Диссертация (1149533), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Эволюцияэтого начального бесконечно малого отклонения между решением q и очень близкой орбитой сточностью до бесконечно малых первого порядка можно описать вариационным уравнениемследующего видаδ  J (q))δ(t ), J (q) f(q),q(1.14)где J  q  ― матрица Якоби системы дифференциальных уравнений (1.13), а вектор δ будет содержатьвсебевариациишестипараметроврешенияq   x, x уравнений(1.13),δ  x1, x2 , x3 , x1, x2 , x3 .Тогда ляпуновское характеристическое число (LCN) определитсякакδ(t )1  lim ln.t  tδ(t0 )(1.15)Отметим, что параметр LCN можно представить в интегральной форме1 ( s)  lim 0tds,t  t( s)(1.16)причем   δ ,   δ  δ /  .Параметр MEGNO Y  t  , как уже отмечалось выше, представляет собой взвешенную повремени интегральную форму LCNY t  2 t ( s)sds,t 0 ( s)(1.17)26а его усредненная величина Y  t  вычисляется как1Y  t   0t Y ( s)ds .t(1.18)В работе (Valk et al, 2009) показано, что в задачах численного моделирования интегральныесоотношения (1.17) и (1.18) целесообразно заменить дифференциальными уравнениями видаdδδdyyt,w2dtδ  δ dtt(1.19)и интегрировать совместно с уравнениями движения (1.13) и уравнениями в вариациях (1.14).Путем интегрирования уравнений (1.19), нетрудно получить вспомогательные величины y иw, с помощью которых определяется параметр MEGNO и его усредненная величинаY (t )  2 y(t ) / t , Y (t )  w(t ) / t ,(1.20)где t – разность между начальным и текущим моментами времени.Эволюция Y  t  во времени позволяет точно разделить регулярный и хаотический режимыдвижения(Cinkotta et al, 2003).

Так, например, для хаотических орбит с экспоненциальным расхождением близких траекторий Y  t   2 . Для квазипериодических (регулярных) орбит с линейным расхождением близких траекторий Y  t  осциллирует около 2. Более того, в работе (Cinkottaet al, 2003) показано, что для квазипериодических орбит усредненный параметр MEGNO Y  t всегда равен 2, а для устойчивых орбит типа гармонического осциллятора Y  t   0 .Как отмечается в работе (Valk et al, 2009), при исследовании динамики орбит небесных телMEGNO-подход является наиболее эффективным по сравнению с общим вариационным методомЛяпунова. Эффективность MEGNO-подхода заключается в том, что он позволяет уверенно провести границу разделения регулярных и хаотических режимов движения. В этой же работе рекомендуется совместно интегрировать уравнения (1.13) и (1.19) в прямоугольных координатах искоростях, что позволяет исследовать орбиты с любыми эксцентриситетами и наклонениями.Выбор начального вектора  0 может оказывать влияние на характер получаемой эволюциидвижения, поэтому величину этого вектора необходимо подбирать на заведомо регулярных орбитах, для которых Y (t )  2 .Приведенный выше алгоритм был использован автором данной работы при создании программного обеспечения для вычисления параметра MEGNO в задачах динамики астероидов сучетом всех приведенных рекомендаций.

Особенности изменения усредненного параметраMEGNO использовались как для тестирования созданного программного обеспечения, так и дляоценки хаотичности движения астероидов, сближающихся с Землей.27ПРИКЛАДНОЙ ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС «ИДА»2ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ АСТЕРОИДОВПрогнозирование движения астероидов, в особенности движения АСЗ, представляет собойсложную задачу. При численном моделировании орбитальной эволюции АСЗ, как ужеотмечалось в предыдущей главе, происходит быстрое накопление ошибок численногоинтегрирования уравнений движения астероидов при тесных или многократных сближениях спланетами. Кроме того, начальные данные астероидов известны неточно, что связанно сошибками наблюдений. По этой причине моделирование орбитальной эволюции астероидовтребует привлечения вероятностных методов, то есть построение и анализ вероятностныхобластей движения исследуемых объектов.

Вероятностная область движения каждого астероидастроится в виде плотного ансамбля траекторий, выходящих из начальной вероятностной области,полученной по результатам анализа наблюдений объекта. При исследовании движенияастероидов важную роль также играет выбор возмущающих сил, оказывающих влияние надвижения объектов. Все указанные и многие другие факторы необходимо учитывать присоздании программного обеспечения для исследования движения астероидов.Вданнойглавепредставляетсяпрограммныйкомплекс«ИДА»,разработанныйколлективом НИИ ПММ ТГУ для исследования динамики и вероятностной орбитальнойэволюции астероидов (Быкова и др., 2012).

