Диссертация (1149533), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

В результате получается ансамбль (пучок) большого числа вероятных траекторий объекта, выходящих из начальной областив момент времени t0 . Прослеживая эволюцию этого ансамбля траекторий на заданном интервалевремени, получаем вероятностную область (t) движения астероида. Данный способ являетсяуниверсальным, но трудоемким из-за расчета большого числа возможных траекторий объекта.При расчетах на обычных современных компьютерах это обстоятельство является причинойограничения числа моделируемых траекторий.1.3 Вычисление резонансных характеристикИсследование орбитальной эволюции астероидов, сближающихся с Землей и движущихся вокрестности резонансов низких порядков с планетами является важной задачей по ряду причин,одной из которых является проблема астероидной опасности.

В случае устойчивого резонансаэти взаимодействия могут служить защитным механизмом от тесных сближений с планетами, вто время как неустойчивые геометрические конфигурации «астероид – планета» повышают риск22тесных сближений с ней, что может привести к значительным изменениям орбиты исследуемогообъекта.Резонанс по среднему движению возникает тогда и только тогда, когда астероид имеет орбитальный период, соизмеримый с периодом одной или более больших планет.

В качестве характеристики резонансного движения рассматривается резонансный (критический) аргумент (Murray, Dermott, 1999; Nesvorny et al, 2002)NNNj 1j 1j 1k , k , l , l , m , m   k j  j  k    l j  j  l   m j  j  m,(1.8)где k, l, m и k = (k1, …, kN), l = (l1, …, lN), m = (m1, …, mN) – целые числа, для которых выполняются условия: k + l + m + (kj + lj + mj) = 0, k ≠ 0 и ||k|| ≠ 0 (т.е. резонансы имеют отношение к быстрым орбитальным частотам). Здесь ,j – средние долготы астероида и j-й планеты; ,j и ,j –долготы перицентра и долготы восходящего узла астероида и j-й планеты соответственно(j=1,..,N;).Резонанс возникает, когда k , k , l , l , m , m  0 .

Здесь k , k , l , l , m , m – производная по времени отk , k , l , l , m , m , заданного уравнением (1.8). В случае астероидного движения вековые частоты ,  j ,,  j малы по сравнению с орбитальными частотами ,  j , поэтому выражение для k , k , l , l , m , mможно записать следующим образом:N   k j  j  k  0 ,(1.9)j 1гдеи– средние движения астероида и планеты соответственно, k и kj – целые числа. Здесь ив последующих разделах средние движения астероида и планеты будут приводиться в обозначениях: nа и nj.В кеплеровской задаче выражение (1.9) можно однозначно записать через большие полуоси(). Это означает, что резонансные условия k , k , l , l , m , m  0 с единственными k, k, но раз-личными l, l, m, m, удерживаются около одних и тех же значений больших полуосей.

Так возникает структура, называемая резонансным мультиплетом, т.е. каждый резонанс, определяемыйнабором (k, k), состоит из нескольких резонансных членов с различными l, l, m, m.Пусть при некотором конкретном наборе частот n1 , n2 ,.., nm и некотором целочисленномвекторе = (1 , 2 , . . ) скалярное произведение (k, n) есть малая величина α (в частности, αможет равняться нулю): (, ) = . Такой резонанс называется α–резонансом (Гребеников, Рябов,1978). Таким образом α–резонанс имеет место, когда на большом интервале времени величина α удовлетворяет неравенству    , где  достаточно мало, так что движение остается23близким к точному резонансу (Гребеников, Рябов, 1978).

Величина  , характеризующая границы резонансной области, зависит, главным образом, от массы и среднего движения планеты, атакже от эксцентриситета орбиты астероида, при увеличении которого увеличивается амплитудаколебаний  около соизмеримости. При   0 резонанс является точным.Конфигурация системы «астероид–планета» будет характеризоваться периодичностью, если существует соизмеримость их средних движений. В этом случае взаимные возмущения, обусловленные конфигурацией системы, будут иметь один и тот же период, что усилит возмущения.Усиление возмущений происходит в момент соединения астероида и планеты, поэтому важно впервую очередь исследовать резонансный (критический) аргумент (1.8).В задачах динамики астероидов резонансный аргумент (1.8) и его производную по времени(1.9) обычно обозначают, как  и  соответственно.В настоящей работе анализ резонансных движений АСЗ выполнялся с помощью исследования поведения резонансного аргумента  и его производной по времени  (так называемой резонансной «щели» (Гребеников, Рябов,1978)).1.4 Количественные характеристики хаоса: ляпуновское времяи параметр MEGNOВ орбитальном движении астероидов для изучения детерминированного хаоса используются такие количественные характеристики, как ляпуновское время и введенный сравнительно недавно усредненный параметр MEGNO (Mean Exponential Growth of Nearby Orbit) (Cinkotta et al,2003).

