайных величин, принимающих неотрицательные целыезначения,f  x    P  X 1  m  x , g  x    P Y1  m  x m , P  Z0  0   1mm 0m 0иF  ,     P  Si  j , j  0  i j .i 0 j 0Тогда 1 11F  ,     .1x1fx1gx  x1Д о к а з а т е л ь с т в о .

Докажем сначала, что если S 0, то производящиефункцииm 0m 0A x    P  S  m  xm , B  x    P  S  m  x mсвязаны равенствомB x A x .1 xДействительно, умножая обе части равенстваP  S  m   P  S  m   P  S  m  1на x m и суммируя по m от нуля до бесконечности, получаем(3.13)110 P  S  m xmm 0  P  S  m  x   P  S  m  1 x m ,mm 0m 0mmPSmxPSmx0P  S  m  1 x m  ,m 0m 0m1mmPSmxPSmx0xP  S  m  1 x m1  ,m 0m 0m1mmPSmxPSmx0xP  S  k  xk  ,m 0m 0k 0A x   B  x   x B  x  ,A x   B  x 1  x  ,B x A x .1 xТаким образом, доказали справедливость равенства (3.13).В силу независимости  X n n1 и Yn n1 , а также ввиду того, что величиныX n , Yn  неотрицательные целочисленные, имеемF  ,     P( X 1  ...

 X i  m)P(Y1  ...  Y j  m)i j i 0 j 0 m 0      P( X 1  ...  X i  m)P(Y1  ...  Y j  m) i j x m  i 0 j 0  m 0 x1      P( X 1  ...  X i  m)P(Y1  ...  Y j  m)i j x m   F  , , x  x1 , m 0 i 0 j 0 x1 F  , , x      P  X 1 m 0  i 0  X i  m      P Y1   j 0i Yj  m j  xm 111        P  X1  m 0  i 0 m     X i  m    x       P Y1    m0  j 0  Yj  m j  xm           P  X1  i 0  m 0 i     X i  m  x         P Y1    j 0  m 0  Yj  m xm   j  . imПрименяя равенство (3.11), а также свойство мультипликативностипроизводящих функций, получаем 1   F  , , x      P  X1  1  x i 0  m 0 i   j X i  m x       g  x  j     j 0m 1  ii jjfxgx  1  x i 0  j 0 1 11,1x1fx1gx откуда и следует требуемое.Теорема 3.4 доказана.П р и м е р 3.7.

Пусть случайные величины X1 и Y1 имеют равномерноераспределение и соответствующие производящие функцииf  x 11  x m x m1  , g  x  11  x n x n1  ,где n = 3. Тогда1111  x 1   f  x 1  x11 xm 1  x 11 1  x m 1  x m  mx    x m1m 1 xm 1  x mmxx  m    1 m  m112mm   11mxxmmm,(3.14)1111   g  x  1   1  x  x2 1     x   x233 3313 21xx3  33   31.3   1   x   x233(3.15)С учетом равенств (3.14) и (3.15) получаем 1 11F  ,     1x1fx1gx  x1  3m11 .m 2m3m1xx  1xxmm     3  3    x1Применяя формулу (1.7), находимF  ,   R  ,  ,S  ,  гдеR  ,    3m   hm2   m    3     ,S  ,     3     1  2m  3   m1m  m     3       m    3    hm 2  m    hm2  2m hm1  m  m     m2   m 2hm2 ,113m 2 hm   Ck 0kmk  3 mk.Таким образом, теорема 3.4, сформулированная и доказанная автором,позволяет находить с помощью произведения Адамара производящие функциираспределений некоторых статистик от осциллирующего случайного блуждания.3.3 Вероятность замощения прямоугольника плиткамиРассмотрим задачу замощения прямоугольника плитками в динамике.Будем укладывать верхний ряд прямоугольника размера 2×n плитками размеров1×1, 1×2, 1×3, …, имеющими соответственно вероятности выпадения q1, q2, q3,…,а нижний ряд – плитками размеров 1×1, 1×2, 1×3, …, с вероятностями выбора накаждом шаге p1, p2, p3, …, соответственно.Укладку верхнего ряда будем выполнять последовательно слева направо дотех пор, пока верхний ряд не станет выступать над нижним.

