Диссертация (1149645), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Применение произведения Адамара степенных рядов крешению некоторых вероятностных задач3.1 Производящиефункциинекоторыхстатистикотсерийрекуррентных событийОпределим понятие рекуррентного события в соответствии с источником[84]. Рассмотрим последовательность повторяющихся испытаний с возможнымиисходами E j (j = 1, 2,…). Предполагается, что испытания могут продолжатьсянеограниченно, и вероятности P E j1 , E j2 ,..., E jnвсехконечныхнаборов.ПустьEопределяются однозначно длянекотороесвойствоконечныхпоследовательностей: для любого набора E j1 , E j2 ,..., E jn можно сказать, обладаетон свойством E или нет. Выражение «E происходит на n-м месте в (конечной илибесконечной) последовательности E j1 , E j2 ,...

» понимается как синоним слов«подпоследовательность E j1 , E j2 ,..., E jn обладает свойством E». Это означает, чтопоявление E при n-м испытании зависит только от исходов первых n испытаний.Подразумевается также, что, говоря о «рекуррентном событии E», имеем в видукласс событий, определенных условием «E происходит».О п р е д е л е н и е 3.1. Свойство E определяет рекуррентное событие, если:1) длятогопоследовательностичтобыEj1Eпроисходилонаn-ми(n + m)-мместах, E j2 ,..., E jn m , необходимо и достаточно, чтобы Eпроисходило на последнем месте каждой из двух подпоследовательностейEj1 , E j2 ,..., E jn и E jn1 , E jn 2 ,..., E jn m ;2) если E происходит на n-м месте, то P E j1 , E j2 ,..., E jnm  P E j1 , E j2 ,..., E jn P E jn1 , E jn2 ,..., E jnm .89Очевидно, что с каждым рекуррентным событием E связаны двепоследовательности чисел, определенные для n = 1, 2,… следующим образом:un  P (E происходит при n-м испытании),f n  P (E впервые происходит при n-м испытании).Положим f0  0 , u0  1 .

Введем производящие функцииF  x    f n x , U  x    un x n .nn 0n 0Заметим, что {un }n0 не является распределением вероятностей, более того,в типичных случаяхn 0un   . С другой стороны, события «E впервыепроисходит при n-м испытании» несовместны, и, следовательно,f  F 1   f n  1 .n 0Тогда разность 1  f следует интерпретировать как вероятность того, что E ниразу не происходит в продолженной до бесконечности последовательностииспытаний.Л е м м а 3.1.

Производящие функции последовательностей {un }n0 и { f n }n0связаны соотношениемU  x 1.1  F  xДоказательство леммы 3.1 приведено в [84, с. 325-326].Рассмотримформальныепроизводящиефункцииотбесконечногомножества не коммутирующих между собой переменных y0 , y1, y2 ,... :U  y0 , y1,... i1 i2 ...ik  k nPi1 ,i2 ,...,ik yi1 yi2 ...

yik ,(3.1)F  y0 , y1 ,...   f n yn1 ,n 1(3.2)90где Pi1 ,i2 ,...,ik  вероятность того, что рекуррентное событие E произошло впоследовательности из n испытаний при испытаниях с номерами i1 + 1,i1 + i2 + 2,…, i1 + i2 +…+ ik + k, а при испытаниях с остальными номерами – непроизошло.Справедлива следующая сформулированная и доказанная автором теорема.Т е о р е м а 3.1.

Для производящих функций U  y0 , y1,... и F  y0 , y1,...справедливо следующее равенство:U  y0 , y1,...  U  y0 , y1,... F  y0 , y1,...  F  y0 , y1,... .Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть E j Е (j = 1, 2,…). Функция  : Е  0,1определяется следующими равенствами: 1)  E jn  1, если событие E произошло на n-м месте в последовательностииз n испытаний; 2)  E jn  0 ,еслисобытиеEнепроизошлонаместеn-мвпоследовательности из n испытаний.Пусть0,1конкатенации слов. Функция A : 0,1 A a1a20,1– полугруппа всех слов над алфавитом  с операциейопределяется равенствами  ak   P  Е j1  a1 , Е j2  a2 , , Е jk  ak , A  e   1,где е – пустое слово.

