Автореферат (1149593), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для достижениязаданной нижней границы эффективности может потребоваться несколько сотен итераций, что влечет большую сложность при вычислении в критерии (4)]︀2∫︀ [︀оптимальных значений ̂︀, = arg inf , ∈Θ (, ) − (, , ) ().Для нахождения локальных -оптимальных планов предлагается следующая альтернатива алгоритму 1.Пусть 0 — некоторый начальный план. Тогда для = 0,1, . . .поочередно выполняем два шага:Алгоритм 2.12(1) Пусть [] — носитель плана .
Находим множество ℰ[] всех локальных максимумов функции Ψ(,) на и полагаем [+1] = [] ∪ ℰ[].(2) Пусть = {[+1], } — план с носителем [+1] и весами . Находим -оптимальный план в классе всех планов с носителем [+1] , то естьнаходим вектор [+1], доставляющий максимум функции() = P ({[+1] ,}) =∑︁,=1, inf, ∈Θ∑︁ [︀]︀2 (, ) − (,, ) ,∈[+1]где — вес в точке ∈ [+1]. Убираем из [+1] точки, которым в оптимальном векторе весов [+1] соответствуют нули, и получаем новыйноситель, который также обозначаем [+1]; +1 определяем как план сносителем [+1] и соответствующими ненулевыми весами из [+1].На первом шаге алгоритма 2 вместо одного из глобальных максимумов функции Ψ(, ) к носителю промежуточного плана добавляются все ее локальныемаксимумы. Это делается из эвристических соображений. Накапливания точек в носителе промежуточного плана не происходит благодаря удалениюточек с нулевыми весами в конце второго шага, причем доказан следующийрезультат о числе точек, веса которых не являются нулевыми:В конце каждой итерации алгоритма 2 число точек в носителе [+1] плана +1 не превосходит максимального числа корней уравненияΨ(,+1 ) = , где ∈ [0, max∈ Ψ(,+1 )].Теорема 3.Наиболее вычислительно затратным является второй шаг алгоритма, где вовремя поиска максимума по при каждом вычислении функции () необходимо также находить inf , ∈Θ , , = 1, .
. . , . Для эффективной оптимизациипо весам на втором шаге в работе предложены две численные процедуры. Первая процедура основана на линеаризации функции () по параметрам ,и сведении оптимизационной задачи к квадратичному программированию.Вторая процедура представляет из себя специализированный градиентныйметод. Для алгоритма 2 доказан следующий результат о сходимости:Пусть {}≥0 — последовательность планов, порождаемая алгоритмом 2. Тогда lim→∞ (+1) = (*), где * — -оптимальный.Теорема 4.13Оставшаяся часть главы посвящена численным примерам построения байесовских -оптимальных планов, в которых демонстрируется преимущество предложенного алгоритма над базовым. Один из построенных -оптимальных планов для дискриминации моделей зависимости эффекталекарства от дозы предусматривает 246 попарных сравнений конкурирующихрегрессионных моделей.
В работе [9] для аналогичных моделей строились планы, предусматривающие не более 6 попарных сравнений. Также численныеэксперименты показали, что алгоритм 2 быстрее алгоритма 1 от 60 до 100 разв зависимости от количества попарных сравнений в критерии. Изложение вэтой главе опирается на материал из работы [12]. Алгоритм 2 реализован впакете [10] для языка R.В четвертой главе все результаты, полученные для байесовских -оптимальных планов, обобщены на случай байесовских -оптимальных планов. Критерий -оптимальности предполагает нормальную распределенностьслучайных ошибок наблюдения, а следовательно и результатов измерений.В [6] был предложен критерий -оптимальности, основанный на расстояниях Кульбака–Лейблера, не требующий нормальности и подходящий длядискриминации двух произвольных конкурирующих моделей для плотностейотклика.
Пусть у нас имеется конкурирующих плотностей { (,, )}=1 .По аналогии с байесовской версией критерия -оптимальности в этой главевводится байесовская версия критерия -оптимальности:KLB () =∑︁,=1где , (, ,, ) =∫︁,∫︁infΘ , ∈Θ, (, ,, )() ( ),(6) (,,, ) log [ (,, , )/ (,, )] — это расстояниеКульбака–Лейблера между плотностями и . Для критерия (6) сформулирована теорема эквивалентности и адаптированы алгоритмы 1 и 2. В качестве примеров численно построены байесовские -оптимальные планыдля конкурирующих лог-нормальных плотностей. Изложение в данной главеопирается на материал из работы [13], алгоритмы реализованы в пакете [10].Пятая глава посвящена нахождению так называемых полу-параметрических -оптимальных планов.
