Диссертация (1149516), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Для всех > 1, матрица Якоби (·) в точке ˆ вычисляется следующим образом′ (ˆ ) = .(2.36)⎡ ⎤Доказательство. Легко видеть ( ) = ,+1 ( ) для всех > 0, где = ⎣ ⎦. Так какчастные производные функций (, ) и (, ) непрерывны, получаем ( , ) = ( , ) =( , ) =( , ) =,+1 ( , ),,+1 ( , ), ( , ), ( , ).36Так как( , , ) = e(− ) − e(− ) = 0для ∈ [ − Φ1 , ], выполнено следующее равенство: ( , ) = Φ( ).(2.37)Подставляя = +1, = , = в (2.27), (2.28), (2.32), (2.33) и принимая во внимание (2.37),получаем утверждение теоремы 2.92.3.3Устойчивость синхронного режима по отношению к -циклуПусть ((), ) -цикл системы (1.3), (1.4), где — некоторое целое число, > 1.
Тогда+ ≡ , + ≡ , + ≡ . Рассмотрим синхронный режим наблюдателя (2.1), (2.18)по отношению к решению ((), ), и пусть характеризующая его векторная последовательность ˆ такова, что выполнено ˆ+1= (ˆ ). Рассмотрим определенные ранее матрицы .Тогда + ≡ , и последовательность { }∞=0 содержит не более, чем различных матриц, аименно 0 , .
. . , −1 .Таким образом, аналогично предыдущему параграфу, из теорем 2.6–2.9, а также теоремы 3из [32] получаем следующее условие устойчивости в малом синхронного режима.Теорема 2.10. Пусть матричное произведение −1 · · · 0 устойчиво по Шуру, т. е. все собственные числа матрицы лежат строго внутри единичного круга. Тогда синхронный режимасимптотически устойчив в малом по отношению к решению ((), ).37Глава 3Наблюдатели состояния для импульснойсистемы с запаздыванием3.1Постановка задачиРассмотрим объект наблюдения, описываемый импульсной системой вида (1.3), (1.4), в непрерывной части которой присутствует постоянное запаздывание:˜()= 0 ˜() + 1 ˜( − ), ˜() = ˜(), ˜() = ˜(),˜ ˜˜0 = 0, ˜+1 = ˜ + ˜ , ˜(˜+˜(˜−) = ) + ,(3.1)˜ = (˜ (˜ )),˜ = Φ(˜ (˜ )),где ˜() — вектор состояния, ˜() — измеряемая часть вектора состояния, ˜() — модулирующий˜ ∈ R ×1 , ∈ R1× , ∈сигнал, — постоянное запаздывание, 0 ∈ R × , 1 ∈ R × , ˜ = 0, ˜ = 0.R × — постоянные матрицы, такие, что Как и ранее, предполагается, что система (3.1) рассматривается при > 0 с начальнымусловием () = (), 0 − 6 < 0 , где () — некоторая непрерывная начальная векторфункция, и величина запаздывания строго меньше минимально возможной длины промежуткамежду двумя последовательными импульсами, т.
е. < inf Φ(). Модуляционные функции (·)и Φ(·) удовлетворяют тем же условиям, что и для системы (1.3), (1.4). Также предполагается,что линейная часть системы (3.1) является спектрально FD-наблюдаемой (см. главу 1).Как и в случае объекта наблюдения без запаздывания, основная задача наблюдения для гибридной системы (3.1) состоит в оценивании последовательностей модулированных параметров( , ).383.2Наблюдатель без запаздывания с кусочно-постоянной матрицей коэффициентов усиленияИз леммы 1.1 следует, что, так как линейная часть системы (3.1) является FD-приводимой, то при > 0 + отвечающая ей линейная система с запаздыванием эквивалентна линейной системебез запаздывания с матрицей = 0 + 1 e−0 . При обозначениях предыдущего параграфарассмотрим следующую импульсную систему без запаздывания:()˙= (),() = (),+1 = + ,() = (),−(+ ) = ( ) + , = Φ(( )),(3.2) = (( )),˜ Следующая лемма, полученная в [29], устанавливает связь между решениягде = e− e0 .ми систем (3.1) и (3.2).Лемма 3.1.