Далее будем обозначать w длину слова w 0,1 , а s  w –число единиц в нем. Тогда функции (3.1) и (3.2) принимают следующий вид:U  y0 , y1 ,...  A  w y yw0,1i1i2... yik , F  y0 , y1 ,...   A  0n11 yn1 ,n 1где w  0i110i21 10ik1.Докажем справедливость следующего равенства:A  w  Au1 A 0 1  A 0vwu1v1w 11 .(3.3)91Доказательство проводим методом математической индукции по числу s  w .I. База индукции. При s  w  1 равенство (3.3) очевидно.II. Индуктивный переход.

Пусть равенство (3.3) справедливо для всех словw 0,1 таких, что 1  s  w  k . Докажем справедливость равенства (3.3) приs  w  k  1 . Представим слово w такое, что s  w  k  1 , в виде w  w10m1 . Изусловия 2) определения 3.1 получаемA w  A w1 A  0m1 .Так как s  w1  k , то в силу индуктивного предположения имеем     A 0 1 vwA  w    A  u1 A 0 1  A 0 1 w1u1v1 Au1 A 0w1u1v1m 1 A  0m1  A 0 1 A  0m1 .vwИз условия 2) определения 3.1 находимA  w w1u1v1A u10 1 A  0m1  A 0 10m1 .vwwТак как s 0 10m1  2 , то в силу индуктивного предположения имеемA  w w1u1v1 vww 1A u10 1 A  0m1  A 0 1 A  0m1  A 0 1 .Отсюда следуетA  w  Au1 A 0 1  A 0vwu1v1w 11 .Тогда по теореме индукции равенство (3.3) справедливо для любогонатурального числа s  w .Утверждение теоремы непосредственно вытекает из равенства (3.3) иопределения операций над формальными степенными рядами.92Теорема 3.1 доказана.Справедлива следующая сформулированная и доказанная автором теорема.Т е о р е м а 3.2.

Пустьz0  x, y0 , y1 ,...   yn1 x n .n 1Тогда справедливо следующее равенство:F  y0 , y1,...   z0  t , y0 , y1,...  F  t  t 1.(3.4)Д о к а з а т е л ь с т в о . Производящая функция (3.2) может быть найдена спомощью произведения Адамара:  nn F  y0 , y1 ,...    f n yn1t      yn1t     f nt n    n1 t 1   n1  n1  t 1  z0  t , y0 , y1,...  F  t  t 1,что и требовалось доказать.П р и м е р 3.1. Пусть { X n }n1 – последовательность испытаний Бернулли.Рекуррентное событие E означает «успех» в последовательности { X n }n1 . Найдемпроизводящую функцию U  y0 , y1,... последовательности { X n }n1 при подстановкеyi  xi 1 y i ( i  0, 1, ...

).При n  1 имеемun  P (E происходит при n-м испытании) = p.(3.5)Так как u0  1 , тоU  x 1 px,1 x(3.6)то есть в левой части равенства (3.5) записана последовательность {un }n0 безчлена u0 , так что ее производящая функция есть U  x   1 , а для правой части (3.5)получаем93 pxnn 1px.1 xИз равенства (3.6) находимU  x px1  x  px 1  x 1  p  1  qx.1 1 x1 x1 x1 x(3.7)Из леммы 3.1 следует, чтоF  x U  x 1.U  xТогда из формул (3.6) и (3.7) имеемpx.1  qxF  x (3.8)Получим формулу (3.8) другим способом:F  x    P (E впервые происходит при n-м испытании) x n n 1 qn 1n 1px  px  qx nn 1n 1px.1  qxПроизводящая функция U  y0 , y1,... при подстановкеyi  xi 1 y i( i  0, 1, ... )принимает вид:nU  y0 , y1 ,...   Pn,k x n y nk ,n 1 k 1где Pn ,k вероятность того, что рекуррентное событие E произошло впоследовательности из n испытаний k раз.

