Диссертация (1149516), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . , −1 .Таким образом, из теорем 2.1–2.3, а также теоремы 3 из [32] получаем следующее условиеустойчивости в малом синхронного режима.Теорема 2.4. Пусть матричное произведение −1 · · · 0 устойчиво по Шуру, т.e. все собственные значения этой матрицы лежат строго внутри единичного круга. Тогда синхронный режимпо отношению к ((), ) асимптотически устойчив в малом.Отметим, что условия устойчивости, устанавливаемые теоремой 2.4, являются локальнымии зависят не только от параметров наблюдателя, но также от параметров и наблюдаемого решения объекта наблюдения. Это связано с тем, что для каждого набора своих параметров объектнаблюдения может обладать различными типами решений.
При этом невозможно построить наблюдатель, который бы одинаково хорошо наблюдал за решениями всех типов. С прикладнойточки зрения, нас интересует наблюдение устойчивых периодических решений объекта. При построении наблюдателя кратность наблюдаемого цикла (т. е. число импульсов на периоде) должнабыть известна заранее.Спектральный радиус матричного произведения −1 · · · 0 характеризует скорость стремления к нулю ошибки наблюдения в окрестности синхронного режима. Чем меньше спектральныйрадиус, тем быстрее оценки состояния (ˆ(), ˆ ) сходятся к состоянию объекта ((), ).При синтезе наблюдателя следует выбрать два матричных коэффициента и так, чтобыобеспечить устойчивость синхронного режима наблюдателя. Так как пара (, ) наблюдаема,матричный коэффициент может быть выбран таким образом, что матрица = − имеетлюбые наперед заданные значения.
В следующей теореме приведены достаточные условия существования постоянной матрицы коэффициентов , обеспечивающей устойчивость синхронногорежима в малом, при фиксированной матрице коэффициентов .Теорема 2.5. Пусть ((), ) — -цикл. Предположим, что выполнено неравенство−1<−1∏︁(Φ′ + 1) < 1.=028(2.14)Тогда существует матрица такая, что = − гурвицева, и матричное произведение−1 · · · 0 устойчиво по Шуру.Доказательство. Представим матрицу в виде суммы: = ˜ + (),где⎡Φ′ +1 ˜⎣ =Φ′ и⎤⎤ ⎡+1 [︁+1 (1 + Φ′ )⎦ Φ′ ⎦=⎣′11 + Φ ⎡⎤ [︁⎦ + ′ () = ⎣01+Φ′ ]︁]︁−( + ) .Элементы матрицы , = 0, 1, . . .
, − 1, и следовательно, (), можно сделать скольугодно малыми за счет выбора матрицы коэффициентов усиления . В то же время,⎡⎤]︁ −1∏︁0 [︁˜˜′′⎣⎦−1 · · · 0 =(Φ′ + (1 + Φ′ )) ,Φ0 1 + Φ0 0 ×1=1где 0 = и 1 = +1 . Таким образом, rank (˜−1 · · · ˜0 ) 6 1, и матричное произведениеимеет не более чем одно ненулевое собственное число, равноеtr(˜−1 · · · ˜0 ) =−1∏︁(Φ′ + (1 +Φ′ ))=0=−1∏︁(Φ′ + 1).=0Если (2.14) выполнено, то матричное произведение ˜−1 · · · ˜0 устойчиво по Шуру.
Следовательно, при достаточно малых элементах , матрица −1 · · · 0 также устойчива по Шуру.Заметим, что для -цикла = 0 и +1 = 1 . В случае 1-цикла, (2.14) принимает вид− 2 < Φ′0 0 < 0,(2.15)− 1 < (Φ′0 0 + 1)(Φ′1 1 + 1) < 1,(2.16)в случае 2-цикла, (2.14) выглядит каки т. д.292.3Использование комбинированной частотной модуляции вдискретной части наблюдателяВ предыдущем параграфе для увеличения скорости сходимости наблюдателя (2.1) с частотноймодуляцией (2.2)ˆ = Φ(ˆ (ˆ ))предлагалось добавить пропорциональную обратную связь в дискретную часть наблюдателя,т. е. вместо закона модуляции (2.2) рассмотреть закон модуляции (2.3):(︀)︀ˆ = Φ ˆ(ˆ ) + (ˆ ) ,где () = (() − ˆ()).