Рассматривается случай дискриминациидвух конкурирующих плотностей. В работах по планированию дискриминационных экспериментов, как правило, исследуется ситуация, когда конкури14∫︀рующие модели, определяемые парой из функции регрессии и закона распределения для случайных ошибок, известны с точностью до параметров.В работе [7] был предложен полу-параметрический критерий оптимальностидля планирования дискриминационных экспериментов, обобщающий критерий KL-оптимальности из [6], суть которого заключается в том, что функциирегрессии для всех конкурирующих моделей и закон распределения ошибокдля одной из них считаются известными, а закон распределения для оставшейся модели получается как решение специальной оптимизационной задачис ограничениями. В главе рассматривается два критерия из [7]:∫︁() (,1 ) = inf2 ∈Θ2inf1,2 (, 1 ,2 , 1 , 2 ) (),(7)inf1,2 (, 1 ,2 , 1 , 2 ) (),(8) 2 ∈ℱ2,,2∫︁() (, 1 ) = inf2 ∈Θ2где 1,2 (, 1 ,2 , 1 , 2 ) =ℱ2,,2ℱ1,,1{︁= 2{︁= 1∫︀ 1 ∈ℱ1,,11 (, , 1 ) log [1 (,, 1 )/2 (,,2 )] и∫︁∫︁}︁: 2 (,,2 ) = 1, 2 (,,2 ) = 2 , 2 ,2 , = 1 ,1 , ,∫︁∫︁}︁: 1 (,,1 ) = 1, 1 (,,1 ) = 1 , 1 ,1 , = 2 ,2 , ,а , , = | (,, ) > 0 , = 1, 2.
Здесь 1 = 1 (,1 ) и 2 = 2 (,2 ) обо{︀}︀значают заданные функции для средних соответствующих плотностей. Будемпредполагать, что обе плотности непрерывны по и дифференцируемы попараметрам. Планы, максимизирующие (7) и (8), называются полу-параметрическими () - и () -оптимальными соответственно. В работе [7] задачинахождения inf 2 ∈ℱ2,,2 и inf 1 ∈ℱ1,, были сведены к решению систем из двух1нелинейных уравнений со сложной областью определения для функций из систем. В данной главе доказана теорема, которая сводит эти оптимизационныезадачи к решению одного нелинейного уравнения на отрезке, что позволяетсущественно упростить численное нахождение оптимальных полу-параметрических планов.
Для обоих критериев сформулированы теоремы эквивалентности. Также доказаны две теоремы, связывающие полу-параметрические критерии с -критерием. Обозначим среднее и дисперсию плотности (,, )как (, ) и 2 (, ).15Пусть 1(,,1) = ( − 1(,1)) в критерии (7), где функция — симметричная плотность, заданная на конечном интервале[−,]. Тогда -оптимальный план также является полу-параметрическим ()-оптимальным планом.Пусть 2(,,2) — это плотность нормального распределениясо средним 2(,2) и дисперсией 22(,2) в критерии (8). Тогда наилучшаяаппроксимация 1*(,,1), полученная как inf ∈ℱ , будет плотностьюнормального распределения со средним 1(,1) и дисперсией 22(,2) и оптимальный план, доставляющий максимум выражениюТеорема 5.Теорема 6.1∫︁inf2 ∈Θ21,, 1[1 (,1 ) − 2 (,2 )]2(),22 (,2 )также будет полу-параметрическим ()-оптимальным планом.
Последнее утверждение верно также и в обратную сторону.В оставшейся части главы построены численные примеры для такихконкурирующих моделей плотностей, для которых полу-параметрические оптимальные планы не совпадают с -оптимальными.В заключении перечислены основные результаты диссертации.Цитированная литература1.Stigler S. Optimal experimental design for polynomial regression // J. Am.Stat. Assoc. — 1971. — Vol. 66. — P. 311–318.2.Atkinson A. C., Fedorov V. V. The designs of experiments for discriminatingbetween two rival models // Biometrika. — 1975. — Vol. 62.
— P. 57–70.3.Dette H., Titoff S. Optimal discrimination designs // Ann. Stat. —2009. — Vol. 37, no. 4. — P. 2056–2082.4.Dette H., Melas V., Shpilev P. -optimal designs for discrimination betweentwo polynomial models // Ann. Stat. — 2012. — Vol. 40, no. 1. — P. 188–205.165.Ucinski D., Bogacka B. -Optimum Designs for Multiresponse DynamicHeteroscedastic Models // Proceedings of the 7th International Workshopon Model-Oriented Design and Analysis (Heeze, The Netherlands) / ed.
byA. Di Bucchianico, H. Läuter, H. P. Wynn. — Springer, 06/2004. — P. 191–199.6.López-Fidalgo J., Tommasi C., Trandafir P. C. An optimal experimentaldesign criterion for discriminating between non-normal models // J. RoyalStat. Soc., Series B. — 2007. — Vol. 69. — P. 231–242.7.Otsu T. Optimal experimental design criterion for discriminating semi-parametric models // J.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