В 2013 году в данный комплекс была включенапрограмма определения параметра хаотичности MEGNO для астероидов, разработанная авторомданной диссертационной работы (Раздымахина, 2011). В основе программ, входящих в комплекс,лежат алгоритмы, описанные в предыдущей главе.2.1 Задачи, решаемые с помощью программного комплекса «ИДА»Разработанное нами прикладное программное обеспечение включает в себя рядприкладных программ и позволяет решать следующие задачи исследования динамикиастероидов:1) построение численной модели движения астероида с учетом заданных возмущений;2) улучшение орбиты астероида по данным позиционных наблюдений;3) построение начальной вероятностной области возможных положений астероида намомент t0 по результатам обработки наблюдений;4) исследование эволюции начальной области и построение области возможныхположений (вероятностной области движения) астероида на любой текущий моментвремени;285) исследование особенностей движения АСЗ:а) выявление сближений и столкновений астероидов с большими планетами, Луной иПлутоном,б) оценка вероятности столкновения астероида с большими планетами и Луной,в) определение возможных соизмеримостей средних движений астероида и планет,г) вычисление резонансных характеристик,д) исследование эволюции параметра хаотичности MEGNO для астероида,е) демонстрация движения астероида и планет на экране компьютера в различныхсистемах координат.Остановимся кратко на некоторых алгоритмах решения перечисленных задач.Численная модель движения астероидов.

Движение астероидов рассматривается в гелиоцентрической системе координат, отнесенной к эклиптике или экватору 2000.0. В модель силвозможно включение следующих возмущений: возмущений от больших планет, Плутона, Луны,трех крупных астероидов (Цереры, Паллады и Весты), сжатия Земли, светового давления и релятивистских эффектов. Набор возмущающих факторов определяется самим пользователем. Координаты больших планет, Плутона и Луны на заданный момент времени определяются из фондовкоординат больших планет DE405, DE406 и DE408, в зависимости от решаемой задачи.

Дифференциальные уравнения движения астероидов интегрируются численно методом Эверхарта, порядок метода и параметр точности выбираются пользователем.Улучшение орбит и построение вероятностной области движения астероида. По имеющимся земным и космическим позиционным наблюдениям производится улучшение орбитыастероида методом наименьших квадратов, в результате которого пользователь получает параметры номинальной орбиты и ковариационную матрицу. Затем строится область вероятныхначальных параметров орбиты астероида, причем в работе (Быкова и др., 2012) отмечается, что впрограммном комплексе реализовано два метода построения данной области: в виде эллипсоидана основе ковариационной матрицы и бутстрэп-методом. В первом случае ансамбль частиц генерируется на основе нормального закона распределения с помощью датчика случайных чисел.Идея бутстрэп метода состоит в построении различных выборок наблюдений.

Во втором случаеансамбль частиц генерируется путем проведения процесса улучшения орбиты по каждой получаемой выборке. Недостатком данного метода является то, что число получаемых положений объекта зависит от числа наблюдений, т.е. метод плохо применим при малом числе наблюдений. Далее в обоих случаях прослеживается орбитальная эволюция ансамбля частиц во времени. Вероятностная область движения астероида строится как ансамбль траекторий некоторого множестватестовых частиц, выбираемых в рамках вероятной начальной области.29Выявление тесных сближений астероида с Землей и другими планетами.

Минимальныерасстояния от астероида до планеты находится путем вычисления локального минимума функции квадрата расстояния, который аппроксимируется интерполяционным многочленом Лагранжатретьей степени относительно времени (Шефер, 1986).Для выявления соизмеримостей средних движений астероида и планет используются критический аргумент β (1.8) и его производная по времени α (1.9) (резонансная «щель»). Для исследования хаотичности в движении астероидов в программном комплексе используется параметрMEGNO.

Математическое представление резонансных и хаотических характеристик динамикиастероидов приведено в первой главе данной диссертационной работы.2.2 Структура программного комплексаПрограммный комплекс «ИДА» включает в себя ряд программ, позволяющих решатьзадачи динамики астероидов различного рода. В программный комплекс входят следующиеподсистемы:1) подсистема«Ассоль»(Быкова,Галушина,2001),позволяющаяисследоватьорбитальную эволюцию для номинальной орбиты и демонстрировать движениеастероида и тестовых частиц на экране компьютера;2) подсистема «Наблюдения» (Быкова и др., 2007b), предназначенная для улучшенияорбиты астероида по данным позиционных наблюдений и построения начальнойдоверительной области (области вероятных значений начальных параметров) орбитыастероида линейным методом;3) подсистема «Distribution», позволяющая визуализировать распределения наблюдений поорбите астероида;4) подсистема «Ансамбль частиц», реализующая алгоритм построения начальнойдоверительной области в виде ансамбля тестовых частиц;5) подсистема «Evolution», предназначенная для исследования орбитальной эволюцииансамбля частиц;6) подсистема «MEGNO», позволяющая строить эволюцию параметра хаотичностиMEGNO для астероидов (Раздымахина, 2011);7) подсистема «Графики» (Быкова и др., 2009), автоматизирующая процесс построенияграфиков эволюции резонансных характеристик и характеристики хаотичностиMEGNO.Подсистема «Ассоль».

Характеристики

Список файлов диссертации