Во многих случаях наличие дополнительной пропорциональнойобратной связи позволяет существенно уменьшить время переходных процессов. Однако, такаяобратная связь использует ошибку наблюдения () только в моменты времени ˆ . Для того,чтобы улучшить сходимость наблюдателя, воспользуемся стратегией наблюдения, основаннойна интегрировании ошибки на интервале, предшествующем моменту ˆ . Рассмотрим следующийинтеграл:∫︁ (, (·)) =e−κ(−) () ,−где κ, — некоторые положительные параметры, 6 Φ1 (где Φ1 — нижняя граница модуляционной функции Φ(·)), и (·) — интегрируемая функция.
Далее, рассмотрим следующий закончастотной модуляции:(︀ (︀ )︀)︀ˆ = Φ ˆ ˆ + (ˆ , (·)) ,(2.17)где ошибка наблюдения () определена выше. Таким образом, время возникновения импульсанаблюдателя ˆ+1 зависит от значений ошибки наблюдения (·) на интервале [ˆ − , ˆ ] длины. Не умаляя общности, будем считать, что ˆ0 > 1 , () = 0 для ∈ [ˆ0 − , ˆ0 ], и параметр −κне является собственным значением матрицы , т.е. det(κ ) = det( + κ) ̸= 0.В большинстве практических случаев модуляционная функция Φ() обладает насыщением,т.
е. близка к постоянной величине при больших значениях . Поэтому для больших значенийаргумента влияние обратной связи в (2.17) нивелируется. В связи с этим, рассмотрим болеесложный вид модуляции, описанный ниже.302.3.1Уравнения наблюдателяРассмотрим ранее введенный наблюдатель (2.1)ˆ˙ () = ˆ() + (() − ˆ()),ˆ() = ˆ(),ˆ+1 = ˆ + ˆ ,ˆ() = ˆ(),ˆˆ(−ˆ(+ ) + ,) = ˆ = (ˆ (ˆ )),со следующим законом модуляции (будем называть его комбинированной частотной модуляцией):(︀ )︀(︀)︀ˆ = Φ(ˆ ˆ ) + Ψ (ˆ , (·)) ,(2.18)где функция Ψ(·) является непрерывной, нечетной, строго возрастающей и ограниченной помодулю значением нижней границы модуляционной функции Φ(·):|Ψ(·)| < Φ1 .(2.19)Неравенство (2.19) гарантирует выполнение условия ˆ > 0 в (2.18).Пусть ((), ) — решение системы (1.3), (1.4) с параметрами , , = (− ), и выполнено 6 ˆ0 < +1 для некоторого целого числа > 1.
Легко видеть, что если ˆ = + , ˆ(ˆ− ) = + ,и ˆ() = () для ∈ [ˆ − , ˆ ], то ˆ = Φ(ˆ (ˆ )) + Ψ(0) = + , так как Ψ(0) = 0 (функция Ψ(·)— нечетная). Следовательно, синхронный режим наблюдателя (2.1), (2.18) по отношению к решению ((), ) существует. Как и ранее, требуется найти условия асимптотической устойчивостив малом синхронного режима.2.3.2Точечное отображение и его свойстваРассмотрим точечное отображение, описывающее эволюцию состояния наблюдателя (2.1), (2.18)при фиксированном решении ((), ) системы (1.3), (1.4):⎤⎡⎤⎡−−ˆˆˆ( )ˆ( )⎣ ⎦ ↦→ ⎣ +1 ⎦ .ˆˆ+1(2.20)Как и ранее, для любых (, ) ∈ R × R, выберем целые числа и , 1 6 6 такие, что 6 < +1 , 6 + (, ) < +1 , и рассмотрим следующие множества:, = {(, ) : 6 < +1 , 6 + (, ) < +1 , },где (, ) = Φ() + Ψ ((, (, , ·))) ,(︀)︀ (, , ) = e(−) e(− ) (+)−+ (),31 () =⎧⎪⎨− e(− ) если 6 ,⎪⎩0если > .Определим функции (, ) = (, ) и (, ) = , (, ) для (, ) ∈ , , где, (, ) = (+ (,)− ) (+)− (,)−∑︁[︀ (− ) +]︀( ) − − () − (+ (,)− ) .=+1Теорема 2.6.