Рассмотрим решения ˜() и () систем (3.1) и (3.2), соответственно. Предполо−−˜˜жим, что ˜1 = 1 и ˜(−˜(−1 ) = (1 ). Тогда = , = и ) = ( ) для всех > 1. Крометого,˜() = (), + 6 6 +1 , > 0.Лемма 3.1 показывает, что на промежутках вида + 6 6 +1 решение FD-приводимой системы с запаздыванием (3.1) совпадает с решением системы без запаздывания (3.2) при условииравенства их начальных данных. Используем эту лемму для построения наблюдателя состояний.3.2.1Уравнения наблюдателяˆ ) моГлавной задачей наблюдения состояния системы (3.1) является получение оценок (ˆ , ˜ ). Из леммы 3.1 следует, что задача наблюдения за системойдулированных параметров (˜ , с запаздыванием (3.1) может быть заменена задачей наблюдения за системой (3.2) без запаздывания, для которой может быть применена техника наблюдения, описанная в предыдущейглаве.
Отметим еще раз, что решение системы (3.1) может не совпадать с решением системы(3.2) на промежутках вида ˆ < < ˆ + , однако, интересующие нас моменты импульсациипринадлежат интервалам совпадения.39Для наблюдения состояний системы с запаздыванием (3.1) построим наблюдатель, основанный на аппроксимирующей модели (3.2) без запаздывания:ˆ˙ () = ˆ() + ()(() − ˆ()),ˆ() = ˆ(),ˆˆ(ˆ−ˆ(ˆ+ ) + ,) = ˆ = Φ(ˆ (ˆ )),⎧⎪⎨0,() =⎪⎩ = const,ˆ() = ˆ(),ˆ+1 = ˆ + ˆ ,ˆ = (ˆ (ˆ )),(3.3)ˆ < < ˆ + ,ˆ + 6 6 ˆ+1 .Заметим, что, в отличие от уравнений объекта наблюдения, элементы векторов ˆ(), ˆ()˜ = 0,могут иметь скачки, так как выполнение равенств = 0, = 0 из равенств ˜ = 0 не следует. По результатам моделирования установлено, что для лучшей динамикинаблюдателя такого типа целесообразно размыкать обратную на интервалах, соответствующихнесовпадению решений исходной модели с запаздыванием (3.1) и аппроксимирующей ее моделибез запаздывания (3.2).
Поэтому коэффициент усиления обратной связи выбран нулевым наинтервалах ˆ < < ˆ + . На промежутках вида + 6 6 +1 коэффициент = ∈ ×должен быть выбран так, чтобы синхронный режим наблюдателя (3.3) по отношению к решению((), ) объекта (3.2) был асимптотически устойчив в малом.3.2.2Точечное отображение и его свойстваДля того чтобы получить условия устойчивости синхронного режима наблюдателя, как и впредыдущей главе, построим точечное отображение, описывающее эволюцию состояния наблюдателя (3.3) от импульса к импульсу:⎡⎡⎤⎤−ˆˆ(ˆ−)ˆ()⎣ ⎦ ↦→ ⎣ +1 ⎦ .ˆˆ+1(3.4)Для всех целых и , 0 6 6 , определим множества, = {(, ) : ∈ R, ∈ R , 6 < +1 , 6 + Φ() < +1 }.Введем функции (, ) =⎧⎪⎨e(+Φ()−+1 ) ,при 6 +1 − ,⎪⎩e(Φ()− ) (+ −+1 ) , при +1 − < ,где = − .
Заметим, что функции (, ) непрерывны согласно определению .40Определим (, ) = , (, ) для (, ) ∈ , , где, (, ) = e(+Φ()− ) (+ )−(Φ()− ) −ee∑︁(︀ (− ) +)︀e( ) − − () − −1 (, ).=+1Теорема 3.1. Точечное отображение (3.4) задается уравнениямиˆ+1 = (ˆ , ˆ ),ˆ+1 = ˆ + Φ( ˆ ).(3.5)Доказательство. Рассмотрим ошибку наблюдения () = () − ˆ() на интервале (ˆ , ˆ+1 ) ипредположим, что 6 ˆ < +1 , 6 ˆ + Φ( ˆ ) < +1для некоторых и таких, что > .