Затем выполняемукладку нижнего ряда последовательно слева направо до тех пор, пока нижнийряд не станет выступать относительно верхнего. Таким образом, чередуя укладкуверхнего и нижнего ряда, заполняем весь прямоугольник. В случае, когда невыступает ни верхний ряд, ни нижний, будем полагать, что выступает нижний ряди переходить к укладке верхнего ряда.Пусть  X k k 1 и Yk k 1 – не зависящие друг от друга последовательностинезависимых одинаково распределѐнных случайных величин, принимающихнеотрицательные целые значения,f  x    P  X 1  k  x   qk x kkk 0k 0иk 0k 0g  x    P Y1  k  x k   pk x k ,114причем qk – вероятность того, что первая плитка верхнего ряда будет иметьдлину k, а pk – вероятность того, что первая плитка нижнего ряда будет иметьдлину k.Рассмотрим производящую функциюG  x, t    pn,m x nt m ,n 0 m 0где pn,m  вероятность того, что в случайном процессе на каком-то шаге появитсяпрямоугольник длины n, состоящий из m плиток.П р и м е р 3.8.

На рисунке 3.1 представлено замощение прямоугольникаразмера 2×16 тринадцатью плитками. Вероятность получить такое замощение вслучайном процессе равна p1 p2 p33 p4q12q22q32q4 .1 q1121q2p31 p111q221q3p3p22q33q2 q1p4n1p33...q4p3q3q1p1 p2...Рисунок 3.1 – Замощение прямоугольника плитками (n = 16)Пример3.9.

Замощение прямоугольника размера 2×15 двенадцатьюплитками приведено на рисунке 3.2. Вероятность получить такое замощение вслучайном процессе равна p1 p22 p32 p4q12q2q32q5 .Справедлива следующая сформулированная и доказанная автором теорема.Т е о р е м а 3.5. В принятых выше обозначениях справедливо равенство:G  x, t  11.1  f  xt 1  g  xt1151 q11q2211q52p21 p11q2q3p1 p2np41p22q331p33...q1p3q3q1p3...Рисунок 3.2 – Замощение прямоугольника плитками (n = 15)Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу независимости  X k k 1 и Yk k 1 , а также ввидутого, что величины X k , Yk  неотрицательные целочисленные, имеемmG  x, t    P( X 1  ...  X mk  n)P(Y1  ...

 Yk  n) x nt m n 0 m 0 k 0  P( X1  ...  X mk  n)P(Y1  ...  Yk  n) x nt m n 0 k 0 m  k  P( X1  ...  X j  n)P(Y1  ...  Yk  n) x nt j k n 0 k 0 j 0       P( X 1  ...  X j  n) t j    P(Y1  ...  Yk  n) t k  x n n 0  j 0  k 0        j n     P( X 1  ...  X j  n) t  x       P(Y1  ...  Yk  n) t k  x n   n 0 j 0    n 0  k 0      n j      P( X 1  ...  X j  n) x  t       P(Y1  ...

 Yk  n) x n  t k  .   k 0  n 0  j 0  n 0Применяясвойствомультипликативностипроизводящихполучаем G  x, t     f j 0j   k xt     g  x t k    k 0jфункций,11611.1  f  xt 1  g  x tТеорема 3.5 доказана.Таким образом, теорема 3.5, сформулированная и доказанная автором,позволяет вычислить с применением произведения Адамара производящуюфункцию вероятностей того, что в случайном процессе на каком-то шаге появитсяпрямоугольник размера 2×n, состоящий из m плиток.Рассмотрим более общий случай задачи замощения прямоугольникаплитками.

Характеристики

Список файлов диссертации