ТогдаnU  y0 , y1 ,...   Cn 1 k 1k 1n 1kpqnknx yn k n 1  Cns1 p s 1  qy n 1 s 0n  s 1xn 94 n 1 px C p  qy sn 1n 1 s 0sn 1 sxn 1 px  p  qy n 1x n1 n 1 px  p  qy  x n nn 0px.1   p  qy  x(3.9)Получим формулу (3.9) посредством применения произведения Адамара.При подстановке yi  xi 1 y i ( i  0, 1, ... ) находимn1n1n1z0  t , y0 , y1,...   yn1t n   y n1x nt n  xt   xyt n 1xt.1  xytОтсюда по теореме 3.2 получаем xt xtpt p 1F  y0 , y1,...    1  .  1  xyt 1  qt  t 1  1  xyt q  1  qt   t 1Воспользовавшись свойством дистрибутивности произведения Адамара, а такжесвойством (1.11), находимF  y0 , y1,... p qxtpx.q 1  qxyt t 1 1  qxyОтсюда по теореме 3.1 следуетU  y0 , y1 ,... F  y0 , y1 ,...pxpx,1  F  y0 , y1 ,... 1  qxy  px 1   p  qy  xчто совпадает с формулой (3.9).Рассмотренныйпримерпоказываетпреимуществапримененияпроизведения Адамара в задачах данного типа по сравнению с комбинаторнымметодом.

При решении задач с применением произведения Адамара длявычисленияпроизводящейфункции(3.1)нетребуетсянепосредственновычислять вероятность Pi1 ,i2 ,...,ik , что значительно упрощает решение.П р и м е р 3.2. Найдем производящие функции U  y0 , y1,... и F  y0 , y1,...рассмотренной выше последовательности при подстановке95 yi xi 1 при i  0,1,..., r ,yi  i 1при i  ry xв равенства, их определяющие.В этом случае U  y0 , y1,... принимает видnU  y0 , y1 ,...  n 1 m0 n k0 k1  kr k mгде Pn, m, k0 , k1 ,, kr , kPn, m, k0 , k1 ,, kr , kx n y0k0 y1k1 ... yrkr y k ,– вероятность того, что в последовательности из n испытанийрекуррентное событие E произошло n  m раз, причем событие E произошло напоследнем месте k0 подпоследовательностей длины 1, k1 подпоследовательностейдлины 2, …, kr подпоследовательностей длины r + 1, k подпоследовательностейдлины, превышающей r + 1.r 1z0  t , y0 , y1 ,...   yn1t n   yn1 x nt n  yn 1n 1xtn nnr  2yx r 2t r 2  yn1 x t 1  xtn 1r 1n nr 11  r 1n nyn1 x t  xt  yn1x nt n  yx r 2t r 2  1  xt  n1n 1rxt y0   t i xi  yi  yi 1   t r 1x r 1  y  yr   .1  xt i 1Воспользовавшись формулой (3.4), а также свойством дистрибутивностипроизведения Адамара и свойством (1.11), получаемr xt pt F  y0 , y1,...  yt i xi  yi  yi 1   t r 1x r 1  y  yr    01xt1qti1 t 1r xt  p 1i ir 1 r 1ytxyytxyy1ii 1r   0i 1 q  1  qt   t 1 1  xt 96r pxqt i i ir 1 r 1 r 1yqtxyyqtxyyii 1r  0q1xqti1 t 1rpx i ir 1 r 1yqxyyqxyy0ii 1r .1  qx i 1Отсюда по теореме 3.1 следуетU  y0 , y1 ,... F  y0 , y1 ,...1  F  y0 , y1 ,...rpx  y0   q i xi  yi  yi 1   q r 1x r 1  y  yr  i 1r1  qx  pxy0  p  q xi 1i i 1 yi  yi1   pqr 1 r  2x y  yr .При r = 1 имеемF  y0 , y1,... pxy0  qx 2  y1  y0   q 2 x3  y  y1   ,1  qxpxy0  pqx 2  y1  y0   pq 2 x3  y  y1 .U  y0 , y1 ,... 1  x  px  y0  1  pqx 2  y1  y0   pq 2 x3  y  y1 При r = 2 получаемF  y0 , y1,... pxy0  qx 2  y1  y0   q 2 x3  y2  y1   q3 x 4  y  y2   ,1  qxpxy0  pqx 2  y1  y0   pq 2 x3  y2  y1   pq 3 x 4  y  y2 .U  y0 , y1 ,... 1  x  px  y0  1  pqx 2  y1  y0   pq 2 x3  y2  y1   pq 3 x 4  y  y2 П р и м е р 3.3.

Характеристики

Список файлов диссертации