Легко видеть, что функция () удовлетворяет дифференциальному уравнению ()˙ = ()(), где⎧⎪⎨, при ˆ 6 < ˆ + ,() =⎪⎩, при ˆ + 6 < ˆ+1во все моменты времени , где у () нет скачков.Выведем явную формулу для отображения (3.4). Рассмотрим целое число > 0 такое, что = + .Для = 0 ( = ) функция () непрерывна на всем интервале (ˆ , ˆ+1 ).
Следовательно,(^+1 − )(^+1 −^ − ) ˆˆ−ˆ+1 = (ˆ−(+( + ) =+1 ) − (+1 ) = e)−e^^(^+1 −^ − ) ˆ+e ( ) = e(+1 − ) (+= e(+1 − ) (+)−e)−(︁)︁^^^−ˆ ,ˆ− e(+1 − − ) e e( − ) (+)−ˆ()−что влечет (3.5) для = .Для > 1 функция () имеет разрывы (+ )−(− ) = в моменты времени = , +1 6 6 . Предположение inf Φ(˜ ) > гарантирует, что ˆ + < для > + 1. При этом точка˜+1 может находиться как внутри интервала (ˆ , ˆ + ), так и внутри интервала (ˆ + , ˆ+1 ), иоба этих случая должны быть рассмотрены по-отдельности.(^+1 − )ˆ−Предположим, что = 1 (т. е.
= + 1). Тогда ˆ+1 = (ˆ−(++1 ) − (+1 ) = e )−ˆ−(ˆ−+1 ). Найдем значение (+1 ).1) В случае ˆ + 6 имеем(︁)︁(^+1 − )+(^+1 − )( −^ − ) ˆ(ˆ−)=e()=ee(+)+=+1^^^(+1 − )= e(+1 − − ) e (ˆ+. ) + e412) В случае < ˆ + имеем^^^(^+1 −^ − ) ˆ(ˆ−( + ) = e(+1 − − ) e( + − ) (++1 ) = e) =^^^^^(+1 − − ) ( + − )e.= e(+1 − − ) e (ˆ+ ) + e(^+1 −^ − ) ˆ+ˆСледовательно, (ˆ−e ( ) + (ˆ(ˆ−+1 ) = e ), ).Таким образом,(︁)︁^+(^+1 −^ − ) (^ − )−ˆ − (ˆˆˆˆ+1 = e(+1 − ) (+)−eee()−ˆ()−(ˆ− ), ),что влечет (3.5) в случае = + 1.(+2 −^ − ) ˆ+Предположим теперь, что > 2. Покажем, что (+e ( ) ++2 ) = e+1 ,+2 (ˆ ) + +2 , где, () =⎧⎪⎨e( −+1 ) ,при + 6 +1 ,⎪⎩e( −− ) e(+ −+1 ) , при +1 < + для некоторых , таких, что 6 < 6 .1) В случае ˆ + 6 +1 имеем(+2 −+1 )(+(++2 ) = e+1 ) + +2 =(︁)︁(+2 −+1 )(+1 −^ − ) ˆ=ee( + ) + +1 + +2 =^(+2 −+1 )= e(+2 − − ) e (ˆ+ + +2 .
) + +1 e2) В случае ˆ < +1 < ˆ + < +2 имеем(+2 −^ − ) ˆ(+( + ) + +2 =+2 ) = e^^= e(+2 − − ) e( + −+1 ) (++1 ) + +2 =(︁)︁^^^= e(+2 − − ) e( + −+1 ) e(+1 − ) (ˆ+)++ +2 .+1Если = 2, то +2 = . Для > 3 имеем( −^ − ) ˆ+(+e ( ) + +1 , (ˆ ) + +2 e( −+2 ) + · · · + .) = eВ итоге получаем, что(^ − ) ˆ+e ( ) + , ,(ˆ−+1 ) = eгде, =∑︁^ e(+1 − ) −1, (ˆ ).=+142(3.6)Равенство (3.6) можно переписать следующим образом:(︁)︁(^ − ) +ˆˆˆ+1 = (ˆ−)+eeˆ+−()− , ,+1(3.7)Так как^(+1 − )(+(ˆ− ),+1 ) = e^( − )(+(ˆ+) = e)и^ (ˆ , ˆ ) = e( +Φ( ^ )− ) , (ˆ ),уравнение (3.7) влечет (3.5).Теорема 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
