Диссертация (1149533), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Дифференциальные уравнения движения в таком случае имеют вид: dx dt  x , dx  f ( x, t ), dt(1.1)f ( x, t )  FK  P ,(1.2)гдеЗдесь FK  xr3, P – возмущающее ускорение, x( x1, x2 , x3 ) , x( x1, x2 , x3 ) – векторы положения и3скорости исследуемого астероида, r 2   xi2 ,   k 2 (M 0  M ) , M 0 – масса центрального тела,i 1M – масса астероида, k = 0.01720209895 постоянная Гаусса, t – время в средних солнечных сут-ках.

В большинстве случаев Солнце, большие планеты и астероид можно рассматривать, как материальные точки, а массой астероида M можно пренебречь из-за ее малости.Основной вклад в возмущающее ускорение P вносит притяжение больших планет, Плутонаи Луны. Если считать, что на движение астероида оказывают влияние только большие планеты,Плутон, Луна и наиболее крупные астероиды (Церера, Паллада и Веста), возмущающее ускорение P примет вид x x x Ppl  k 2  M m  m 3  m,3  rmmm 33i 1i 1(1.3)2где rm2   xmi, 2m   ( xmi  xi ) 2 , а xm ( xm1, xm2 , xm3 ) и M m − соответственно вектор положе-ния и масса возмущающего тела.Необходимой составной частью решения многих задач астрономии является вычислениекоординат Солнца, Луны и больших планет.

Основой для этого может быть как численная, так ианалитическая теории. Примерами такой численной теории могут служить эфемериды DE406,DE405 и DE408, из которых для вычисления правых частей уравнений движения (1.1) определяются координаты больших планет, Плутона и Луны. Выбор каталога больших планет определяется согласованностью модели, точностью и интервалом времени проводимого исследования.В случае если исследуемый объект имеет тесные сближения с Землей, в модель сил желательно включать влияние сжатия Земли, при этом, в большинстве случаев, достаточно ограничиться учетом возмущений от второй зональной гармоники. Тогда возмущающее ускорение и18возмущающая функция, обусловленные второй зональной гармоникой потенциала притяженияЗемли, определятся как (Аксенов, 1977)k 2 M r02  3 2R1Pob , R  J2sin    ,x22r 3(1.4)где J2 – коэффициент при второй зональной гармонике, который равен J 2  1082.628 106 , M  иr0 – масса и средний экваториальный радиус Земли, r  и φ – геоцентрический радиус-вектор иширота астероида относительно экватора Земли, r   x2  y2  z2 , sin   z  .

Важно отмеrтить, что возмущения, обусловленные второй зональной гармоникой геопотенциала, примерно в1000 раз больше возмущений от остальных зональных гармоник.Кроме сжатия Земли в модель возмущающих сил может быть включено влияние световогодавления, определение которого зависит от физических характеристик исследуемого астероида.Основная сложность в определении светового давления заключается в знании таких характеристик астероида как диаметр, масса и альбедо. Предположим, что мощность потока солнечной радиации постоянна, сила светового давления всегда направлена по линии астероид – Солнце, орбита Земли круговая, а астероид имеет сферическую форму. При данных условиях сила прямогосветового давления Солнца на астероид может быть задана какaPs  (1   )qs s s2 x, s(1.5)где  s – взаимное расстояние между астероидом и Солнцем; as – большая полуось орбиты Земли;  – альбедо астероида; q  4.65 105 дин / см2 – солнечная постоянная; s – площадь эффективного поперечного сечения астероида, представляющая собой отношение площади поперечного сечения астероида к его массе (Бордовицына, Авдюшев, 2007).Таким образом, если на движение астероида оказывают влияние притяжение больших планет, Плутона, Луны, трех крупных астероидов (Цереры, Паллады и Весты), сжатие Земли и световое давление, то возмущающее ускорение Р из формулы (1.2) будет иметь видP  Ppl  Pob  PS .(1.6)Для численного интегрирования уравнений движения (1.1) нами используется методЭверхарта с переменным шагом 19 – 27 порядков.

Выбор порядка метода интегрирования зависит от условий задачи и используемой разрядной сетки.191.1.2 Интегратор ЭверхартаВажное место в задачах небесной механики занимает выбор высокоточного метода численного интегрирования дифференциальных уравнений движения объектов. Высокую эффективность в задачах кометной динамики показал интегратор, разработанный Э. Эверхартом специально для численного исследования орбит (Everhart, 1973).

Обнаружив принадлежность своегоинтегратора к семейству интеграторов типа Батчера, Эверхарт обобщил разработанный алгоритмдля численного решения любых обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второгопорядков (Everhart, 1974). Так Э. Эверхарт расширил область применения своего интегратора,который до сих пор не потерял своей популярности в решении задач небесной механики.В работе (Butcher, 1964) показано, что интегратор Эверхарта (RA15) наследует все замечательные свойства неявных методов Рунге–Кутты типа Батчера, так как он основан на видоизмененных формулах этих методов.Кроме того, благодаря своей оригинальной схеме, с точки зрения численного интегрирования интегратор имеет следующие преимущества:1. Алгоритм интегрирования универсален для любого порядка.2.