Точечное отображениме (2.20) определяется дискретными уравнениямиˆ+1 = (ˆ , ˆ ),ˆ+1 = ˆ + (ˆ , ˆ ), для > 1.(2.21)Доказательство. Сначала покажем, что (ˆ , ˆ ) = ˆ . Рассмотрим ошибку наблюдения () =() − ˆ(). Легко видеть, функция () удовлетворяет дифференциальному уравнению ()˙=() для любого где у нет скачков. На интервале времени (ˆ − , ˆ ) функция () не имеет−ˆскачков, если 6 ˆ − , и имеет скачок (+ ) − ( ) = в момент , если > − .Отсюда, получаем, что для ∈ (ˆ − , ˆ ) выполнено⎧⎪⎨e(−^ ) (ˆ−)() =⎪⎩e(−^ ) (ˆ− ) − e(− ) при > ,при 6 .Таким образом,^^(− ) () = e(− ) (ˆ−((ˆ−ˆ ) + () = ) + () = e) − (︁)︁+(−^ )(^ − )= ee( ) − ˆ + () = (ˆ , ˆ , ).Следовательно,)︀(︀)︀(︀ (ˆ , ˆ ) = Φ( ˆ ) + Ψ (ˆ , (ˆ , ˆ , ·)) = Φ( ˆ ) + Ψ (ˆ , (·)) = ˆ .Теперь рассмотрим ошибку наблюдения () на интервале (ˆ , ˆ+1 ).
Функция () имеетскачки (+ ) − (− ) = в моменты времени = , + 1 6 6 . Отсюда, заключаем^ ˆ+(ˆ−( ) + , ,+1 ) = eгде, =∑︁(2.22)^ e(+1 − ) .=+1Тогда соотношение (2.22) может быть переписано следующим образом:^ˆ − (ˆ+ )) − , .ˆ+1 = (ˆ−(ˆ + +1 ) + e32(2.23)Так как^^(+1 − )(ˆ−(++1 ) = e ),( − )(ˆ+(+) = e ),равенство (2.23) влечет (2.21).Теорема 2.7. Отображения (, ) и (, ) непрерывны.Доказательство. Так как = 0, функция () непрерывна в точке = . Поэтому функция(, ) может иметь разрывы только на поверхности = в пространстве (, ).
Прямымивычислениями получаем(︀)︀(− ) (, , ) − −1 (, , )|= , ∈( −Φ1 , ) = e(− ) (+− ) − − e(︀ +)︀(︀)︀(− )( ) − − e( −−1 ) (+− e(− ) e( −−1 ) (+−1 ) = 0,−1 ) − = e(2.24)так как( −−1 )(+(+ ) − = = e−1 ).(2.25) (, ) − −1 (, )|= = 0,(2.26)Следовательно,и функция (, ) непрерывна всюду.Легко видеть, что функции , (, ), заданные на (, ) ∈ , , непрерывны.
Следовательно,функция (, ) может иметь разрывы только на поверхностях вида = , либо + (, ) = .Из (2.26) и (2.25) получаем следующие равенства:−1 (, ) ( −−1 )−1 (, ), (, ) − −1, (, )|= = − (, ) (+(+=)+−1 ) + (︀)︀+= (, ) ( −−1 ) (+−1 ) + − ( ) = 0,( −−1 ), (, ) − ,−1 (, )|+ (, )= = (+(+ ) − − −1 ) = 0для 1 6 6 . Таким образом, функция (, ) непрерывна всюду.Теорема 2.8.
Если скалярные функции (·), Φ(·), Ψ(·) имеют непрерывные производные, точастные производные(, ), (, )′ (, ) =,′ (, ) =(, ), (, )′ (, ) =′ (, ) =непрерывны всюду.Доказательство. Докажем сначала следующую лемму.33Лемма 2.4. Частные производные функции (, ) могут быть вычислены следующим образом:)︀(︀ (, )= Φ′ () + Ψ′ ((, (, , ·))) κ−1 e−κ − ,(2.27)(︁ (, )′= Ψ ((, (, , ·))) − κ(, (, , ·)) −(︀)︀ (︀)︀− κ−1 e−κ − e(− ) (+ ) + +)︁+ (, , ) − e (, , − ) . (2.28)κДоказательство леммы. Докажем сначала формулу (2.27). Прямыми вычислениями получаем(︂)︂ (, , ·) (, )′′= Φ () + Ψ ((, (, , ·))) ,.Тогда (2.27) следует из (, , )= − e(−)и∫︁(︀)︀eκ (−) = −κ−1 e−κ − ,(2.29)−где с учетом предположения о том, что −κ не является собственным числом матрицы , формула (2.29) получается обыкновенным интегрированием.Аналогично докажем (2.28) : (, )= Ψ′ ((, (, , ·))) ×(︂ (, , ·)× −κ(, (, , ·)) + ,(︂)︂)︂+ (, , ) − e (, , − ) ,κтогда формула (2.28) может быть получена из (2.29) и(︀)︀ (, , )= − e(−) e(− ) (+ ) + .Продолжим доказательство теоремы.