Остановимся на них более подробно.1.4.1 Ляпуновское времяВ хаотических областях фазового пространства две изначально близкие траектории расходятся со временем по приблизительно экспоненциальному закону, в квазипериодических областях такие траектории расходятся приблизительно линейно. Среднюю скорость расхожденияпервоначально близких траекторий можно определить как (Wisdom, 1983): d t  ln d  t0   t  ,t  t0(1.10)где d – евклидово расстояние между двумя первоначально близкими траекториями в фазовомпространстве; t – время, индекс «0» относится к начальным значениям.

Если траектории квазипериодические, то d растет в среднем линейно, и (t) со временем стремится к нулю, если траекто-24рии хаотические, то d растет экспоненциально, а (t) стремится к некоторой положительной константе.Взяв предел   t  при t стремящемся к бесконечности, получим ляпуновское характеристическое число  (LCN):  lim   t  .t (1.11)Зависимость величины  от времени хорошо выявляет различие регулярных и хаотическихтраекторий. Таким образом, используя эту характеристику можно определить время перехода отрегулярного режима движения к хаотическому.В динамике малых тел Солнечной системы широко используется в качестве индикатора хаоса такая характеристика, как ляпуновское время TL , которое определяет интервал временипредсказуемости движения небесного тела (Murray, Dermott, 1999).

Если две изначально близкиетраектории расходятся со временем по приблизительно экспоненциальному закону, т.е. d/d0 = e,то из формул (1.10) и (1.11) ляпуновское время TL определится как инверсия максимального ляпуновского характеристического числа :TL  1/  .(1.12)Из формулы (1.11) следует, что время TL может быть уверенно определено только на достаточно большом интервале времени. Однако существуют некоторые проблемы в исследованиидинамики астероидов, сближающихся с большими планетами, на больших интервалах времени.Эти проблемы обусловлены тем, что движение таких объектов проблематично изучать аналитическими методами из-за больших эксцентриситетов и тесных сближений с планетами, а исследование численными методами затруднено быстрым ростом ошибок округления при тесных илимногократных сближениях астероидов с планетами.1.4.2 Параметр MEGNOВ последнее время в качестве характеристик хаотичности стали использоваться так называемые быстрые ляпуновские индикаторы, позволяющие исследовать хаотичность орбит объектовна относительно коротких интервалах времени.

Все они основаны на решении уравнений в вариациях, определяющих эволюцию касательного вектора изучаемой орбиты. Более подробное описание быстрых ляпуновских показателей можно найти в работах Шефера В.А. (Шефер, 2011;Шефер, Коксин, 2013). К быстрым ляпуновским индикаторам также относится параметр MEGNO(Cinkotta et al, 2003), который представляет собой взвешенную по времени интегральную формуляпуновского характеристического числа (LCN). Алгоритм, построенный на использовании25MEGNO-анализа, позволяет уверенно разделять регулярный и хаотический режимы движенияастероидов на относительно небольших интервалах времени.

В данной работе для оценки хаотичности орбит астероидов использовался алгоритм MEGNO-анализа, без особых проблем реализуемый в задачах численного моделирования.Запишем систему уравнений движения небесного тела для случая прямоугольных координат и скоростей. Пусть q   x, x – есть вектор состояния исследуемого астероида. Тогда уравнения движения объекта можно записать в видеdq(t )  f (q(t ),  ),dt(1.13)где  – вектор параметров модели сил.Обозначим начальное малое отклонение вектора состояния q через δ(t0 )  δ0 .

Характеристики

Список файлов диссертации