Интегратор имеет простой критерий для выбора шага интегрирования.3. В интеграторе реализован довольно точный предиктор решения. Это позволяет сократить количество итераций на шаге в процессе численного интегрирования до двух.Несмотря на это, код RA15 (Everhart, 1985) и его модификация типа RADAU_27 существенно ограничивают возможности интегратора. По этой причине для численного исследованиядинамики астероидов мы использовали новый код интегратора Эверхарта, разработанный Авдюшевым В.А. (2006) и названный им GAUSS_15.В отличие от более ранних версий (RA15 и RADAU_27), код GAUSS_15 позволил устранить следующие трудности:1.

Трудночитаемый и громоздкий код. Использование возможностей Фортран 90 позволило сократить программный код почти в 2 раза.2. Устранены все связанные с порядком метода константы (большое количество такихконстант затрудняло обобщение кода на другие порядки).3. Исправлен алгоритм выбора переменного шага.4. Изменен выбор стартового шага. Ранее стартовый шаг интегрирования в режиме переменного шага выбирался независимо дифференциальных уравнений, т.е.

этот выбор былне всегда оптимальным. Теперь стартовый шаг выбирается по оценке интегрирующейсхемы второго порядка с учетом поведения правых частей уравнений.205. В коде GAUSS_15 на выбираемый шаг наложены ограничения в соответствии с порядком интегратора. Ранее ограничения на величину выбираемого переменного шага не зависели от порядка интегратора.Кроме того, интегратор GAUSS_15 наделен новыми возможностями:1.

Интегрирование на шаге до полной сходимости итерационного процесса.2. Запоминание величины предпоследнего шага после выполнения процедуры интегрирования, что весьма полезно при многократном использовании программного кода в режиме переменного шага.3.

Быстрый выбор стартового шага, требуемый лишь для первого обращения к интегратору (при повторном обращении используется запоминаемый шаг предыдущего обращения).Общую теорию интегратора Эверхарта, а также сам программный код GAUSS_15, которыйбыл использован для проведения исследований динамики АСЗ, представленных в данной диссертации, можно найти в работе (Авдюшев, 2006).1.2 Алгоритм построения вероятностной области движения астероидаТочность построения динамической эволюции астероида существенным образом зависит отточности начальных орбитальных параметров объекта. Ошибки начальных параметров орбиты всвою очередь определяются ошибками имеющихся наблюдений объекта. Оценка влияния ошибок начальных данных на результаты прогнозирования движения астероида выполняется обычнопутем задания некоторой области 0 возможных значений начальных параметров и отображенияэтой области во времени.

Исследованиям этой задачи и разработке алгоритмов построения возможных областей движения небесных тел посвящены работы многих авторов (Muinonen, 1996;Sitarski, 1998; Черницов и др., 1998; Sitarski, 1999; Milani, 1999; Milani et al, 2000а, 2000б; Черницов, 2000; Sitarski, 2006; Черницов и др., 2007; Заботин, Медведев, 2008; Соколов и др., 2008;Авдюшев, 2009; Быкова, Галушина, 2009; Ивашкин, Стихно, 2009а, b; Сюсина и др., 2009; Armelin et al, 2010 и др.).В данной работе построение вероятностных областей движения астероидов осуществляетсяна основе оценок вектора состояния методом наименьших квадратов (МНК) (Эльясберг, 1976).Задача построения вероятностных областей движения объекта распадается на две:1)построение области Θ0 вероятных значений начальных параметров его орбиты;2)построение эволюции начального пучка орбит во времени.На первом этапе решается задача построения начальной области 0, которая определяетсяклассическим способом, основанным на вероятных ошибках орбитальных параметров, получаемых из наблюдений методом наименьших квадратов (МНК).

Центрами областей 0 являются21МНК-оценки начальных параметров. Размеры и ориентация областей в фазовом пространственачальных параметров задаются МНК-оценкой матриц ковариаций ошибок определения начальных параметров. На основе полной ковариационной матрицы ошибок D0 с помощью датчикаслучайных чисел выбирается заданное число тестовых точек, распределенных по нормальномузакону относительно выбранного центра (t0, x, x ). Так формируется множество значений вероятных начальных параметров из области Θ00  0 ( x0 , x0 , k 2 D0 ).(1.7)Здесь x0 , x0 – МНК-оценки векторов x, x положения и скорости астероида в эпоху t0; k –коэффициент усиления (или коэффициент надежности) оценок матрицы D0 (k = 3 соответствуетправилу «трех сигма»).

Точку ( x0 , x0 ) на начальную эпоху t0 , соответствующую выбранномуцентру области 0 (и ее траекторию), называют, обычно, опорной. Как известно, чувствительность оценок начальных параметров орбиты к малым отклонениям исходных данных зависит отобусловленности задачи (Лоусен, Хенсон, 1986). Число обусловленности Тодда характеризуетмаксимальный эффект от возмущений в исходных данных. Сама же обусловленность определяется длиной интервала наблюдений, их распределением на орбите, а также выбором начальногомомента t0 (Гилл и др., 1985). Поэтому в качестве начальной выбирается такая эпоха t0 , котораясоответствует наилучшей обусловленности задачи оценки параметров орбиты для имеющейсясовокупности наблюдений (Быкова, Парфенов, 2000).Отображение начальных областей 0 во времени осуществляется путем численного интегрирования уравнений движения тестовых точек из области 0.

Характеристики

Список файлов диссертации