Так как (2.24) дает (, , ) = −1 (, , ) для = , ∈ ( − , ), то из (2.27) следует, что⃒⃒ (, ) ⃒⃒−1 (, ) ⃒⃒=.⃒⃒==(2.30)Из (2.28), (2.24) и(︀)︀⃒(︀ +)︀(−−1 )( −−1 )⃒ e(− ) (+(+(+)−e−1 ) = = ( ) − e−1 ) = = 034получаем⃒⃒ (, ) ⃒⃒−1 (, ) ⃒⃒=.⃒⃒==(2.31)Таким образом, частные производные ′ (, ), ′ (, ) непрерывны всюду.Докажем теперь непрерывность частных производных функции (, ). Прямыми вычислениями получаем (, ), (, )= e(+ (,)− ) (+−)[︀]︀ (, )− e (,) e(− ) (++ ) − − ()∑︁ (, ) (,)′+e[ + ()] − e(+ (,)− ) , (2.32)=+1, (, )=(︂)︂ (, )1+e(+ (,)− ) (+)−]︀ (, ) (,) [︀ (− ) +−ee( ) − − () −)︂(︂∑︁ (, )+ (,)(− )e(+ (,)− ) .
(2.33)−ee( ) − 1 +=+1Очевидно, функции ′ (, ), ′ (, ) могут иметь разрывы только на поверхностях = ,либо + (, ) = . Из (2.32), (2.33), (2.26), (2.30), (2.31) следует, что)︂⃒(︂, (, ) −1, (, ) ⃒⃒=−⃒=[︀]︀ (, )+( −−1 )= e (, ) −(+= 0,)+()+−1(︂)︂⃒, (, ) −1, (, ) ⃒⃒=−⃒=(︂)︂[︀]︀ (, ) (, )( −−1 )=e + −(+(+)+−1 ) + = 0.Из (2.32), (2.33) и матричной зависимости = 0 получаем)︂⃒(︂, (, ) ,−1 (, ) ⃒⃒−=⃒+ (,)=⃒[︀ +]︀ (, ) ⃒( −−1 )+⃒= ( ) − − (−1 )= 0, (2.34)⃒+ (,)=(︂)︂⃒, (, ) ,−1 (, ) ⃒⃒−=⃒+ (,)=]︃[︃⃒]︀[︀ (, ) ⃒⃒( −−1 )(+= 1+ (+ ) − − −1 ) = 0.
(2.35)⃒+ (,)=Таким образом, частные производные ′ (, ), ′ (, ) непрерывны всюду.35Как и ранее, введем дополнительные обозначения, связанные с отображением (2.20). Определим функцию⎤⎡, (, )⎦,, () = ⎣ + (, )⎡ ⎤где = ⎣ ⎦ .Положим () = , () для ∈ , . Тогда из теоремы 2.6 следует ˆ+1 = (ˆ ), где⎡ ⎤⎡⎤ˆ (, )⎦.ˆ = ⎣ ⎦ , () = ⎣ˆ + (, )Из теорем 2.7 и 2.8 следует, что функция (·) может быть линеаризована, и ее матрица Якобиимеет следующий вид⎡⎤′′ (, ) (, )⎦.′ () = ⎣′ (, ) 1 + ′ (, )Рассмотрим синхронный режим наблюдателя по отношению к решению ((), ) Так какдля синхронного режима выполнено ˆ = , ˆ = и ˆ+1 = +1 , ˆ+1 = +1 , тоˆ+1 = , +1 (ˆ ).Для всех > 1 определим квадратные матрицы , содержащие следующие матричные блоки:(︀)︀( )11 = +1 Φ′ + Ψ′ (0) κ−1 e−κ + eΦ( ) ( + ′ ) ,(︀)︀( )12 = 1 − Ψ′ (0) κ−1 e−κ +1 − eΦ( ) ( + ( )),( )21 = Φ′ + Ψ′ (0) κ−1 e−κ ,( )22 = 1 − Ψ′ (0) κ−1 e−κ .Теорема 2.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
